初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題x

1、 專題二代數(shù)應(yīng)用型題二 【考點(diǎn)透視】 縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷， 應(yīng)用題占有較大的比重， 約占全卷總分的20%左右.這些應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際， 貼近生活，從同學(xué)們的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情景本專題主要 研究應(yīng)用數(shù)與式、不等式、函數(shù)以及統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決的應(yīng)用問題. 【典型例題】 一、用數(shù)與式知識(shí)解決的應(yīng)用題 數(shù)式是最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言由于它能夠有效、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，富有通用性和啟發(fā)性，因 而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法. 例2 （2001天津）某企業(yè)有九個(gè)生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個(gè)車間原有的成品一樣多，每個(gè)車間每天生產(chǎn)的成品 也一樣多.有 A、B兩組檢驗(yàn)員，其中 A

2、組有8名檢驗(yàn)員， 他們先用兩天將第一、第二兩個(gè)車間的所有成品（指原有的和后來生產(chǎn)的）檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)第三、 第四兩個(gè)車間的所有成品，又用去了三天時(shí)間；同時(shí)，用這五天時(shí)間，B組檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完余下的五個(gè)車間 的所有成品.如果每個(gè)檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度一樣快，每個(gè)車間原有的成品為 a件，每個(gè)車間每天生產(chǎn) b件成品. （1）試用a, b表示B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的成品總數(shù)； （2）求B組檢驗(yàn)員的人數(shù). 分析 （1） B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)了 5個(gè)車間的成品，每個(gè)車間原有 a件成品，每天生產(chǎn) b件成品，則每個(gè) 車間5天后的成品數(shù)為（a+5b）件. B組檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的所有成品數(shù)為5 （a+5b） =5a+25b （件）. （

3、2） A組有8名檢驗(yàn)員，在前兩天內(nèi)檢驗(yàn)了兩個(gè)車間，每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為 個(gè)車間5天后的成品數(shù)為2 （a+ 5b）, 8名檢驗(yàn)員在后三天內(nèi)每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為 綸細(xì)，后檢驗(yàn)的2 2 2（a5b） 3 因?yàn)闄z驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度相同，所以，有型 型 空 岀，即a 4b 23 因?yàn)?名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為空 型,所以，一名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為 2 83b (件) 5(a5b) 5 -b 12 . 4 24 由（1）可知，B組檢驗(yàn)的5個(gè)車間5天后的成品數(shù)為5（a+5b）,這些檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)為 3 件，即（a+ 5b）件根據(jù)題意，a工0, b工0，所以，B組檢驗(yàn)員的人數(shù)為（a 5b） -b 9b

4、4 說明 建立2（a 2b） 2（a 5b）的相等關(guān)系是本題的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是抓住A組8名檢驗(yàn)員 23 前兩天每天檢驗(yàn)的成品數(shù)=后三天每天檢驗(yàn)的成品數(shù)”，這是比較隱蔽的條件. 二、用不等式知識(shí)解決的應(yīng)用題 現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的.許多問題有時(shí)并不需要研究他們之間的相等關(guān)系，而只需確定某 個(gè)量的變化范圍即可對(duì)所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識(shí). 例3.某企業(yè)為了適應(yīng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的需要，決定進(jìn)行人員結(jié)構(gòu)調(diào)整，該企業(yè)現(xiàn)有生產(chǎn)性行業(yè)人員100人， 平均每人全年創(chuàng)造產(chǎn)值 a元，現(xiàn)欲從中分流出 x人去從事服務(wù)性行業(yè).假設(shè)分流后，繼續(xù)從事生產(chǎn)性行業(yè)的 人員平均每人全年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加20%，而分流從事服

5、務(wù)性行業(yè)的人員平均每人全年可創(chuàng)造產(chǎn)值3.5a元.如 果要保證分流后，該廠生產(chǎn)性行業(yè)的全年總產(chǎn)值不少于分流前生產(chǎn)性行業(yè)的全年總產(chǎn)值，而服務(wù)性行業(yè)的全 年總產(chǎn)值不少于分流前生產(chǎn)性行業(yè)的全年總產(chǎn)值的一半，試確定分流后從事服務(wù)性行業(yè)的人數(shù). （2000年江蘇省南通市中考試題） 分析：設(shè)分流后從事服務(wù)性行業(yè)的人數(shù)為x人，可創(chuàng)造產(chǎn)值3.5a元，則企業(yè)生產(chǎn)性人員還有（100 - x） 人，可創(chuàng)產(chǎn)值（1 + 20%） a （100-x）.分流前共創(chuàng)產(chǎn)值 100a元，于是可列不等式組求解. 解: 由題意，得 (100 x)(1 20%)a 1 100a, 3.5ax 2 100a- 即 1.2(100 x) 1

