三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及例題講解

1、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：正弦函數(shù)y=sinx, xGO, 2n的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0） （y, 1）（K, 0）（乎，-1） （2兀,0）余弦函數(shù)y=cosx xe0, 2ti的圖像中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0, 1）（今，0）（兀,-1）（手，0） （2兀,1）2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：拿更矍y = sin%y = cosxy = taiix圖 彖yy01 40/ (定 義 域RRxxkTr+,k7A1 2值 域I71R最 值當(dāng) x=2kfr+時(shí)， 2兒遠(yuǎn)=1；當(dāng)x = 2k兀- 時(shí)，監(jiān)=-1當(dāng) X=2k7T 時(shí)，兒遠(yuǎn)=1

2、：當(dāng)x = 2k兀七兀時(shí)ymm = -1 -既無(wú)最大值也無(wú)最小值周 期 性2兀2龍7t奇 偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單 調(diào) 性在上2在上22k7r- ,2k7r+ _ 2 2_是增函數(shù)：兀3龍2k+,2k+ 2 2是減函數(shù).在2忌一兀,2k7t上是增函 數(shù)；在2Qr,2Qr+/r上是減函數(shù).在（k-,k7r+2 2丿 上是增函數(shù).對(duì) 稱 性對(duì)稱中心(go)jr對(duì)稱軸x = k.7r+ 2對(duì)稱中心”龍+彳,0對(duì)稱軸x = k兀（kjr 、 對(duì)稱中心號(hào),無(wú)對(duì)稱軸例作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖(l) y=|sinx| , xeO , 2tt,(2) y=-cosx , xeO , 2n例利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖

3、象，求滿足下列條件的x的集合:(2) cosx /-3sinx(3) y = lgcosx例5求函數(shù)y = sin(2x-彳)的單調(diào)區(qū)間例不求值，比較大小.(1) sin( ) a sin(_ )；18 10解：一V 01810/、 z 23龍、/17龍、 COS ( )、COS ().54.23龍23龍3龍555t 17龍、17龍nCOS () =cos =cos 444. 龍 3兀V0 JT45且函數(shù)y=cosx, xQ 0, ”是減函數(shù)3兀coscos 54nn3龍龍即 coscos 054(23兀/17龍COS ()cos () O,6yO)的圖像:(1)函數(shù) y = Asin(6n+

4、 0)(A 0,0)的有關(guān)概念:2兀振幅：A； 周期：T =； G)相位：3x+(p；初相：0.(2)振幅變換y=Asinx,x6R(A0且AhI)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A1)或縮短(0Al)到原來(lái)的A倍得到的. 它的值域-A, A 最大值是A,最小值是-A 若A0且3工1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(31)或伸 長(zhǎng)(031)到原來(lái)的丄倍(縱坐標(biāo)不變)6) 若30 時(shí)）或向右（當(dāng)00時(shí)=平行移動(dòng)丨（p I個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.（用平移法注意講清方向：“加左”減右”） y=sin（x+0）與y=sinx的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對(duì)位置不一樣，這一變換

5、稱為相位變換.5、小結(jié)平移法過(guò)程（步驟）得y=Asiii（u）x4-p）的圖象，先在一個(gè)6、函數(shù)y = Asm（mv+0）+B ,當(dāng)x = xt時(shí)，取得最小值為兒込；當(dāng)x = x2時(shí)，取得最大值為兒返，1T則A =（兒凡迪），B = *兒遠(yuǎn)+）贏），-= x2-xl（xl0, I 4 I y 的一段圖象,則/（x）的表達(dá)式為.如圖b是函數(shù)y=Asm（w+0） +2的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是（）4/rA4 = 3,T-9e=一一364”3兀EH = 1,T=,e=_ 34C A 1T2兀0豌34DA = 1,T-4龍9,龍0 = 36畫出函數(shù)亍)，的簡(jiǎn)圖.解：(五點(diǎn)法)由“亍，得列

6、表:Xn67112nT7龍125龍6龍2屮一30n2Jl3龍T2 JT3sin(2 對(duì)一)3030-30例求函數(shù)y = tanl 3x-yj的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性.解:由3彳工彳得“孑+語(yǔ),所求定義域?yàn)?x| xe R,且xh +g z318值域?yàn)镽,周期丁吟是非奇非偶函數(shù).Z)上是增函數(shù).例 己知函數(shù) y=sin2A+V3 cos2at2.(1) 用五點(diǎn)法”作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.(2) 求這個(gè)函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間.(3) 求函數(shù)圖彖的對(duì)稱軸方程.說(shuō)明圖彖是由尸“加的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的.解：y=sin2x-cos2r2=2sin(2A+ )23列表X7t6

7、7t12nT7n12n6C 龍 2x+ 30712n3 7t2271y = 2 siii(2x + y)-2-20-2-4-2其圖象如圖示3LF(2)升由-+2kJr W2對(duì)蘭W蘭+2牙，知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為232一一乃+乃，一+兀，丘 Z*12 12由- Jr+2kJr,知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為232+R 兀，jf+R JF , kG Z*12 12 由2x-= +kJr得尸蘭+ 3 212 2rr k函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為滬一+ 兀aeZ）12 2jr冗（4）把函數(shù)yFsinx的圖彖上所有點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù)上二sin（屮一）的圖象；33再把上圖彖上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的丄倍（縱坐標(biāo)不