動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)含標(biāo)準(zhǔn)答案

1、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類 開(kāi)放性題目 . 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜 , 靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題 .關(guān)鍵 : 動(dòng)中求靜 .數(shù)學(xué)思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想1、如圖 1，梯形 ABCD 中，AD BC， B=90， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 點(diǎn) P從 A 開(kāi)始沿 AD 邊以 1cm/秒的速度移動(dòng)， 點(diǎn) Q 從 C 開(kāi)始沿 CB 向點(diǎn) B 以 2 cm/ 秒的速度移動(dòng)， 如果 P， Q分別從 A，C 同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t 秒。當(dāng) t=時(shí)，四邊形是平行四邊形； 6當(dāng) t=時(shí)，四邊

2、形是等腰梯形 . 81)當(dāng)度時(shí)，四邊形 EDBC 是等腰梯形，此時(shí) AD 的長(zhǎng)為當(dāng)度時(shí)，四邊形 EDBC 是直角梯形，此時(shí) AD 的長(zhǎng)為2、如圖 2，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，點(diǎn) M 在邊 DC 上，且 DM=1 ， N 為對(duì)角線 AC 上任 意一點(diǎn)，則 DN+MN 的最小值為 53、如圖，在 Rt ABC 中， ACB 90， B 60， BC 2點(diǎn) O是 AC 的中點(diǎn)，過(guò) 點(diǎn)O的直線 l從與 AC重合的位置開(kāi)始， 繞點(diǎn) O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 交AB邊于點(diǎn) D過(guò)點(diǎn)C作CE AB交直線 l于點(diǎn) E，設(shè)直線 l的旋轉(zhuǎn)角為2)當(dāng)90時(shí)，判斷四邊形EDBC 是否為菱形，并說(shuō)明理由B解：（1） 30

3、，1；60，1.5；（2）當(dāng) =900時(shí)，四邊形 EDBC 是菱形 . =ACB=90 0， BC/ED . CE/AB, 四邊形 EDBC 是平行四邊形 在 RtABC 中， ACB=90 0， B=600,BC=2, A=300.1 ACAB=4,AC=2 3. AO=2 = 3 .在RtAOD 中， A=300， AD=2.BD=2. BD=BC.又四邊形 EDBC 是平行四邊形，四邊形 EDBC 是菱形4、在 ABCM(1)當(dāng)直線(2)當(dāng)直線(3)當(dāng)直線 關(guān)系，A中， ACB=90，AC=BC ，直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，且 AD MN 于M C M1 的位置時(shí)，求證C ： ADC CE

4、B ；N2 的位置時(shí)，求證：3 的位置時(shí)，試點(diǎn)B圖1C 旋轉(zhuǎn)到圖CMN 繞點(diǎn)加以證明 .BA圖 2 1 / N7DE=AD-BE ； 、AD、BD，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量BD圖3N=AD BE ；BE 具有怎樣 A解：(1) ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ， CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又 AC=BC ACD CBE CE=AD ，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當(dāng) MN 旋轉(zhuǎn)到圖 3 的位置時(shí)， D

5、E=BE-AD( 或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE， 又 AC=BC ， ACD CBE ， AD=CE ，CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD.5、數(shù)學(xué)課上， 張老師出示了問(wèn)題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形， 點(diǎn) E 是邊 BC的中點(diǎn) AEF 90 ，且 EF交正方形外角 DCG 的平行線 CF 于點(diǎn) F，求證： AE=EF 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點(diǎn) M，連接 ME，則 AM=EC，易證 AME ECF ，所以 AE EF 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖

6、2，如果把“點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn) E 是邊 BC上（除 B，C外）的任意 一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明 過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）小華提出：如圖 3，點(diǎn)E是 BC的延長(zhǎng)線上（除 C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)， 其他條件不變， 結(jié)論“AE=EF” 仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程； 解：（1）正確 證明：在 AB上取一點(diǎn) M ，使 AM EC，連接 ME BM BE BME 45，AME 135CF 是外角平分線， DCF 45，ECF 135AME ECF AEB BAE 90， AEB C

