微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明

1、第一章曲線論 2向雖函敎亂 問試曲數(shù)只/)具有固定方向的充姜條件圧產(chǎn)X ?(/)= 0分析： 卜向量用數(shù)尺刀般可以寫?(/) = !(/) (/)的降式其中乳T)為單位向量函數(shù) 入(/)為數(shù)謚漸敎那么7貝冇同宦方問的充耍條件是貢/)具廿同癥方I恥 即X。為常問SL (例為？(/)的長度固定人lE對于向員函數(shù)？(幾 設(shè)買/)為氏卩位向氐JW7(/)=X(/)5(/).若只F)具有固定方向,則貢“對常向殳，那么?(/) = Ar(/) e ,所以X? = Z ；? =0 反之，若(? r1 rM) =0i 則有 r x p = 0 ng?x ?6 .若產(chǎn) x P = 0* 由 1.題 r(z)具有

2、固崔方向，自然平廳于一固定半面.若XF工0-則存在數(shù)母焰數(shù)人(廣)、以小 使戸= A?4 r 令5=7 x?f. 且戸丄風(fēng)介“這右求微商井將式代入得帀=7 乂F*卩(F x * ) =p另，于是莎x 1 6 ,由上題知有囪定方向，而?(/)丄苑 即鞏f) F行于固進(jìn)平而 3曲絨的概念 求圓柱螺r=cosr- vsiiirf二二/在(ir 0, 0)的切線和法平面*解 令cos/=l. sin f=Qt X=0 t=o, r1 (Q- - sin /, cos/, 1| 血14曲線在 (0的切線為21二1 = _L二三，法平面為丫 + 二Q 0 1 1 i +A 0于是FX 尹二”&了)”6則有

3、 Z -0 p?X =0 a |/(/)-0時* r(Z) = 0 njff意方向平行：幷幾H 0時，有&x 0血&X 了)產(chǎn)產(chǎn)-(? ? )求三次ilH線產(chǎn)二価上卅.cP在點心的切線和法平面“-e,2t (因為$貝冇固建匕=所以即&為常向第。所以，r(/)A有固運(yùn)方向.J 向繪函數(shù)X。半行于固定平面的充擺箓件是(F尹產(chǎn))司卩分析:向量函數(shù)？0平行于固鉅平面的充要條件是存在個定向向星亦,使？(” = 0 ,所以我們蹩孑求這個向疑亓及萬與尹嚴(yán)的關(guān)系.解戸譏）=他2心3m：,切線為三也3抵法平面為乩丫+ 2加山一妬）+ 3或（二-加）二0。3. 證a COM .注ill 創(chuàng) -R yO Y+丈）的

4、切錢利;t軸作謝遠(yuǎn)角 證明 F = M sii】0 F a cos6、b 人設(shè)切線與瓷軸夾甬為a則cos為常數(shù)，故為宦角（捷屮*為忑軸的單位向詁浪1.求總鏈線,=/ ) ffcosli =/7sinli 4+ siiih上cosh- .&9.求曲線r3 - 31譏2匸=臚 忘半面片了 與y = 9a Z間的弧長*解 曲線的向最衣示為電=花.,曲面與兩平面尸瑁 與y-9a的交點分別為 3（7 2.r口 x=3a ,尹=1,厶廠二 ” | ?a 2.r廠訂，所和幼(-t + -j-) = 9r a 2.r10.將囲柱a?=aCOSr, asm/, b門化為自然鞋數(shù)農(nóng)示=I | F0 = V”上 +

5、 辦亠所以/=+滬解尸= -ssin /, a cos/, b P ibs代入原方程得 r = a cosr, a sill如 加+護(hù)如+歹11.求用極坐標(biāo)方杵S- q（B）給出的曲統(tǒng)的弧長左迖式解 由 x- p(6)cos0 p(0)sind 知? = p(0) cos(? - p(fl)sinfl P(e)sin0 + 0(8)3怡H | r1 | - JJ(O)Ve)從片角0的曲線的弧氏足 T：厶包)十五)加-4空何曲線I.求圓杜螺線peoF mii】八z - b/ditE,點的密切平面的方程解 rf= -asin 7t acos/t b,-a cosz, - a sm /10 所以曲線

