高考專題 函數(shù)對稱性

1、y2一 知識點精講： i 函數(shù) y = f ( x )函數(shù)對稱性圖象本身的對稱性（自身對稱）1、 f ( a +x) = f (b -x ) y = f ( x )圖象關(guān)于直線x =( a +x ) +( b -x ) a +b=2 2對稱證明：函數(shù)y = f ( x)圖象上的任一點p ( x , y )（滿足 0 0f ( x ) =y 00）關(guān)于直線x =a +b2的對 稱 點 為 q(a +b-x , y )0 0f ( a +b -x ) = f (b -x ) +a = f b -(b -x ) = f ( x ) =y0 0 0 0 0a +b點 q 仍在函數(shù) y = f ( x

2、) 的圖象上，從而函數(shù) y =f (x)的圖象關(guān)于直線 x =2推論 1： f ( a +x ) = f ( a -x ) y = f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x =a 對稱 推論 2、 f ( x ) = f (2a -x ) y = f ( x ) 的圖象關(guān)于直線 x =a 對稱對稱.，推論 3、f ( -x) = f (2a +x ) y = f ( x )的圖象關(guān)于直線 x =a 對稱2、f ( a +x ) + f (b -x ) =2 c y = f ( x)a +b的圖象關(guān)于點 ( , c )2對稱證明：函數(shù)y = f ( x )圖象上的任一點p ( x , y ) 0 0（

3、滿足f ( x ) =y 00）關(guān)于點(a +b2, c )的對 稱 點 為 q(a +b-x ,2c -y )0 0f ( a +b -x ) = f (b -x ) +a =2c - f b -(b -x ) =2c - f ( x ) =2c -y0 0 0 0 0a +b 點 q 仍在函數(shù) y = f ( x) 的圖象上，從而函數(shù) y =f ( x) 的圖象關(guān)于點 ( , c) 對稱.2，推論 1、f ( a +x ) + f ( a -x ) =2b y = f ( x )的圖象關(guān)于點 ( a , b)對稱推論 2、f ( x ) + f (2a -x ) =2by = f ( x)

4、的圖象關(guān)于點 ( a , b )對稱推論 3、 f (-x) + f (2 a +x ) =2b y =f ( x)的圖象關(guān)于點 (a, b )對稱ii 兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）1、y = f ( x ) 與 y = f ( -x)圖象關(guān)于 軸對稱2、y = f ( x )與y =-f ( -x)圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y= f ( x )與y =-f ( x )圖象關(guān)于x軸對稱4、函數(shù)y = f ( x)與其反函數(shù)y = f-1( x )圖象關(guān)于直線 y =x 對稱5.函數(shù)y = f ( a +x ) 與 y = f (b -x )圖象關(guān)于直線x =b -a2對稱證明：函數(shù) y

5、= f ( a +x ) 圖象上的任一點 b -ax = 的對稱點為 q(b -a -x , y )0 0p ( x , y ) （滿足 f ( a +x ) =y ）關(guān)于直線 0 0 0 0， f b -(b -a -x ) = f ( a +x ) =y0 0 0點 q 在函數(shù) y = f (b -x )的圖象上；反之函數(shù)y = f (b -x )的圖象上任一點關(guān)于直線142222x =b -a2的 對 稱 點 也 在 函 數(shù)y = f (a +x )圖 象 上 . 從 而 函 數(shù)y = f (a +x )與y = f (b -x )b -a的圖象關(guān)于直線 x = 對稱.2推論 1:函數(shù)

6、y = f ( a +x )與 y = f ( a -x )圖象關(guān)于直線 x =0 對稱推論 2:函數(shù) y = f ( x )與 y = f (2 a -x )圖象關(guān)于直線x =a對稱推論 3:函數(shù) y = f ( -x)與 y = f (2a +x )圖象關(guān)于直線x =-a對稱6 若函數(shù)y = f ( x)的定義域為r，則函數(shù)y = f (a +x )與y =-f (b -x )的圖象關(guān)于點b -a( ,0)2對稱.證明：函數(shù) y = f (a +x ) b -a( ,0) 的對稱點為 2圖象上的任一點 p ( x , y ) （滿足 f ( a +x ) =y ）關(guān)于點0 0 0 0q(b

