離散型隨機變量的均值

1、離散型隨機變量的均值 2.3.1離散型隨機變量的均值離散型隨機變量的均值 (精析精練精析精練) 第二課時第二課時 離散型隨機變量的均值 1、離散型隨機變量 X 的均值（數(shù)學期望） 1 n ii i EXx p 2、均值的線性性質(zhì) ()E aXbaE Xb（ ） 3、兩種特殊分布的均值 （1）若隨機變量X服從兩點分布，則 E Xp（ ） （2）若 ，則( , )XB n pE Xnp（ ） 反映了離散型隨機變量取值的平均水平. 復習： 離散型隨機變量的均值 例例1. 1.一次英語單元測驗由一次英語單元測驗由2020個選擇題個選擇題 構(gòu)成，每個選擇題有構(gòu)成，每個選擇題有4 4個選項，其中個選項，其

2、中 有且僅有一個選項是正確答案，每題有且僅有一個選項是正確答案，每題 選擇正確答案得選擇正確答案得5 5分，不作出選擇或分，不作出選擇或 選錯不得分，滿分選錯不得分，滿分100100分。學生甲選對分。學生甲選對 任一題的概率為任一題的概率為0.90.9，學生乙則在測驗，學生乙則在測驗 中對每題都從中對每題都從4 4個選項中隨機地選擇個選項中隨機地選擇 一個。求學生甲和學生乙在這次英語一個。求學生甲和學生乙在這次英語 單元測驗中的成績的均值。單元測驗中的成績的均值。 離散型隨機變量的均值 解： 設(shè)學生甲和學生乙在這次英語測驗中 選擇了正確答案的選擇題個數(shù)分別是 X和Y，則 XB(20，0.9)，

3、 YB(20，0.25)， E(X)200.918， E(Y)200.255 由于答對每題得5分，學生甲和學生乙在這 次英語測驗中的成績分別是5X和5Y。所以， 他們在測驗中的成績的均值分別是 E(5X)5EX51890， E(5Y)5EY5525 離散型隨機變量的均值 解解: :因為商場內(nèi)的促銷活動可獲效益因為商場內(nèi)的促銷活動可獲效益2 2萬元萬元 設(shè)商場外的促銷活動可獲效益設(shè)商場外的促銷活動可獲效益 萬元萬元, ,則則 的分布列的分布列 P 10 4 0.6 0.4 所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4 因為因為4.42, 所以商場應選擇在商場外進行促銷所以商場應選擇在商場外進

4、行促銷. . 例例2.統(tǒng)計資料表明，每年端午節(jié)商場內(nèi)促銷活 動可獲利2萬元；商場外促銷活動如不遇下雨可 獲利10萬元；如遇下雨可則損失4萬元。6月19 日氣象預報端午節(jié)下雨的概率為40%，商場應 選擇哪種促銷方式？ 離散型隨機變量的均值 例例3.已知隨機變量已知隨機變量X的分布列如下：的分布列如下： 離散型隨機變量的均值 練練.已知已知X的概率分布的概率分布 列為列為 離散型隨機變量的均值 例例4(2011重慶高考重慶高考)某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、 C三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū) 的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可的

5、房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可 能的求該市的任能的求該市的任4位申請人中：位申請人中： (1)恰有恰有2人申請人申請A片區(qū)房源的概率；片區(qū)房源的概率； (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望的分布列與期望 離散型隨機變量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其 中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的 任任4位申請人中：位申請人中： (1)恰有恰有2人申請人申請A片區(qū)房源的概率；片區(qū)房源的概率

6、； 離散型隨機變量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中三個片區(qū)設(shè)每位申請人只申請其中 一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的求該市的 任任4位申請人中：位申請人中： (2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望的分布列與期望 離散型隨機變量的均值 綜上知，有分布列 離散型隨機變量的均值 練1.(2009上海理)某學校要從某學校要從5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中選出中選出2 2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量人作為上海世博

7、會志愿者，若用隨機變量 表示選出的志愿者中女生的人數(shù)表示選出的志愿者中女生的人數(shù), ,則數(shù)學期望則數(shù)學期望 E E( ()=_()=_(結(jié)果用最簡分數(shù)表示結(jié)果用最簡分數(shù)表示).). 解析 的可能取值為0,1,2, . 7 4 2 21 1 1 21 10 0 21 10 )( , 21 1 C C )2( , 21 10 C CC ) 1(, 21 10 C C )0( 2 7 2 2 2 7 1 2 1 5 2 7 2 5 E P PP 7 4 離散型隨機變量的均值 練練2. 某學校為調(diào)查高一年級學生每天晚自習自某學校為調(diào)查高一年級學生每天晚自習自 主支配學習時間主支配學習時間(指除了完成老