6、在任意點的密切平面的方樓為kr- trcos/ j - siii t z- bt/zsin / /tcos/ b - 0 i 即(bsin /)s-(bcos/)y+az-abt=0 .a cos / a sin/ 02.求曲線7 = rsiiiz, tcosr, t 蒞原點的奈切平面、注平iSK從切面、切線主辻 紈s副注線。解 麻點對應(yīng) t二。1 尸(Q)= sui /Kcos/. cos/- tsin /, f+t# 打二Ql.尹(0) =(2cos/+ tcos/t cos/-tsin/j 2+tZ -2,0, 2 *超切線方程是汩臺法面方程密切平面方相足xy二011二0 即 x+y-z

7、=0 ,2 0 2卜-V + T -二二 0,rrr主法線的方捏足即一- V1r + 二:ta*=0 2 11從切面7j2x-y*z=fl，制也線力程式1 1-1乳 證明圓社螺.racosz, asmr, Z -bF的主氷線和ztflMffi交.證 r*= -asin /, Ficos/,b. ?T = -aCOS/f -siio)rti嚴(yán)1嚴(yán)如嚴(yán)為主認(rèn)線的方向向最，而?,r Z = 0所以主法線與軸ffirt；曰去線方程是r - /jcos/ r -z?siii t- btcos/sin /0與畫軸有公共點心bt) 故圓柱螺錢的主法線和】曲由匝宜相as4.圧曲線 x = cos costy

8、= ccs住 sint , z=tsina的副法線的正向取單位求It端點組成的新山1線的遵切平面-W r = -cos a Sint, cos a cost, sincr .r1*= -cos ct cost, - cosct sint. 0解 ?1= -costt sintt cos Ct cost, since * ?11= -cos Cf costt - costX sint , 0 sina sirii t - sir a cost tcos af 11 -rxr|T|新曲線的方悝為r=(ca cosl + sind sint , cosG sint- since cost , tsi

9、n Ct + cos Ct 對于新曲r = -cos Ct sint* sinOC cost t cos a cost+ sin at sintr sin a )=sin(a -t), cosT sinCf ,7*，= -costa t)f sin(ct t)T 0 其犠切平面的方程是r-coscoszsiii(7-/)r - cossin /cos(療-/)二-/Sill f?sin 嚴(yán)“/嚴(yán)一1廠/+】“單二加如5)二1|F|5 *27 小 2 逅(F+1F 3/=+1)2_ (凡刊_Ix6x2_1(X1 + I 2 )-刃.血 ?T =( -a sin t , a cos/、人 7* =

10、-a cos/ 一 a sin / , 0 i ?f x 尸丄-尿-氏inf/cos人-可為副法線的力向向量，過原點行于副法線的宜線的方程是 -，消公參數(shù) t 得 2(.r2 + r2)-jt -a7.求比卜曲而的曲率利晝率 r = 7 cosh At? sinh z, af -1r(j) + A(j) P(s) 廠的切向斌pa + A p-A -kd*r f)口0飛仏即可審一 2 0,所以2為常數(shù).許為兀，則于 =(】一血打應(yīng)+血廠匚再求做商右0= 入,k & + ( 1 AOI k) k + Aq T y -,P，f p= I AQk) k - r3 = n 所以h k二舛(肚址2)a17

11、. Itll 注 r - (a(t-sini).a(I -cost).Iacos 止那門斷 llil 率 丫 社城 k:尹 x ? - f?3 -2 sin1 -2 sinI r X ? |= 2押2 Sill2 - x/2、?= sint,cost,-coscos Jcos二所以在k為幣數(shù)處曲辛半徑最人18.已占1曲線(巧er- Z(T)上 貼?(JO)的鄰近一點7(JO + 2V)求兀 +列點到R%)點的密期平面、法平面、從切呼面的趾離(進(jìn)點?(JO)的曲鈦 撓率分別為心*6)。解 尺臨+A0-r(s0)= K)AJ + -r()Aj-2 +-r(J0) + Aj3=2 3!0AjH-lk