6、00, 解得 100 x 50 3.5x 50. 7 3 / x為正整數(shù)， x的取值為15, 16. 答：從事服務(wù)性行業(yè)的人員為15人或16人. 說明：本題的最后兩句話提出了全年總產(chǎn)值的目標(biāo)，這是列不等式組的依據(jù). 請(qǐng)你進(jìn)一步思考：本題從事服務(wù)性行業(yè)的人員15人或16人中，哪一個(gè)結(jié)果更好? 例4.為了保護(hù)環(huán)境，某企業(yè)決定購(gòu)買10臺(tái)污水處理設(shè)備，現(xiàn)有 A、B兩種型號(hào)的設(shè)備，其中每臺(tái)的價(jià) 格、月處理污水量及年消耗費(fèi)如下表: A型 B型 價(jià)格（萬兀/臺(tái)） 12 10 處理污水量（噸/月） 240 200 年消耗費(fèi)（萬兀/臺(tái)） 1 1 經(jīng)預(yù)算，該企業(yè)購(gòu)買設(shè)備的資金不高于105萬元. (1) 請(qǐng)你設(shè)計(jì)該

7、企業(yè)有幾種購(gòu)買方案； (2) 若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案； (3) 在第(2)問的條件下，若每臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，污水廠處理費(fèi)為每噸10元，請(qǐng)你計(jì)算，該企 業(yè)自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比較，10年節(jié)約資金多少萬元？(注：企業(yè)處理污水的費(fèi) 用包括購(gòu)買設(shè)備的資金和消耗費(fèi)) (2003年黑龍江省中考試題) 分析：若企業(yè)購(gòu)買A型號(hào)的設(shè)備x臺(tái)，則購(gòu)買B型號(hào)的設(shè)備(10-x)臺(tái)，根據(jù)表格給出的 A、B兩種 型號(hào)設(shè)備的有關(guān)信息，即可求出企業(yè)購(gòu)買設(shè)備的資金. 解： (1)設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備 A型x臺(tái)，貝U B型(10 x)臺(tái). 由題意知，12x+10(

8、10 x) 105,解得 x 2040，解得 x 1 . x 為 1 或 2. 當(dāng)x=1時(shí)，購(gòu)買資金為 12X 1+10 X 9=102(萬元)； 當(dāng)x=2時(shí)，購(gòu)買資金為 12X 2+ 10 X 8=104(萬元). 為了節(jié)約資金，應(yīng)選購(gòu)A型1臺(tái)，B型9臺(tái). (3) 10年企業(yè)自己處理污水的總資金為102+10 X 10=202(萬元). 若將污水排到污水廠處理，10年所需費(fèi)用 2040X 12 X 10X 10=2448000(元)=244.8(萬元). 244.8 202=42.8(萬元)，能節(jié)約資金 42. 8萬元. 說明：對(duì)于不同的購(gòu)買方案，何種最優(yōu)？最好的辦法就是分類討論. 三、用函

9、數(shù)知識(shí)解決的應(yīng)用題 函數(shù)應(yīng)用問題主要有下列兩種類型： (1 )從實(shí)際問題出發(fā)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式； (2 )由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式. 例5.某化工材料經(jīng)銷公司，購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元，物價(jià)部門規(guī) 定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí)，日均銷售60千 克；單價(jià)每降低1元，日均多售出2千克.在銷售過程中，每天還要支出其他費(fèi)用 500元(天數(shù)不足一天時(shí)， 按整天計(jì)算).設(shè)銷售單價(jià)為x元，日均獲利為y元. (1) 求y關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，并注明 x的取值范圍； h/h （2） 將（1）中所