8、師布置的作用指除了完成老師布置的作用 后學生根據(jù)自己的需要進行學習的時間后學生根據(jù)自己的需要進行學習的時間)情況，情況， 學校采用隨機抽樣的方法從高一學生中抽取了學校采用隨機抽樣的方法從高一學生中抽取了 50名學生進行問卷調(diào)查問卷調(diào)查完成后，學名學生進行問卷調(diào)查問卷調(diào)查完成后，學 校從學生每天晚自習自主支配學習時間在校從學生每天晚自習自主支配學習時間在 20,30)和和30,40)分鐘的學生中分別抽取分鐘的學生中分別抽取3人和人和4 人，共人，共7名學生進行座談，了解各學科的作業(yè)名學生進行座談，了解各學科的作業(yè) 布置情況，并從這布置情況，并從這7人中隨機抽取人中隨機抽取2名學生聘為名學生聘為

9、學情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)學情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)20,30)分鐘的學生被聘的分鐘的學生被聘的 人數(shù)為人數(shù)為x，求，求x的分布列與數(shù)學期望的分布列與數(shù)學期望 離散型隨機變量的均值 練練3.某工廠為檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生某工廠為檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生 產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取5件作為甲組樣品，件作為甲組樣品， 從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取10件作件作 為乙組樣品經(jīng)檢驗兩組樣品中均有為乙組樣品經(jīng)檢驗兩組樣品中均有2 件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽 樣從甲、乙兩組樣品中共抽取樣從甲、乙兩組樣品中共抽取3件作為件作為 標本進行詳細的技術(shù)分

10、析設(shè)抽取的標標本進行詳細的技術(shù)分析設(shè)抽取的標 本中次品件數(shù)為本中次品件數(shù)為，求，求的分布列和期望的分布列和期望 E. 離散型隨機變量的均值 練練3.某工廠為檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取某工廠為檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取5件作為甲組件作為甲組 樣品，從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取樣品，從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取10件作為乙組樣品經(jīng)檢驗兩組樣品件作為乙組樣品經(jīng)檢驗兩組樣品 中均有中均有2件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽樣從甲、乙兩組樣品中共抽件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽樣從甲、乙兩組樣品中共抽 取取3件作為標本進行詳細的技術(shù)分析設(shè)抽取的標本中次品件數(shù)為件作為標本進

11、行詳細的技術(shù)分析設(shè)抽取的標本中次品件數(shù)為，求，求的的 分布列和期望分布列和期望E. 離散型隨機變量的均值 的分布列為 離散型隨機變量的均值 例例5(2011大綱全國卷大綱全國卷)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，根據(jù)以往統(tǒng)計資料， 某地車主購買甲種保險的概率為某地車主購買甲種保險的概率為0.5， 購買乙種保險但不購買甲種保險的概購買乙種保險但不購買甲種保險的概 率為率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨，設(shè)各車主購買保險相互獨 立立 (1)求該地求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保位車主至少購買甲、乙兩種保 險中的險中的1種的概率；種的概率； (2)X表示該地的表示該地的100位車主中，甲、乙兩位車主中，甲、乙兩

12、種保險都不購買的車主數(shù)，求種保險都不購買的車主數(shù)，求X的期的期 望望 離散型隨機變量的均值 解：設(shè)解：設(shè)A表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主購買甲種保位車主購買甲種保 險；險；B表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主購買乙種保位車主購買乙種保 險但不購買甲種保險；險但不購買甲種保險； C表示事件：該地的表示事件：該地的 1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；種；D 表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都位車主甲、乙兩種保險都 不購買不購買 (1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8. 某地

13、車主購買甲種保險的概率為某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購，購買乙種保險但不購 買甲種保險的概率為買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨立，設(shè)各車主購買保險相互獨立 (1)求該地求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；種的概率； 離散型隨機變量的均值 某地車主購買甲種保險的概率為某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保，購買乙種保 險但不購買甲種保險的概率為險但不購買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險，設(shè)各車主購買保險 相互獨立相互獨立 (2)X表示該地的表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購位車主中