12、D0Aj3 + l(-d0 - Aoo + r0y0 +)Aj 設(shè)E -+ 叭鳳 + e憶.具2 6屮 lull 舟二 0 則 r(j& + Aj) ?(j0)MfO=匕$4石(一扎 + % + -oAr2 + (Ko +f2)Ar3D 亠*()+巧)人衛(wèi)叭上貳中前三個系數(shù)的絶對值分別足直尺曲+ Aj)到只舟)的汶T而、從切甲面、密切TW 的距離5 般幌線3. 證明如果所有密切平面呢克于固定育.線,那么它是半面代線證法一：當(dāng)曲線的密切平面垂恵于某固定立線時、曲線的副法向議/是常向就即Illi線的撓率的樂対偵Fly為爭 浙以1111線為平面Illi編證法二：設(shè)牙是固；訂戯向吐則尸 m 積分得并辦

13、月，說明曲線機(jī)臥另為法向 埼的個平面上，因而為干面1線，證法二；設(shè)牙足固定直線向就則尸萬=0可微仆得產(chǎn) 於0，P Z=0 所以尹、 ? 、円三向疑共面，于是(尸尹尹1=0由撓率的il算公式知丁丸，閃此曲找為半面 曲線7.如果兩曲銭在對應(yīng)點有公比的副法線則它們是平面曲線，證設(shè)曲線為X F - 7(s).則另 曲線F的表込代為：p = ；(j) + Z(j) f(j)3) 為曲線t在點s的工法向貸，也應(yīng)為在對應(yīng)點的副決線的方向向aP = d + Ay - A r p 7 .交，叩河卩=0 , 丁足 2= 0 t Z 人常數(shù)，p = c7 - A r 小 pd，-k kip A r 也.尸正遲 即

14、p1 y =-A r2-0h iruA 主 0，兩 U nr - 0 .曲線対半面曲線同理曲怨F為平両血f匕帀7麗果曲線1 廠：尺巧為幟婢怨a .戸為的切向雖和主法向魚 R為廠的血率 f U 證明土 p=Ra-jps也址股蠅線證 M h 1為H i： -卄冬施向吊了他&與&成固宦線也向 量目=怒“誦-B二惑jt.ra此也與非零常向量壬成固宦角.胃以也為 般螺9.址明曲a? = 7s）為股墀線的允嚶條件為（左7） = 0證 r = Kp t r =-k2u + Kp kt/, r - -jkkg + （-卍 +jc - fct-）P + （2kr +?cf）y（7 r.r） =+ KT）- 3k

15、KT =K（KT - KT）= KK =其中 K 工 thLK曲線F RQ為-殷螺線的充魁條件為r為常數(shù).叩（=0.也就是（去乞戶）二0 CKK方法二=o即（aTa,s）=o.般螺線f則存在常Sai,便*設(shè)戸=7 為股螺線存在常向吊育使命=審數(shù)，即r-e=數(shù)，連 -次求做商f3? = 0,? = 0 = 0 .所B（r（?J = 0=所以為半行十內(nèi)迄半面，設(shè)同定平面的法矢為亓（常向磺h則A 1 H. rfn /7 r.p丄乳州以仙線淘般由轟爲(wèi)10.證明-煤曲績的所啟口哉不 1能同時都是另-采曲線的切線.證 設(shè)曲嶷9在對應(yīng)點冇公共的切找*且的龍達(dá)代為，7=7V） +則： p = r（j） + Z

