離散型隨機(jī)變量的均值

1、離散型隨機(jī)變量的均值 2.3.1離散型隨機(jī)變量的均值離散型隨機(jī)變量的均值 (精析精練精析精練) 第二課時(shí)第二課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值 1、離散型隨機(jī)變量 X 的均值（數(shù)學(xué)期望） 1 n ii i EXx p 2、均值的線性性質(zhì) ()E aXbaE Xb（ ） 3、兩種特殊分布的均值 （1）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則 E Xp（ ） （2）若 ，則( , )XB n pE Xnp（ ） 反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. 復(fù)習(xí)： 離散型隨機(jī)變量的均值 例例1. 1.一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由2020個(gè)選擇題個(gè)選擇題 構(gòu)成，每個(gè)選擇題有構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4 4個(gè)選項(xiàng)，其中個(gè)選項(xiàng)，其

2、中 有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題 選擇正確答案得選擇正確答案得5 5分，不作出選擇或分，不作出選擇或 選錯(cuò)不得分，滿分選錯(cuò)不得分，滿分100100分。學(xué)生甲選對(duì)分。學(xué)生甲選對(duì) 任一題的概率為任一題的概率為0.90.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn) 中對(duì)每題都從中對(duì)每題都從4 4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇 一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)一個(gè)。求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ) 單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值。單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值。 離散型隨機(jī)變量的均值 解： 設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中 選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是 X和Y，則 XB(20，0.9)，

3、 YB(20，0.25)， E(X)200.918， E(Y)200.255 由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這 次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X和5Y。所以， 他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的均值分別是 E(5X)5EX51890， E(5Y)5EY5525 離散型隨機(jī)變量的均值 解解: :因?yàn)樯虉?chǎng)內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲效益因?yàn)樯虉?chǎng)內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲效益2 2萬(wàn)元萬(wàn)元 設(shè)商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)可獲效益設(shè)商場(chǎng)外的促銷活動(dòng)可獲效益 萬(wàn)元萬(wàn)元, ,則則 的分布列的分布列 P 10 4 0.6 0.4 所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4 因?yàn)橐驗(yàn)?.42, 所以商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外進(jìn)行促銷所以商場(chǎng)應(yīng)選擇在商場(chǎng)外進(jìn)

4、行促銷. . 例例2.統(tǒng)計(jì)資料表明，每年端午節(jié)商場(chǎng)內(nèi)促銷活 動(dòng)可獲利2萬(wàn)元；商場(chǎng)外促銷活動(dòng)如不遇下雨可 獲利10萬(wàn)元；如遇下雨可則損失4萬(wàn)元。6月19 日氣象預(yù)報(bào)端午節(jié)下雨的概率為40%，商場(chǎng)應(yīng) 選擇哪種促銷方式？ 離散型隨機(jī)變量的均值 例例3.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布列如下：的分布列如下： 離散型隨機(jī)變量的均值 練練.已知已知X的概率分布的概率分布 列為列為 離散型隨機(jī)變量的均值 例例4(2011重慶高考重慶高考)某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、 C三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū) 的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可的

5、房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可 能的求該市的任能的求該市的任4位申請(qǐng)人中：位申請(qǐng)人中： (1)恰有恰有2人申請(qǐng)人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；片區(qū)房源的概率； (2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望的分布列與期望 離散型隨機(jī)變量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其 中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的 任任4位申請(qǐng)人中：位申請(qǐng)人中： (1)恰有恰有2人申請(qǐng)人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；片區(qū)房源的概率

6、； 離散型隨機(jī)變量的均值 例例4.某市公租房的房源位于某市公租房的房源位于A、B、C三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中三個(gè)片區(qū)設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中 一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的 任任4位申請(qǐng)人中：位申請(qǐng)人中： (2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)的分布列與期望的分布列與期望 離散型隨機(jī)變量的均值 綜上知，有分布列 離散型隨機(jī)變量的均值 練1.(2009上海理)某學(xué)校要從某學(xué)校要從5 5名男生和名男生和2 2名女生名女生 中選出中選出2 2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量人作為上海世博