14、，甲、乙兩種保險都不購 買的車主數(shù)，求買的車主數(shù)，求X的期望的期望 離散型隨機變量的均值 解解:(1)投籃投籃1次，命中次數(shù)次，命中次數(shù)的分布列如下表：的分布列如下表： 則則E()p0.6. (2)由題意，重復由題意，重復5次投籃，命中的次數(shù)次投籃，命中的次數(shù)服從二服從二 項分布，即項分布，即B(5,0.6)則則E()np50.6 3. 01 P0.40.6 例例6.某運動員投籃命中率為某運動員投籃命中率為p0.6. (1)求投籃求投籃1次時命中次數(shù)次時命中次數(shù)的期望；的期望； (2)求重復求重復5次投籃時，命中次數(shù)次投籃時，命中次數(shù)的期望的期望 離散型隨機變量的均值 例例7.(2011課標全

15、國卷課標全國卷)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指 標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì) 量指標值大于或等于量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩 種新配方種新配方(分別稱為分別稱為A配方和配方和B配方配方)做試驗，各生做試驗，各生 產(chǎn)了產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指 標值，得到下面試驗結(jié)果標值，得到下面試驗結(jié)果 A配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表 指標值 分組 90,94) 94,98)98,102)102,106)106,110 頻數(shù)82042228

16、離散型隨機變量的均值 B配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表 指標值 分組 90,94) 94,98) 98,102) 102,1 06) 106,11 0 頻數(shù)412423210 離散型隨機變量的均值 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為利潤記為 X(單位：元)，求求X的分布列及數(shù)學期望的分布列及數(shù)學期望(以試驗 結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品 的質(zhì)量指標值落入相應組的概率) 離散型隨機變量的均值 解：解：(1)由試驗結(jié)果知，用由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的配方生產(chǎn)的 產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.3，所以用，所以用A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為配方生產(chǎn)的產(chǎn)

17、品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為 0.3. 離散型隨機變量的均值 X224 P0.040.540.42 離散型隨機變量的均值 例例8.隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，件，經(jīng)質(zhì)檢， 其中有一等品其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20 件、次品件、次品4件已知生產(chǎn)件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲件一、二、三等品獲 得的利潤分別為得的利潤分別為6萬元、萬元、2萬元、萬元、1萬元，而萬元，而1件件 次品虧損次品虧損2萬元，設(shè)萬元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤件產(chǎn)品的利潤(單位：萬單位：萬 元元)為為. (1)求求的分布列；的分布列； (2)求求1件產(chǎn)品的平均利潤件產(chǎn)品

18、的平均利潤(即即的數(shù)學期望的數(shù)學期望)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個等級的產(chǎn)品，但次 品率降為品率降為1%，一等品率提高為，一等品率提高為70%.如果此時如果此時 要求要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則萬元，則 三等品率最多是多少？三等品率最多是多少？ 離散型隨機變量的均值 6212 P0.630.250.10.02 離散型隨機變量的均值 (2)E()60.6320.2510.1( 2)0.024.34 (3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時，則此時1件件 產(chǎn)品的平均利潤為產(chǎn)品的平均利潤為 E(x

19、)60.72(1 0.70.01x)1x(2)0.014.76 x(0 x0.29) 依題意，依題意，E(x)4.73，即，即4.76x4.73. 解得解得x0.03，所以三等品率最多為，所以三等品率最多為3%. 離散型隨機變量的均值 練練.某城市出租汽車的起步價為某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路不元，行駛路不 超出超出4 km時租車費為時租車費為10元，若行駛路程超出元，若行駛路程超出4 km，則按每超出，則按每超出1 km加收加收2元計費元計費(超出不足超出不足1 km的部分按的部分按1 km計計)從這個城市的民航機場從這個城市的民航機場 到某賓館的路程為到某賓館的路程為15 km.

20、某司機經(jīng)常駕車在機某司機經(jīng)常駕車在機 場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不 同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個這個 城市規(guī)定，每停車城市規(guī)定，每停車5分鐘按分鐘按1 km路程計費，不路程計費，不 足足5分鐘的部分不計費分鐘的部分不計費)，這個司機一次接送旅，這個司機一次接送旅 客的轉(zhuǎn)換后的行車路程客的轉(zhuǎn)換后的行車路程是一個隨機變量設(shè)是一個隨機變量設(shè) 他所收租車費為他所收租車費為. 離散型隨機變量的均值 (2)若隨機變量若隨機變量的分布的分布列為列為 15161718 P0.10.50.30.1 (3)已知某旅客實付租車費已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車元，而出租汽車 實際行駛了實際行駛了15 km，問出租車在途中因故停，問出租車在途中因故停 車累計多長時間？車累計多長時間？ (1)求租車費求租