16、（j） （j）A o t比切向忻為p+ 5 la - a Lp應(yīng)勺歷山冇j所以上一 o,從血曲線為門線.冋珅曲線為白線、血II是勺I*直合的IT線。所以作為非FL線的曲條 不同的曲線不町詫有公典購切線,設(shè)在兩條曲ttr. F的點之閭建立了 對應(yīng)關(guān)系使它們住對應(yīng)點的切線平行，證明它 們在對應(yīng)點的里法馥以及副法毀也互相干行.1它們的撓率柯曲率都成比例.因此如果為 般螺線.則也為一般螺線*即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 07訛說曲統(tǒng)r = r（s）與r = r（j）點建立了一一對應(yīng)，使它們對應(yīng)點的切線平扒-* f亦 一二 f疔則適嚴(yán)選両衲 求微彌得血=攪#,即朋

17、（$）=鄴一這理Js-0,斷以有0 = 0,即主法線平行，從而7（J）= 7（J）,即初曲線的劇法線也Tfru月、戒二=卑疋）孑兩邊缶求微商得一詒 = _疽字于是T=TK t7Sr3 .求球面 r = a cos sin解 r = a sin cosa sinsin , a cos , r = a cos sin,a cos cos ,0任意點的切平面方程為x a cos cos a sin cos a cos siny a cos sina sin sina cos cosz a sina cos0 1曲面的概念1. 求正螺面r = u cosv ,u sinv, bv 的坐標(biāo)曲線.、 r解

18、 u-曲線為 r =u cosvo ,u si n vo,bv o = O,O,bv+ u cosvo, si n vo ,0, 為曲線的直母線；v-曲線為r = u0 cosv, u0 sinv,bv 為圓柱螺線.2 .證明雙曲拋物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐標(biāo)曲線就是它的直 母線。證 u-曲線為 r = a (u+v0) , b (u- v0) ,2u v0= av0, bvO,O+ ua,b,2 v0表示過點 a v。，b v,0以a,b,2 v。為方向向量的直線；、 rv-曲線為 r = a ( u0+v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0

19、v = au0, bu 0 ,0 +va,-b,2 u 0 表示過點(au, b u,0)以a,-b,2 u為方向向量的直線。a cos sin ,asin 上任意點的切平面和法線方程。法線方程為x a cos coscoscosy a cos sincos sinz a sinsin24.求橢圓柱面篤a1在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面2橢圓柱面篤a1的參數(shù)方程為 x = cos , y = asin , z = t ,a sin,b cos ,0,rt 0,0,1。所以切平面方程為:a cosa sin0y bsinb cos00，即 x bcos + y

20、asin a b = 0此方程與t無關(guān)，對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值35.證明曲面r u,v,的切平面和三個坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常uv數(shù)。3證ru1,0, J，u v30,1,壬。切平面方程為:uv與三坐標(biāo)軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2)uv于是，四面體的體積為:V 63|u|3|vl3?i r3是常數(shù)。2曲面的第一基本形式1.求雙曲拋物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的第一基本形式解 ru a, b,2v, . a, b,2u, Eg2 a2

21、 b2 4v2,2 2F rurva b24uv, Grva2 b24u2,錯誤！未 找至V引用 源。(a2 b2 4v2)du22(a2 b24uv)dudv(a2 b2 4u2)dv2。2 .求正螺面r:= u cosv ,usinv, bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直解ru cosv,sin v,0, rv usinv,ucosv, b , E ru2 1 , F ru rv 0 ,G rv2 u2 b2 ,錯誤！未找到引用源。=du2 (u2 b2)dv2 ,tF=O,. 坐標(biāo)曲線互相垂直。3 .在第一基本形式為 錯誤!未找到引用源。=du2 sinh2 udv2的曲面上，

22、求 方程為u = v的曲線的弧長。解 由條件ds2 du2 sinh2 udv2,沿曲線u = v有du=dv，將其代入ds2得 ds2 du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2 , ds = coshvdv , 在曲線 u = v 上，從 v!至U v2的 v2弧長為 | coshvdv| |sinhv2 sinhw |。v14. 設(shè)曲面的第一基本形式為 錯誤!未找到引用源。=du2 (u2 a2)dv2，求 它上面兩條曲線u + v = 0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變 量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道