7、會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量 表示選出的志愿者中女生的人數(shù)表示選出的志愿者中女生的人數(shù), ,則數(shù)學(xué)期望則數(shù)學(xué)期望 E E( ()=_()=_(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).). 解析 的可能取值為0,1,2, . 7 4 2 21 1 1 21 10 0 21 10 )( , 21 1 C C )2( , 21 10 C CC ) 1(, 21 10 C C )0( 2 7 2 2 2 7 1 2 1 5 2 7 2 5 E P PP 7 4 離散型隨機(jī)變量的均值 練練2. 某學(xué)校為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自某學(xué)校為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自 主支配學(xué)習(xí)時(shí)間主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老

8、師布置的作用指除了完成老師布置的作用 后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，情況， 學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了 50名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查問(wèn)卷調(diào)查完成后，學(xué)名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查問(wèn)卷調(diào)查完成后，學(xué) 校從學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間在校從學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間在 20,30)和和30,40)分鐘的學(xué)生中分別抽取分鐘的學(xué)生中分別抽取3人和人和4 人，共人，共7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè) 布置情況，并從這布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取人中隨機(jī)抽取2名學(xué)生聘為名學(xué)生聘為

9、學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人，設(shè)20,30)分鐘的學(xué)生被聘的分鐘的學(xué)生被聘的 人數(shù)為人數(shù)為x，求，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望的分布列與數(shù)學(xué)期望 離散型隨機(jī)變量的均值 練練3.某工廠為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生某工廠為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生 產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件作為甲組樣品，件作為甲組樣品， 從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件作件作 為乙組樣品經(jīng)檢驗(yàn)兩組樣品中均有為乙組樣品經(jīng)檢驗(yàn)兩組樣品中均有2 件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽 樣從甲、乙兩組樣品中共抽取樣從甲、乙兩組樣品中共抽取3件作為件作為 標(biāo)本進(jìn)行詳細(xì)的技術(shù)分

10、析設(shè)抽取的標(biāo)標(biāo)本進(jìn)行詳細(xì)的技術(shù)分析設(shè)抽取的標(biāo) 本中次品件數(shù)為本中次品件數(shù)為，求，求的分布列和期望的分布列和期望 E. 離散型隨機(jī)變量的均值 練練3.某工廠為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取某工廠為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從第一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件作為甲組件作為甲組 樣品，從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣品，從第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件作為乙組樣品經(jīng)檢驗(yàn)兩組樣品件作為乙組樣品經(jīng)檢驗(yàn)兩組樣品 中均有中均有2件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽樣從甲、乙兩組樣品中共抽件次品，其他均為正品現(xiàn)采用分層抽樣從甲、乙兩組樣品中共抽 取取3件作為標(biāo)本進(jìn)行詳細(xì)的技術(shù)分析設(shè)抽取的標(biāo)本中次品件數(shù)為件作為標(biāo)本進(jìn)

11、行詳細(xì)的技術(shù)分析設(shè)抽取的標(biāo)本中次品件數(shù)為，求，求的的 分布列和期望分布列和期望E. 離散型隨機(jī)變量的均值 的分布列為 離散型隨機(jī)變量的均值 例例5(2011大綱全國(guó)卷大綱全國(guó)卷)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料， 某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5， 購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概 率為率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú) 立立 (1)求該地求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保 險(xiǎn)中的險(xiǎn)中的1種的概率；種的概率； (2)X表示該地的表示該地的100位車主中，甲、乙兩位車主中，甲、乙兩

12、種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求X的期的期 望望 離散型隨機(jī)變量的均值 解：設(shè)解：設(shè)A表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主購(gòu)買甲種保位車主購(gòu)買甲種保 險(xiǎn)；險(xiǎn)；B表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主購(gòu)買乙種保位車主購(gòu)買乙種保 險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)；險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)； C表示事件：該地的表示事件：該地的 1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種；種；D 表示事件：該地的表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都位車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都 不購(gòu)買不購(gòu)買 (1)P(A)0.5，P(B)0.3，CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)0.8. 某地

13、車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu) 買甲種保險(xiǎn)的概率為買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立 (1)求該地求該地1位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的位車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；種的概率； 離散型隨機(jī)變量的均值 某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保，購(gòu)買乙種保 險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 (2)X表示該地的表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)位車主中

