平面幾何地26個(gè)定理

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案楮彩文檔高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽班二試講義第1講平面幾何中的26個(gè)定理班級(jí)姓名一、知識(shí)點(diǎn)金1.梅涅勞斯定理：若直線1不經(jīng)過(guò)AABC的頂點(diǎn)并且與AABC的三邊BCQAAB或它們的延長(zhǎng)線注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立（用同一法證明）2塞瓦定理：設(shè)P,Q、R分別是AABC的三邊BCQAAB或它們的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)， 若AP.BQ.CRH線共點(diǎn)，則更.絲=】PC QA RB注：塞瓦定理的逆定理也成立3.托勒密定理:在四邊形ABCD中，有AB CD + BC-AD AC-BD，并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD 內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。證：在四邊形ABCD內(nèi)取點(diǎn)E,使ZBAE = ZCAD, ZABE = ZACDA

2、B RE貝嘰 A ABE 和 4ACD 相似 /.=二 AB CD二 AC BEAC CDAB AE乂 = 且ZBAC = ZEAD ABC和AAED相似 AC ADBC ED J.= AD BC = AC EDAC AD. AB CD + AD BC = AC (BE + ED) AD CD 十 AD DC AC DD且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)E在BD上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)成立:注：托勒密定理的逆定理也成立4. 西姆松定理，若從AABC外接圓上一點(diǎn)P作RCAB,CA的垂線. 垂足分別為DEF ,則D,E.F三點(diǎn)共線。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案西姆松定理的逆定理：從點(diǎn)P作BC,AB,CA的垂線，垂

3、足分別為D,E,F o若D,E,F三點(diǎn)共 線，則點(diǎn)P在AABC的外接圓上。5. 蝴蝶定理：圓0中的弦PQ的中點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB, CD,弦AD與BC分別交PQ 于X, Y,則M為XY之中點(diǎn)。證明：過(guò)圓心0作AD與BC的垂線，垂足為S、T. 連接 OX, OY, OM, SM,V AAMDACMB am/cm=ad/bcVAS=1/2AD, BT=1/2BC A Ah4/CM=AS/CT 又: ZA=Z C AMS s CMT:.ZMSX=ZMTYT ZOMX=ZOSX=90A ZOhlX+ZOSX=180oAO, S, X, M四點(diǎn)共圓同理，O, T, Y, M四點(diǎn)共圓ZMTY=ZMOY

4、, ZMSX=ZMOXZMOX=ZMOY ,TOM丄PQ .*.XM=YL1注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理也成立6. 坎迪定理：設(shè)AB是已知圓的弦，M是AB上一點(diǎn)，弦CD,EFMN AM MB過(guò)點(diǎn)M,連結(jié)CF.ED,分別交AB于L,N,則丄LM7. 斯特瓦爾特定理：設(shè)P為AABC的BC邊上任一點(diǎn)，則令. .PC . BP “BP 】AP = AB + A 一 B-oBCBCBC 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8. 張角定理：設(shè)AC,B順次分別是平而內(nèi)一點(diǎn)P所引三條射線AB.AP.AC上的點(diǎn)，線段AC.CB 對(duì)點(diǎn)P的張角分別為乙0,且a+Q2r 證明：設(shè)外心為O,內(nèi)心為I,連結(jié)OI,

5、延長(zhǎng)交外接圓于N,P兩點(diǎn)，令d = OI , AI交外接Il圓于L,貝i(R-d)(R+d) = NI1P = LIIA=LBIA=2Rsin=2Rr2 Sill-212笛沙格定理;在AABC和中，若AA,BB,CC相交于一點(diǎn)0,則AB與AB , BC與 BC, AC與AC的交點(diǎn)F.D.E共線。證明：AOBC和梅尼線BCD,要竺竽=1； AOAB和梅尼線AEF ,- = 1：BE DC COAA FB BOOAC和梅尼線ZC它,2竺竺=1,三式相乗，得型 = lo得證CC EA AODC EA FB13. 牛頓(Newton)定理 1：圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交

6、點(diǎn)覓合。證法1:設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E.F.G.H首先證明，直線AC.EG.FH交于一點(diǎn)設(shè)EG.FH分別交AC于點(diǎn)I,T顯然 ZAHF=ZBH * ,因此易知 Ar*Hr/Fr*Cr=S(ArH)/S(CrF)=AH*HI7CF*FI故 AI7CI=AH/CF同樣町證 AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG故 AI/CI=AH/CF=AI7Cr從而I,T覓介即直線AC.EG.FH交于一點(diǎn).同理可證衛(wèi)線BD,EG,FH交于一點(diǎn).因此 直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn)。證法2：外四邊形為ABCD,對(duì)應(yīng)內(nèi)切四邊形為EFGH,連接EG, FH交于P。

