初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題(含答案)

1、初三數(shù)學(xué)相似三角形 （一）相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是： 1. 理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或 兩線段的比，了解黃金分割。 2. 會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成已知比。 3. 能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。 4. 能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問(wèn)題 本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。 本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。 相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一， 在中考試題中時(shí)常與

2、四邊形、 圓的知識(shí)相結(jié)合構(gòu)成 高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單 獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。 （二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹： 1.比例線段的有關(guān)概念： 在比例式 c（a： b c： d）中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng), b d b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果 b=c,那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。 C叫做線段AB 把線段AB分成兩條線段 的黃金分割點(diǎn)。 AC和BC,使AC=AB BC,叫做把線段 AB黃金分割， 2.比例性質(zhì) : 基本性質(zhì)： a c ad bc b d 合比性質(zhì): a c a b c d b

3、d bd 等比性質(zhì)： a c m (b d 亠a c m a n產(chǎn)0) d n b d n b b 3. 平行線分線段成比例定理: 定理：三條平行線截兩條直線， I 1 / l 2 H | 3。 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖: BC EF AC DF 貝y AB DE AB DE 、BC EF AC DF 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。 定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這 條直線平行于三角形的第三邊。 4. 相似三角形的判定： 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)

4、成比例，兩三角形相似 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng) 成比例，那么這兩個(gè)直角形相似 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角 形相似 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 5. 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形面積的比等于相似比的平方 【典型例題】 例1. （ 1）在比例尺是1 : 8000000的中國(guó)行政區(qū)地圖上，量得A、B兩城市的距離是 7.5厘米

5、，那么A、B兩城市的實(shí)際距離是千米。 （2）小芳的身高是1.6m,在某一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是18米, 則此建筑物的高是米。 解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡(jiǎn)單。 （1）應(yīng)填 600（ 2）應(yīng)填 14.4 。 例2.如圖，已知 DE/ BC, EF/ AB,則下列比例式錯(cuò)誤的是: AD AE A.- AB AC DE AD C.- BC BD CE EA B.- CF FB D雯圧 AB CB 分析: 由DE / BC, EF/ AB可知，A、B、D都正確。而不能得到 DE BC AD BD 故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰(shuí)是截線、誰(shuí)是

6、被截 線，C中 匹很顯然是兩平行線段的比, BC 因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比 例這一性質(zhì)來(lái)寫(xiě)結(jié)論，即匹 BC AB AE AC 例3.如圖，在等邊厶 ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且/ APD=60 , BP 1, CD 2 -,求厶ABC的邊長(zhǎng) 3 解： 又/ PDC2 1 + Z APD=/ 1+60 / APB=Z 1+Z C=Z 1+60 / PDCZ APB PDCA APB PC AB 設(shè) PC=x, / ABC是等邊三角形 C=Z B=60 CD PB 貝U AB=BC=1+x - 3， x 2, 1 x 1 x AB=1+x=3o ABC的邊長(zhǎng)為3。 例4.

7、如圖：四邊形ABEG GEFH HFC都是邊長(zhǎng)為a的正方形, 求證： AEFA CEA 求證：/ AFB+Z ACB=45 (1) (2) 分析：因?yàn)?AEF、A CEA有公共角/ AEF 故要證明厶AEFA CEA 只需證明兩個(gè)三角形中，夾/ AEF / CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。 證明：(1)v四邊形 ABEG GEFH HFCD是正方形 AB=BE=EF=FC=a / ABE=90 AE2a, EC 2a AE 2a c EC 2a 2, 2 EF aAE 2a .AE EC EF AE 又/ CEA=/ AEF CEAA AEF (2) AEFA CEA / AFE=Z EAC 四邊

8、形ABEG是正方形 AD/ BC, AG=GE AGL GE / ACB玄 CAD / EAG=45 / AFB+Z ACB玄 EAC+Z CAD=/ EAG / AFB+Z ACB=45 例5.已知：如圖，梯形 ABCD中, AD/ BC AC BD交于點(diǎn) O, EF 經(jīng)過(guò)點(diǎn) O且和兩底平行, 2 交AB于E,交CD于 F 求證：OE=OF 證明： OE AD/ EF/ BC EB AE OE BC AB AD AB OE OE AE EB BC AD AB AB 1 1 1 BC AD OE 同理： 1 1 1 BC AD OF AB AB 1 OE 1 OF OE=OF 從本例的證明過(guò)程

9、中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論: AD / EF / BC 1 AD 1 BC 1 OE AD / EF / BC OE OF 丄EF 2 AD / EF / BC 1 1 1 1 2即11 2 AD BC OE 丄EF OFAD BC EF 這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD BC EF中，已知任何兩條線段的長(zhǎng)度，都可以 求出第三條線段的長(zhǎng)度。 例 6.已知：如圖， ABC 中，AD丄 BC于 D, DEL AB 于 E, DF 丄 AC于 F AE AC 求證： AF AB 分析：觀察AE、AF、AC AB在圖中的位置不宜直接通過(guò)兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可 根據(jù)圖中直角三角形多，

10、因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代 換，通過(guò) ABDADE，可得：些 空，于是得到AD2 AE AB，同理 AD AE 可得至U AD2 AF AC,故可得：AE AB AF AC,即卩 維 些 AF AB 證明：在厶ABDD ADE中, / ADB玄 AED=90 / BADh DAE ABDA ADE .AB AD AD AE AC?=AE - AB 同理： ACDA ADF 可得：AD=AF AC AE - AB=AF- AC AE AC AF AB 例7.如圖，DABC中BC邊上的一點(diǎn)，/ CADM B,若AD=6 AB=8 BD=7,求DC的長(zhǎng)。 分析：本題的圖形是證明比