23、曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量 E 1, Fv 0 , G u2 a2 , 曲線u + v = 0與u - v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為E 1 , Fv 0 , G a2。曲線u + v = 0 的方向為du = -dv , u - v = 0 的方向為S u=S v ,設(shè)兩曲線的夾角為，則有2Edu u Gdv u1 acos =2 。 Edu2 Gdv2lE u2 G v21 a5. 求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x ,y = y的交角解 曲面的向量表示為r =x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x = x 0的向量表示為 r

24、= x,y,ax oy ,其切向量口=0 , 1, ax。；坐標(biāo)曲線y = y的向量表示為r =x , yo ,ax yo，其切向量.=1 , 0, ay。，設(shè)兩曲線x = x。與y = y。的夾角為，則有cos=rx rya xy02 2 2 2 a x . 1 a ym 16.求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解對于u-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向為S u: S v，貝U有EduS u + F（du S v + dv S u）+ G d v S v = 0,將 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲線的 正交軌線的微分方程為ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲線的正

25、交軌線的微分方程為 FS u + G S v = 0 .7. 在曲面上一點，含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2 =0,確定兩個切方向（du : dv）和（S u : Sv）,證明這兩個方向垂直的充要條件是 ER-2FQ+ GP=0.證明因為du，dv不同時為零，假定dv0,則所給二次方程可寫成為P（款+2Q巴+ R=0,設(shè)其二根包，上，則巴-u _ Rduu + =2Q錯誤!未找到引dvdv vdvvPdvvP用源。又根據(jù)二方向垂直的條件知du E u+ F(duu、 + )+G = 0錯誤!未找dvvdvv到引用源。將錯誤！未找到引用源。代入錯誤！未找到引用源。

26、則得ER - 2FQ + GP = 0 .8. 證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2 =Gdv2.證 用分別用S、 、d表示沿u 曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號,即沿u 曲線S u 0,S v=0，沿v 曲線 u=0,v 0 .沿二等分角軌線方向為du:dv，根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得2(Edu v Fdv u)2 2E u ds2(Fdu v Gdv v)2 2G v ds，即2(Edu Fdv)E2(Fdu Gdv)G展開并化簡得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F20,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線9 .設(shè)曲面的第一基本形式為 錯誤!未找到引的二等

27、分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.用源。=du2 (u2 a2)dv2，求曲面上三條曲線 u = a v, v =1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲 線圍城的三角形的面積是 1a2du dv001S= . u2 a2 du dvau,a cos cos ,0aa1a=2. u2 a2du dv=2 (1 u), u2 a2 du0u0aa3=孑(u23aa2)2u、u22 2a a ln(u u22 i .a a ) |022 2 =a -In (1.2)。310.求球面r =a cos sin,a cos sin,a sin的面積解 r = asin cos

28、a sin sin,a cos , r = a cos sinE = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G = r2 = a2 cos2.球面的面積為：2 S =2 d a4 cos2 d 2 a2 2 cos d 2 a2 sin |24 a2.202211. 證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面 r =tcos ,tsin , . t2 1(t1, 02 )之間可建立等距映射=arctgu + v , t= u21 .分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射=arctgu+ v , t=. u2 1,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩

29、曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式證明 螺面的第一基本形式為 錯誤！未找到引用源。=2d+2 dudv+( u2+1) dv2,t 2旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 錯誤!未找到引用源。=(1 -4 )dt2 t2d ,在旋轉(zhuǎn)曲t21面上作參數(shù)變換=arctgu + v , t =2一 u1 u,2 / 2 1(1 2)2 du(u1)( 2duuu 11 u=(u2211)du21J22 du2dudv(u2u1u未找到引用源。.所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射.u21 ,則其第一基本形式為：dv)21)dv2 =2du2+2 dudv+( u2 +1

30、) dv2=錯誤!=arctgu + v , t =. u21 . 3曲面的第二基本形式1.計算懸鏈面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,E ru2= cosh 2 u, F ru rv=0, G rv2 =cosh2 u.所以錯誤！未找到引用源。=cosh 2 u du2