7、下而證明BD過(guò)P即可。過(guò)D座EG的平行線交BA與S,過(guò)D做FH的平行線交BC于T。由于弦切角及同位角，角 BEG=ffj CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四點(diǎn)共圓，且為等腰梯形。設(shè)此圓為圓M,圓M與 圓O,內(nèi)切圓交于EG,所以其根軸為EG,同理對(duì)圓N, DHFT,與圓0交于HF。HF為此兩圓 的根軸。由根軸定理，只需證明BD為圓M與圓N的根軸即町證明BD, EG, HF共于點(diǎn)P。D在圓M和圓N上，所以其為根軸一點(diǎn)。由于SEGD,利DHFT為等腰梯形，所以ES=DG, DH=FTo fh切線長(zhǎng)定理，DH=DG, BE=BF；所以 BE=BF, ES=FT, BS=BT。若 B 為圓 M

8、與圓 N 的根軸上一點(diǎn)，則BE*BS=BF*BT.其為割線長(zhǎng)。明顯等式成芷。所以BD為圓M與圓N的根軸， 則BD, EG, HF共于點(diǎn)P。同理AC, EG, HF共于點(diǎn)P。命題得證。14. 牛頓(Newton)定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn),及該圓的圓心,三點(diǎn)共線.證明：設(shè)四邊形ABCD是。I的外切四邊形，E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中 點(diǎn)，連接EI只需證它過(guò)點(diǎn)F,即只需證ABEI與ADEI面積相等。顯然，SA BEI=SA BIC+SA CEI-SA BCE. ftn SA DEI=SA ADE+SA AIE-SA AIDo注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于I, AB+CD=AD+

9、BC, SA BIC+SA AID=1/2*S四邊形 ABCD, SA ADE+SA BCE=1/2*SA ACD+1/2*SA ABC=1/2*S 四邊形 ABCD即 SA BIC+SA AID=SA ADE+SA BCE,移項(xiàng)得 SA BIC-SA BCE=SA ADE-SA AID,由 E 是 AC 中點(diǎn)，SA CEI=SA AEI,故 SA BIC+SA CEI-SA BCE=SA ADE+SA AIE-SA AID ,即 SA BEI=A DEL而F是BD中點(diǎn)，由共邊比例定理EI過(guò)點(diǎn)F即EF過(guò)點(diǎn)I,故結(jié)論成立。15. 牛頓(Newton)定理3：完全四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線

10、段的中點(diǎn)和兩條對(duì) 角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條輕叫做這個(gè)四邊形的牛頓線，證明：四邊形ABCD,ABnCD=E,ADnBC=F,BD中點(diǎn)M.AC中點(diǎn)L.EF中點(diǎn)N 取BE 中點(diǎn) P.BC 屮點(diǎn) R,PNCICE=QR,L,Q 共線，QL/LR=EA/AB: M,R,P 共線，RM/MP=CD/DE； N.P.Q 共線，PN/NQ=BF/FCo三式相乘得 QL/LR*Rhl/hlP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR 水RM/MP *PN/NQ=1APQR及梅尼線LMN,由梅涅勞斯定理的逆定理知L. M, N三點(diǎn)共線。16. 布利安雙定理：設(shè)一六角形外切于一條圓錐曲線.那么它的

11、三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。在此.捉供用初等幾何證明外切于圓的情形。記六邊形為ABCDEF外切于圓O, ABt BC, CDQE,EF,FA上的切點(diǎn)分別是GH,IJK,L設(shè)ABQC 交于X.AF.DE交于Y則四邊形AXDY外切于圓0,切點(diǎn)分別是GJ.J.Lo圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連 線與主對(duì)角線交于一點(diǎn)，有AD,GJ,LI共點(diǎn)（記為點(diǎn)P）。同理，BE,GJ,KH共點(diǎn)（記為點(diǎn)r）,CF,LI,KH 共點(diǎn)（記為點(diǎn)q則命題可轉(zhuǎn)為證明DP.BR.FQ共點(diǎn)。17. 拿破侖定理；若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構(gòu)成一個(gè)正三角形。 證明： 設(shè)等邊 ABD的外接圓和等邊AACF的外接圓相交于0：連AO

12、. CO、B0。 ZADB=ZAFC=60：V A. D、B、0 四點(diǎn)共圓：A. F、C、0 四點(diǎn)共圓: ZAOB=ZAOC=120： ZBOC=120：: A BCE 是等邊三角形ZBEC=60：B、E、C、O四點(diǎn)共圓； :.這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。設(shè)等邊 ABD的外接圓0N,等邊 ACF的外接圓0M,等邊 BCE的外接圓GP相交于0； 連AO、CO、BO。 V A、D、B、O四點(diǎn)共圓：A、F、C、O四點(diǎn)共圓，B、E、C、O四點(diǎn)共圓，ZAFC=ZADB=ZBEC=60： ZAOB=ZAOC=ZBOC=120：TNP、MP、MN是連心線；BO、CO、AO是公共弦；.I BO丄NP于X：C