10、求出的二次函數(shù)配方成y a（x）2的形式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；在直角坐標(biāo) 2a4a 系中畫出草圖；觀察圖像，指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲利最多，是多少？ （3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷售單價(jià)最高這兩種銷售方式，哪一種獲總利較多， 多多少？ （2001年河北省中考試題） 分析：若銷售單價(jià)為x元，則每千克降低（70 x）元，日均多售出 2 （70 x）千克，日均銷售量為 60 + 2 （70 x）千克，每千克獲利為（x 30）兀.從而可列出函數(shù)關(guān)系式. 解： （1）根據(jù)題意，得 2 y （x 30）60 2（70 x）500 2x 260 x 6500 （30 x195000,且22

11、1500 195000=26500元，所以，銷售單價(jià)最高時(shí)獲總利較多，且多獲利26500 元. 說明：根據(jù)題意，正確列出二次函數(shù)關(guān)系式，是解決（2 ）、（ 3）兩小題的關(guān)鍵.這里，特別要注意自 變量x的取值范圍. 例6某市20位下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場(chǎng)，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物 每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測(cè)如下表. 作物品種 每畝地所需職工數(shù) 每畝地預(yù)計(jì)產(chǎn)值 蔬菜 1 2 1100 元 煙葉 1 3 750元 小麥 1 4 600元 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一下種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20位職工都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值最多. （2001年甘肅省中考試題） 解：設(shè)種植蔬菜

12、x畝，煙葉y畝，則小麥有（50-x y）畝.根據(jù)題意，有 所以 y= 90 3x. 再設(shè)預(yù)計(jì)總產(chǎn)值為 w，貝U w=1100 x+ 750y+ 600 （50 x y） =500 x+ 150y+ 30000 . 把 y= 90 3x 代入上式，得 w= 43500 + 50 x. / y=90 3x0,0v x 30時(shí)，yi y2；當(dāng)x= 30時(shí)，yi = y2 ；當(dāng)xv 30時(shí)，yiv y2.即當(dāng)這批光盤多于 30張時(shí)，自刻費(fèi)用 省；當(dāng)這批光盤少于 30張時(shí)，到電腦公司刻錄費(fèi)用??；當(dāng)這批光盤為30張時(shí)，到電腦公司與自刻費(fèi)用 一樣. 2. (i) I2600X； (2)設(shè)購(gòu)A型發(fā)電機(jī)x臺(tái)，則

13、購(gòu)B型發(fā)電機(jī)(I0 x)臺(tái).根據(jù)題意，得 0.3x 0.2(10 x) 12600 x 7800(10 2.6, ” 解得51.6(萬元); 投入資金為 2+4+6=12(萬元)1.6(萬 元). 1 5. (1) y= - 10 x+30; (2) z= - 1 /+34x 1510,當(dāng) z=1130 時(shí)，即 1130= - 10 x2+34x- 1510.解得 X1 =120, x 2=220.函數(shù) z=-和 x2+34x -1510的圖像大致如圖略，由圖像可以看出：當(dāng)120W xw220時(shí)，z 1130.所以第二年的銷售單價(jià)應(yīng) 確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).(函數(shù)圖像略)

14、 6. (1) 50人；(2)頻率=0.08; ( 3)眾數(shù)落在80.590.5這一小組內(nèi)；(4)優(yōu)秀率不低于 90% 7. (1 )7;26;5月11日至29日每天新增確診病例的人數(shù)，19. (2 10人； 11, 40, 0.125, 0.325; 25 . 當(dāng) x 取 160 時(shí)，z= - X 1602+34 X 160 - 3200=320 . 1 320=-10 /+34x 3200，整理，得 x2-340 x+ 28800=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得160+x= 340. x =180，即同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可以定為180元. 1 1 當(dāng)x =160時(shí)，y=-石X 160+30

15、=14 ;當(dāng)x = 180時(shí)，y=-石X 180+30=12，即相應(yīng)的年銷售量分別為14 萬件和12萬件； 1 2 1 2 (4) z= - 10 x2+34x 3200= - 10 (x- 170)2- 310. 當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，最大值為一 310.也就是說：當(dāng)銷售單價(jià)定為170元時(shí)，年獲利最大，并且 到第一年年底公司還差 310萬元就可收回全部投資.第二年的銷售單價(jià)定為 x元時(shí)，則年獲利為 1 z= 10 甲公司(6x+ 1500) y1 = 6S+1500+ 時(shí)間分別為：甲公司（A 4）小時(shí)，乙公司（2 ）小時(shí)，丙公司（-S 3）小時(shí)，所以 6050100 （S 4）X 300=11S+2700,