7、 -a -x , -y ) ， -f b -(b -a -x ) =-f (a +x ) =-y 0 0 0 0 0點q在函數(shù)y =-f (b -x )的圖象上；反之函數(shù)y =-f (b -x )的圖象上任一點關(guān)于點(b -a2,0)的 對 稱 點 也 在 函 數(shù)y = f (a +x )圖 象 上 . 從 而 函 數(shù)y = f (a +x )與y =-f (b -x )的圖象關(guān)于點(b -a2,0)對稱.二 典例解析：1、定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)f ( x )恒滿足f (1 +x ) = f (1 -x )，且x ( -1,0)時,f ( x ) =2x+15,則f (log 20) =2_。

8、解析：y = f ( x)關(guān)于直線 x =1 對稱， f (-x) = f (2 +x )，又 是f ( x )奇函數(shù)，f ( -x) =-f ( x )，故有f (2 +x ) =-f ( x )， t = 4 ,5 4 log 1f (log 20) = f (log 20 -4) = f (log ) =-f (log ) =-2 25 - =-14 5 5答 案為：-12、已知函數(shù)y = f ( x)滿足f ( x ) + f (2 -x ) =0，則y = f ( x)圖象關(guān)于_對稱。解析：這是一個函數(shù)的對稱性，由上述結(jié)論知y = f ( x )圖象關(guān)于(1,0)對稱3、函數(shù)y =

9、f ( x -1)與函數(shù)y = f (1 -x )的圖象關(guān)于關(guān)于_對稱。解析：這是兩個函數(shù)的對稱性，兩函數(shù)的圖象關(guān)于x =1對稱 答案：x =14、設(shè)函數(shù)y = f ( x )的定義域為 r，且滿足f ( x -1) = f (1 -x ) ，則 y = f ( x )的圖象關(guān)于_對稱。解析：這是一個函數(shù)的對稱性，y = f ( x )的圖象關(guān)于 y 軸即 x =0 對稱 答案：x =05、設(shè)函數(shù)y = f ( x )的定義域為 r，且滿足f ( x +1) = f (1 -x ) ，則 y = f ( x +1)的圖象關(guān)于_對稱。解析：y = f ( x )關(guān)于直線 x =1 對稱， y =

10、 f ( x +1) 是由 y = f ( x)向左平移一個單位得到2的， 故y = f ( x +1)的圖象關(guān) y 軸對稱 正確答案為 y 軸6、設(shè)y = f ( x)的定義域為 r，且對任意x r，有f (1 -2 x) = f (2 x )，則y = f ( x )關(guān)于_對稱，y = f (2 x)圖象關(guān)于_對稱，。解析：令t =2 x， 則有f (1 -t ) = f (t ) y = f (t )關(guān)于直線t =12， 即y = f ( x)關(guān)于x =12對稱，y = f (2 x) 是由 y = f ( x )1的圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，2y = f (2 x)關(guān)于x =

11、1 1 1 對稱。 正確答案為 x = ， x =4 2 47、已知函數(shù)y = f ( x )對一切實數(shù) x 滿足f (2 -x ) = f (4 +x )，且方程f ( x ) =0有 5 個實根，則這 5 個實根之和為_解析：y = f ( x )的圖象關(guān)于直線x =3對稱，故五個實根，有兩對關(guān)于直線x =3對稱，它們的和為12，還有一個根就是3。故這 5 個實根之和為 15，正確答案為 158、設(shè)函數(shù)y = f ( x )的定義域為 r，則下列命題中，若y = f ( x )是偶函數(shù)，則y = f ( x +2)圖象關(guān)于 y 軸對稱；若y = f ( x +2)是偶函數(shù)，則y = f ( x)圖象關(guān)于直線x =2對稱；若f ( x -2) = f (2 -x )