13、O丄MP于Y： AO丄NM于Z。X、P、Y、O四點(diǎn)共圓； Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓；Z、N、X、0四點(diǎn)共圓：ZN=ZM=ZP=60：即厶MNP是等邊三角形。18. 帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.邊證明：延長(zhǎng)AB. CD. EF.分別交直線CD、EF. AB于M. N、L三點(diǎn)，構(gòu)成 LMN。 LB MC NH _直線EC截LM、MN、NL于BH三點(diǎn)，則17忘禾fETT 直線 DE 截 LM. MN. NL 于 G、D、E 三點(diǎn)，則|LG|/|MG|.|hlD|/|ND| |NE|/1LE|=1 .LA MK NF直線AF截LM、MN、NL

14、于A、K、F三點(diǎn)，則幣.TCK TF MA MB . NC ND 4= i=j連BE,則LALB=LFLE, .。同理MD MC ，NF NE 。NH LG MI _ 1將相乘，得LH MG NK o點(diǎn)H、G、K在ALMN的邊LN、LM、MN的延長(zhǎng)線上，AH. G、K三點(diǎn)共線。19JR日定理(根心定理)：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸柑交 于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心：若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。注：在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓呈相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱 為這兩個(gè)圓的根軸。另一角度也町以稱兩不同心圓的等幕點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等 幕軸。(1) 平面

15、上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；(2) 若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線：(3) 若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線：20. 莫利定理(Moileyl theorem),也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等 分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)町以構(gòu)成一個(gè)正三角形。 這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。證法一：在 ABR中，由正弦定理，得AR=csinp/sin(a+p) 不失一般性， ABC 外接圓直徑為1 ,則由正弦定理，知c=sin3y ,所以AR=( sin3y*sinp )/sin(60-y)=sinp*siny(3-4sinA2 y)

16、/ l/2(3cosy-siny)=Zsinpsiny ( 3cosy+siny )=4sinpsinysin ( 60+y).同理,AQ=4sinpsinysin(60+p)it A ARQ 中，由余弦定理,得 RQA2 =16sinA2 psinA2 ysinA2 (60+y)+sinA2 (60+p)-2sin(60+Y)*sin( 60+p )cosa=16sinA2 asinA2 psinA2 y. 這是一個(gè)關(guān)于a, |3, 丫的對(duì)稱式，同理可得PQT , PRA2有相同的 對(duì)稱性，故PQ=RQ=PR,所以APOR是正三角形。證法二：V AE： AC=siny： sin (a+y),

17、AF： AB=sin|3： sin (a+卩)，AB： AC=sin3y： sin3p./.AE AF= (ACsm (a+y) /siny)： (ABsin (a+p)/sin),而 sinSy： sin3p= (sinysin(60+y)sin(60-y) )： (sinp sin(60+p)sin(60-P), /. AE： AF=sin(60+y)： sin(60+p),.在厶 AEF 中，ZAEF=60+y,同理ZCED=60o+a,A ZDEF=60,DEF 為正三角形。21. 斯坦納一萊默斯定理:A如圖，己知 ABC中，兩內(nèi)角的平分線BD=CEo求證：AB=AC。證法 作ZBDF

18、=ZBCE：并使DF=BCVBD=EC,BDF 絲ECB,BF=BE,ZBEC=ZDBF 設(shè) Z ABD=ZDBC=a, ZACE=ZECB=p, ZFBC=ZBEC+a=180o-2a-p+a=180.(a+p), ZCDF=ZFDB+ZCDB=p+180-2p-a=180-(a+p),:.ZFBC=ZCDF.V2a+2p180o,:.a+p90過(guò)C點(diǎn)作FB的垂線和過(guò)F點(diǎn)作CD的垂線必都在FB ft CD的延長(zhǎng)線上設(shè)垂足分別為 G、H,ZHDF=ZCBG, VBC=DF, ARtA CGBRtA FHD, .CG=FH,BC=FD 連接 CF, VCF=FC,FH=CG, ARtA CGFA