14、，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu) 買的車主數(shù)，求買的車主數(shù)，求X的期望的期望 離散型隨機(jī)變量的均值 解解:(1)投籃投籃1次，命中次數(shù)次，命中次數(shù)的分布列如下表：的分布列如下表： 則則E()p0.6. (2)由題意，重復(fù)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)次投籃，命中的次數(shù)服從二服從二 項(xiàng)分布，即項(xiàng)分布，即B(5,0.6)則則E()np50.6 3. 01 P0.40.6 例例6.某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6. (1)求投籃求投籃1次時(shí)命中次數(shù)次時(shí)命中次數(shù)的期望；的期望； (2)求重復(fù)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)次投籃時(shí)，命中次數(shù)的期望的期望 離散型隨機(jī)變量的均值 例例7.(2011課標(biāo)全

15、國(guó)卷課標(biāo)全國(guó)卷)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指 標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì) 量指標(biāo)值大于或等于量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩 種新配方種新配方(分別稱為分別稱為A配方和配方和B配方配方)做試驗(yàn)，各生做試驗(yàn)，各生 產(chǎn)了產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指 標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果 A配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值 分組 90,94) 94,98)98,102)102,106)106,110 頻數(shù)82042228

16、離散型隨機(jī)變量的均值 B配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值 分組 90,94) 94,98) 98,102) 102,1 06) 106,11 0 頻數(shù)412423210 離散型隨機(jī)變量的均值 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為利潤(rùn)記為 X(單位：元)，求求X的分布列及數(shù)學(xué)期望的分布列及數(shù)學(xué)期望(以試驗(yàn) 結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品 的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率) 離散型隨機(jī)變量的均值 解：解：(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的配方生產(chǎn)的 產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為0.3，所以用，所以用A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為配方生產(chǎn)的產(chǎn)

17、品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 0.3. 離散型隨機(jī)變量的均值 X224 P0.040.540.42 離散型隨機(jī)變量的均值 例例8.隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，件，經(jīng)質(zhì)檢， 其中有一等品其中有一等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20 件、次品件、次品4件已知生產(chǎn)件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲件一、二、三等品獲 得的利潤(rùn)分別為得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、萬(wàn)元、2萬(wàn)元、萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而萬(wàn)元，而1件件 次品虧損次品虧損2萬(wàn)元，設(shè)萬(wàn)元，設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)單位：萬(wàn) 元元)為為. (1)求求的分布列；的分布列； (2)求求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)件產(chǎn)品

18、的平均利潤(rùn)(即即的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次 品率降為品率降為1%，一等品率提高為，一等品率提高為70%.如果此時(shí)如果此時(shí) 要求要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則萬(wàn)元，則 三等品率最多是多少？三等品率最多是多少？ 離散型隨機(jī)變量的均值 6212 P0.630.250.10.02 離散型隨機(jī)變量的均值 (2)E()60.6320.2510.1( 2)0.024.34 (3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)，則此時(shí)1件件 產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為 E(x

19、)60.72(1 0.70.01x)1x(2)0.014.76 x(0 x0.29) 依題意，依題意，E(x)4.73，即，即4.76x4.73. 解得解得x0.03，所以三等品率最多為，所以三等品率最多為3%. 離散型隨機(jī)變量的均值 練練.某城市出租汽車的起步價(jià)為某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路不元，行駛路不 超出超出4 km時(shí)租車費(fèi)為時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出元，若行駛路程超出4 km，則按每超出，則按每超出1 km加收加收2元計(jì)費(fèi)元計(jì)費(fèi)(超出不足超出不足1 km的部分按的部分按1 km計(jì)計(jì))從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng) 到某賓館的路程為到某賓館的路程為15 km.

20、某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī) 場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不 同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)這個(gè) 城市規(guī)定，每停車城市規(guī)定，每停車5分鐘按分鐘按1 km路程計(jì)費(fèi)，不路程計(jì)費(fèi)，不 足足5分鐘的部分不計(jì)費(fèi)分鐘的部分不計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅，這個(gè)司機(jī)一次接送旅 客的轉(zhuǎn)換后的行車路程客的轉(zhuǎn)換后的行車路程是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè) 他所收租車費(fèi)為他所收租車費(fèi)為. 離散型隨機(jī)變量的均值 (2)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的分布的分布列為列為 15161718 P0.10.50.30.1 (3)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車元，而出租汽車 實(shí)際行駛了實(shí)際行駛了15 km，問(wèn)出租車在途中因故停，問(wèn)出租車在途中因故停 車?yán)塾?jì)多長(zhǎng)時(shí)間？車?yán)塾?jì)多長(zhǎng)時(shí)間？ (1)求租車費(fèi)求租