11、例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本 圖形中得到的相似三角形， 從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例， 從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程， 使問(wèn) 題得以解決。 解：在厶ADCn BAC中 / CAD=/ B,M C=M C ADCA BAC AD DC AC AB AC BC 又 AD=6 AD=8 BD=7 .DC AC 3 . , , AC 7 DC 4 DC 3 即AC 已知線段a=4cm, b=9cm,則線段a、b的比例中項(xiàng)c為cm。 解得：DC=9 AC 3 7 DC 4 例8.如圖，在矩形 ABCD中, E是CD的中點(diǎn)，BEX AC于F,過(guò)F作FG/ AB交AE于G, 求證：aG=

12、AF FC 證明：在矩形ABCD中, AD=BC / ADC玄 BCE=90 又 E是CD的中點(diǎn)， DE=CE Rt ADE Rt BCE AE=BE / FG/ AB 些 AG BE BF AG=BF 在Rt ABC中，BF丄AC于F Rt BFC Rt AFB af 皀 BF FC BF2=AF FC aG=AF FC 例9.如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC,若/ BCD的平分線 CH丄AB于點(diǎn)H, BH=3AH且四邊 形AHCD勺面積為21,求厶HBC的面積。 分析：因?yàn)閱?wèn)題涉及四邊形 AHCD所以可構(gòu)造相似三角形。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面 積比而加以解決。 解：延長(zhǎng)BA CD

13、交于點(diǎn)P / CH AB, CD平分/ BCD CB=CP 且 BH=PH / BH=3AH PA: AB=1: 2 PA: PB=1: 3 / AD/ BC PADA PBC 4 在厶ABC中，點(diǎn) D E分別在邊 AB AC 上, DE/ BC 如果 AD=8 DB=6 EC=9那么 AE= APAD : SA PBC1 : 9 SpcH 1S PBC 2 SAPAD S四邊形AHCD2 : 7 S四邊形AHCD 21 pad 6 SA PBC 54 Shbc 1 Sa pbc27 2 一、填空題 1. 已知 a2b 9，則 a： b 2a b 5 2. 若三角形三邊之比為 3: 5: 7,

14、與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21cm,則其余兩邊之和 是cm 3. 如圖， ABC中，D E分別是 AB AC的中點(diǎn)，BC=6 貝U DE=; ADE-與 ABC的面積之比為： 。 6.已知三個(gè)數(shù) 1 , 2 ,.3,請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是 EF= 7. 如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC, EF/ BC,若 AD=12cm BC=18cm AE EB=2: 3,則 8. 如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC / A=90, BDL CD, AD=6 BC=1Q 則梯形的面積為: 二、選擇題 1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3: 4，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是 A

15、. 9: 16 B. 、3 : 2 C. 3 : 4 D. 3 : 7 2.在比例尺為 的實(shí)際面積是 1： m的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng) a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū) abm C. 4 104 abm2 D. EF/ AB,則下列結(jié)論: 3. 已知，如圖, AE BE AD AB EC FC BF BC 金EF DE CE EA AB BC CF BF 其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是 A. 4 個(gè) B. 3個(gè)C. 2個(gè) D. 1個(gè) 4. 如圖，在 ABC中，AB=24, AC=18, D是 AC上一點(diǎn)，AD=12 在 AB上取一點(diǎn) E,使 A D E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與 ABC相似，則AE

16、的長(zhǎng)是 A. 16 B. 14 或9 5. 如圖，在 Rt ABC中，/ BAC=90 , D是BC的中點(diǎn)，AELAD,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, 則下列結(jié)論正確的是 A. AEDA ACB C. BAEA ACED. B. AEBA ACD AECA DAC 三、解答題：1. 如圖，AD/ EG/ BC, AD=6 BC=9 AE: AB=2 3，求 GF 的長(zhǎng)。 2. 如圖， ABC中, ，/ CDB=60 , 求證: 3. AB3A CBD 如圖，BE%A ABC的外接圓O的直徑，ABC的高, 求證：AC- BC=BE- CD 4.如圖，Rt ABC中，/ ACB=90 , AD平分/ C

17、AB交 BC于點(diǎn) D, 過(guò)點(diǎn)C作CE1 AD于 AD=1Q AB 4 5 , E, CE的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EG/ BC交AB于點(diǎn)G, AE- (1) 求證：CE=EF (2) 求EG的長(zhǎng) 參考答案 一、填空題： 1. 19: 13 2. 243. 3 ； 1 : 44. 65. 12 2、2、2 等。 2 6. 只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如: 7. 14.48. 16 6 二、 選擇題：1. C 2. D3. C4. D 5. C 三、解答題： 1. 解: / AD/ EG/ BC EG AE 在厶 ABC中,有 BC AB EF BE 在厶ABD中，有

18、ADAB / AE: AB=2: 3 BE: AB=1 : 3 21 EG BC, EF AD 33 / BC=9 AD=6 EG=6 EF=2 GF=EG EF=4 2. 解：過(guò)點(diǎn)B作BEX CD于點(diǎn)E, / CDB=60，/ CBD=75 / DBE=30 , / CBE=/ CBD-Z DBE=75 30 =45 CBE是等腰直角三角形。 / AB=3AD 設(shè) AD=k 貝U AB=3k, BD=2k DE=k BE 3k BC 6k .BD 2k 2 BC 、6k 、3， i BC 6k 2 AB 3k 3 .BD BC BC AB ABCA CBD 3. 連結(jié)EC, BC BC / E=Z A 又 BE是O O的直徑 / BCE=90 又 C