19、FHC (HL), /. FG=CH,又 VBG=DH,/-BF=CD, 又 VBF=BE,ACD=BE , VBE=CDBC=CBEC=DB. A ABEC ACDB ,/ ZABC=ZACBAAB=AC證法 設(shè)二角的一半分別為 a. p ,sin(2a+p)/ sin2a= BC/CE = BC/BD = sin(a+2p)/ sin?氏 /. 2sinacosasin(a+2p) 2sinpcospsin(2a+p)=0sinasin2(a+p)+sin 20- sinpsin2 (a+p)+ sin2a=0-sin2(a+p)sina-sinp+2 sinasinflcosp cosa

20、=0sin (a-P)/2 sin2(a+P) cos(a+p)/2 + 2 sinasinpsin (a+p)/2=0 sin (a-p)/2=0a邙,Z. AB=AC.證法 用張角定理:2cosa/BE=l/BC+l/AB ,2cosp/CD=l/BC+l/AC ,若a邛 町推出ABAC矛盾！若avp町推出AB AC矛盾！ 所以AB=AC22. 費(fèi)爾馬點(diǎn)：費(fèi)爾馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和繪短的點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)頂角不 超過(guò)120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120度的點(diǎn)。對(duì)于一個(gè)頂角超過(guò)120度的三角 形，費(fèi)爾馬點(diǎn)就是繪大的內(nèi)角的頂點(diǎn)。證明： 在平面三角形中：(1)三內(nèi)角皆小于1

21、20。的三角形，分別以ABRCQA,為邊，向三 角形外側(cè)做正三角形ABC1CB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)R則點(diǎn)P就是所 求的費(fèi)馬點(diǎn).(2)若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求(3)當(dāng)厶ABC 為等邊三角形時(shí)匕時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合 (1)等邊三角形中BP=PC=PA, BP、PC、PA分別為 三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內(nèi)切圓和外切圓的A BPCACPAAPBAo(2)當(dāng)BC=BA但CAHAB時(shí)，BP為三角形CA上的高和中線、三角上的角分線。證明(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120度。 CC1B 和厶 AA1B 中,BC=BA1,BA

22、=BC1,ZCBC1=ZB+6O =ZABA1, CC1B 和厶 AA1B 是 全等三角形，得到ZPCB=ZPA1B 同理可得ZCBP=ZCA1P 由ZPA1B+ZCA1P=6O度，得 ZPCB+ZCBP=60 度，所以 ZCPB=120 度 同理,ZAPB=120 度，ZAPC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1將厶BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60應(yīng)與 BDA1旋合，連結(jié)PD4IU PDB 為等邊三角形，所以ZBPD=60度 又ZBPA=120度，因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上， 又 ZCPB=ZA1DB=12O 度，ZPDB=60 度，ZPDA1=18O 度，所以 A、P、D、A1

23、四點(diǎn)在同一直線 上，故PAiPBiPC=AAlo (3)PAIPBIPC Ai短 在 ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M (不與點(diǎn)P垂合)， 連結(jié)AM、BM、CM,將AEMC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與 BGA1重介，連結(jié)AM、GM、 皓彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案A1G(同上)，則AA1VA1G+GM+MA二AM+BM+CM所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離瑕短。 平面四邊形費(fèi)馬點(diǎn) 平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角型中較為簡(jiǎn)易，也校容易研究。(1) 在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。 (2)在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬 點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D (P)o23. 等差農(nóng)線定理：已知A、B亮點(diǎn)，則滿足AP2-

24、BPMc(k為常數(shù))的點(diǎn)P軌跡是垂直于AB的 條直線。24. 婆羅摩笈多定理若圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊CD且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)E的直 線EF將AB平分對(duì)邊。25.萊莫恩(Lemoine)定理：過(guò) ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線分別和BC、 CA. AB所在直線交于P、Q、R,則P. Q、R三點(diǎn)共線。直線PQR稱為 ABC的萊莫恩線。證明：由弦切角定理町以得到：sinZACR=sinZABC , sinZBCR=sinZBACsin Z B AP=sni Z B C A,sin Z CAP=sinZABCsin Z CBQ=sin ZBACsin Z ABQ=s

25、inZBCA所以，我們可以得到：(sniZACR/sinZBCR)*(sinZBAP/smZCAP)sinZCBQ/sinZABQ)=b 這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到 ABC被直線PQR所截，即P、Q、R共線。26清宮定理：設(shè)P、Q為A ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、 AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線 于D、E、F,則D、E、F在同一直線上證明：設(shè)P、Q為厶ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、 E、F 這時(shí)，P、Q兩點(diǎn)和D、F、E、三點(diǎn)有如下關(guān)系：將三角形的三邊或者其延長(zhǎng) 線作為鏡面，則從P點(diǎn)出發(fā)的光線照到D點(diǎn)經(jīng)過(guò)BC反射以后通過(guò)Q點(diǎn)，從P點(diǎn)出發(fā)的光 線照到已點(diǎn)經(jīng)AC的延長(zhǎng)線反射