7、EF 90，BAE CEF AME BCF （ASA）（2）正確 證明：在 BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) N使 AN CE，連接BN BE N PCE 45 四邊形 ABCD是正方形，AD BEDAE BEA NAE CEF ANE ECF （ASA）AE EF 6、如圖 , 射線 MB 上,MB=9,A 是射線 MB 方向以 1個(gè)單位 /秒的速度移動(dòng)，設(shè) 求（1） PAB為等腰三角形的 t值；（2） PAB為直角三角形的 t 值；（3） 若 AB=5 且 ABM=45 ，其他條件不變，直接寫(xiě)出 PAB 為直角三角形的 t值如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1AE EF NENADDB C E GMB 外一點(diǎn)

8、,AB=5 且 A 到射線 MB 的距離為 P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t.AB E C G 圖2D3,動(dòng)點(diǎn)B P從圖M3 沿射C 線E G7、如圖 1，在等腰梯形 ABCD中， ADBC，E是 AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作 EFBC交CD于點(diǎn) F AB 4， BC 6 ， B 60 .求：（ 1）求點(diǎn) E 到 BC 的距離；（2）點(diǎn) P 為線段 EF 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 過(guò) P 作 PM EF 交 BC 于點(diǎn) M ，過(guò) M 作 MN AB 交折線 ADC 于點(diǎn) N ，連結(jié) PN ，設(shè) EP x.當(dāng)點(diǎn) N 在線段 AD上時(shí)（如圖 2），PMN 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出PMN 的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)

9、點(diǎn) N在線段 DC上時(shí)（如圖 3），是否存在點(diǎn) P，使 PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有 滿足要求的 x 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解（ 1）如圖 1，過(guò) 點(diǎn) E 作EG BC 于點(diǎn) G E 為 AB的中點(diǎn)， 1BE AB 22在RtEBG中， B 60 ， BEG 30 BG 12 BE 1，EG22 1即點(diǎn) E 到 BC 的距離為 3（2）當(dāng)點(diǎn) N 在線段 AD 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PM EF ，EG EF， PMPMN 的形狀不發(fā)生改變 EG EF BC， EP GM，PMEG 3 同理 MNAB 4CG如圖 2，過(guò)點(diǎn) P作 PH MN 于 H MN AB，NMC B 60 ， PMH13

10、0 PH PM23 MH PM cos30 則2NH MN MH 4 32C圖1圖2在 RtPNH 中， PNNH 2 PH 2 PMN 的周長(zhǎng) =PM PN MN 3 7 4當(dāng)點(diǎn) N 在線段 DC 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN 的形狀發(fā)生改變，但 MNC 恒為等邊三角形 當(dāng) PM PN 時(shí)，如圖 3，作 PR MN 于 R ，則 MR NR3類似， MR MN 2MR 3 MNC 是等邊三角形， MC MN 32此時(shí)， x EP GM BC BG MC 6 1 3 2圖3圖4GM圖5當(dāng)MP MN 時(shí)， 如圖 4，這時(shí)MC MN MP此時(shí)， x EP GM 6 1 3 5 3當(dāng) NP NM 時(shí)，如圖 5

11、，NPM PMN 30 則PMN 120 ，又MNC 60 ， PNM MNC 180 因此點(diǎn) P與F重合， PMC為直角三角形 MC PM tan30 1 此時(shí)， x EP GM 6 1 1 4綜上所述，當(dāng) x 2或 4或 5 3 時(shí)， PMN 為等腰三角形8、如圖，已知 ABC中， AB AC 10厘米， BC 8厘米，點(diǎn) D 為 AB的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn) P在線段 BC上以 3cm/s的速度由 B點(diǎn)向 C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) Q在線段 CA 上由 C點(diǎn)向 A 點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)若點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò) 1秒后， BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速

12、度不相等， 當(dāng)點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)， 能夠使 BPD與CQP全等？（2）若點(diǎn) Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C出發(fā)，點(diǎn) P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿 ABC 三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn) P與點(diǎn) Q 第一次在 ABC的哪條邊上相遇？ 解：（1） t 1秒， BP CQ 3 1 3 厘米， AB 10 厘米，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， BD 5 厘米又 PC BC BP， BC 8厘米， PC 8 3 5 厘米， PC BD又 AB AC BPD CQP vPvQBP CQ ，又BPD CQPBC ，則 BP PC4， CQ BD 5 ，點(diǎn)P ，點(diǎn) Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)BPt33 秒，設(shè)

13、經(jīng)過(guò) x 秒后點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次相遇，vQ CtQ由題意，得80 3 80P共運(yùn)動(dòng)了 3 厘米 80 2 28 24，80經(jīng)過(guò) 3 秒點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在邊 AB 上相遇15154厘米 /秒。80xx 3x 2 104 ，解得 3 秒點(diǎn) P、點(diǎn)Q在 AB邊上相遇，9、如圖所示，在菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF為正三角形， 點(diǎn) E、F 分別在菱形的邊 BCCD 上滑動(dòng)，且 E、 F 不與 BC D 重合1）證明不論 E、F 在 BCCD 上如何滑動(dòng)，總有 BE=CF ；2）當(dāng)點(diǎn) E、F 在 BC CD 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF 和CEF 的面積是否發(fā)生變

14、化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值答案】 解：（ 1）證明：如圖，連接 AC四邊形 ABCD 為菱形， BAD=120， BAE+ EAC=60， FAC+EAC=60， BAE=FAC。 BAD =120， ABF=60。ABC 和ACD 為等邊三角形。 ACF =60， AC=AB。 ABE=AFC 。在 ABE 和 ACF 中， BAE=FAC，AB=AC， ABE=AFC， ABE ACF （ ASA）。 BE=CF。2）四邊形 AECF 的面積不變， CEF 的面積發(fā)生變化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF，則 SABE=SACF。作 AH BC 于 H

15、 點(diǎn)，則 BH=2，1S四邊形AECF S ABC 2S四邊形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是 定值。BC AH 1BC AB2 BH2 4 3 。2邊 AE 最短由 “垂線段最短 ”可知：當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí)，故 AEF 的面積會(huì)隨著 AE 的變化而變化，且當(dāng) AE 最短時(shí)，正三角形 AEF 的面積會(huì)最小， 又 SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時(shí) CEF 的面積就會(huì)最大 SCEF=S四邊形 AECFSAEF 4 3 21 2 3 2 3 2 3 2 3 。 CEF 的面積的最大值是3 ?！究键c(diǎn)】 菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定

16、和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥?（1）先求證 AB=AC，進(jìn)而求證 ABC、 ACD 為等邊三角形，得 ACF =60，AC=AB，從而 求證 ABE ACF，即可求得 BE=CF 。（ 2）由 ABE ACF 可得 S ABE= S ACF，故根據(jù) S 四邊形 AECF=SAEC+SACF =SAEC+SABE=SABC 即可得四邊形 AECF 的面積是定值。當(dāng)正三角形 AEF 的邊 AE 與 BC 垂直時(shí)，邊 AE 最短 AEF 的面 積會(huì)隨著 AE 的變化而變化， 且當(dāng) AE 最短時(shí)，正三角形 AEF 的面積會(huì)最小， 根據(jù) SCEF=S四邊形 AECF

17、 SAEF， 則 CEF 的面積就會(huì)最大。10、如圖，在AOB 中，AOB=90 ，OA=OB=6 ，C為 OB上一點(diǎn)，射線 CDOB 交AB 于點(diǎn) D，OC=2 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 AB 方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速 度沿 CD 方向運(yùn)動(dòng)， P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)到點(diǎn) B 時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q也隨之停止過(guò)點(diǎn) P作 PEOA 于點(diǎn) E，PFOB 于點(diǎn) F，得到矩形 PEOF以點(diǎn) Q 為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN ，斜邊 MN OB，且 MN=QC 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t（單位：秒）（1）求 t=1 時(shí) FC 的長(zhǎng)度（ 2）求 MN=PF 時(shí) t 的值（3）當(dāng)QMN 和矩形 PEOF有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積S與 t的函數(shù)關(guān)系式（4）直接寫(xiě)出 QMN 的邊與矩形 PEOF 的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí) t 的值相似形綜合題（1）根據(jù)等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再將 t=1 代入求出 FC 的長(zhǎng)度；（2）根據(jù) MN=PF ，可得關(guān)于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解； （3）分三種情況：求出當(dāng) 1t 2時(shí)；當(dāng) 2t 時(shí)；當(dāng) t3時(shí)；求出重疊（陰影）部分圖形面 積S與 t的函數(shù)關(guān)系式；（4）分 M在 OE上；N在 PF上兩種情況討論求得 QMN 的邊與矩形 PEOF的邊有三個(gè)公