31、 + cosh 2 udv2 .cosh u cosv, cosh u sin v,sinhusin v,n =u_ = vEG F2 cosh2 uL= C0ShU1, M=0, N= _coshU=1.si nh2 1、sin h2 1所以錯誤!未找到引用源。=-du2+dv22. 計算拋物面在原點的2x3 5x；4x1X2 2x；第一基本形式,第二基本形式.5解 曲面的向量表示為r x1, x2，- xf2x1x2x；,rx11,0,5x12x2 (0,0),rx2 0,1,2x12x2 (0,0)Q1，0,rx1X10,0,5,X1X20,0,2 ,X2X20,0,2, E = 1,

32、F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,錯誤!未找到引用源。=dx； dx；,錯誤!未找到引用源。=5dx； 4dx1dx2 2dx|.3. 證明對于正螺面 r =u cosv,u sinv,bv,- gu,vx處處有 EN-2FM+GL=0 解u cos v, sin v,0, rv u sin v, ucosv,b , g =0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0, rw =-ucosv,-usinv,0, E g 1 , Fru rv 0 ,Grv2 u2 b2 , L= 0, M =b一 , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL=

33、0 .u2b214. 求出拋物面z -(ax2 by2)在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解x 1,0,ax(0,0)1,0,0,ry 0,1, by(0,0) 0,1,0 , . OQa,0,0,0ryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1 ,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 knadx2dx2bdy2 d?5. 已知平面 到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求 與(S)交線的曲率 與法曲率解 設(shè)平面 與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為.1 d2 ,即(C)的曲率為1 d2 ,所以1k二,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于d2(C)的

34、法曲率為kn k Ji d2 = 1 .6.利用法曲率公式kn 本量成比例。T，證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一第二類基證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為 球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dvknIII2 2Ldu 2Mdudv Ndv2 2Edu2 2Fdudv Gdv2占或-R，所以卡M G( R)，即第一、第類基本量成比例。7 求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線證明對于正螺面 r=ucosv,usinv,bv，ru cos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b， ruu

35、=0,0,0 ， rw=-ucosv,-usi nv,0L= .(ru,rv,ruu) =0, n=億，rv,rvv)=0 .所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而uEG F2EG F2族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8.求曲面z xy2的漸近線.解曲面的向量表示為 r x,y,xy2 , rx 1,0, y2, ry 0,1,2xy, *0,0,0,rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rj 1 4y4,Frxry2xy2,G ry21 4x2y2.L 0,M漸近線的微分方程為Ldx22Mdxdy Ndy2 ,即4ydxdy 2xdy20, 一族為dy=0,即；2y ,n , 2

36、x =1 4x2y2 y4. 1 4x2y2 y4即 In x2 yC2,或x2 y c,c為常數(shù).y G , G為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C) 的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主 法線曲面上是漸近線r rr rrr方法二：任取曲線:r r (s)，它的主法線曲面為S:(s,t) r (s) t (s)，r r & r r rrrrrrr r_、rs (s)t&(s) t()(1 t ) t ， t ， s t t (

37、1 t )r r在曲線 上，t = 0 , rs rt r,曲面的單位法向量人 str，即n r，Veg f2所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為r =x,y, f(x)+g(y),x= 常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。X 1,0, f , ry0,1, g. L 0,0, f , rxy 0,0,0, L 0,0, g,r r因為M LG 0,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族 x=常數(shù)，y=常數(shù) VEG F2構(gòu)成共軛網(wǎng)。11. 確定螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率線.解 ru

38、cos v,sin v,0, J u sin v,u cosv, b ，ruu=0,0,0，rw =-ucosv,-usinv,0， ruv =-sinv,cosv,0, E ru1 ， F 5 5 ，G rv2 u2 b2，L=0 M= , N=0,曲率線的微分方程為dv210dudv0 bdu2u2 b200,即 dvdu ,積分得兩族曲率線方程u2 b2v ln(ub2)G 和 v ln(u2 b2u)C2.12. 求雙曲面z=axy上的曲率線.2 2 2 y ,F a x,G1 a x ,L 0,M1 a2x2,N=0 .2 2a ydy22 21 a xdxdy2 2 2a x ya

39、2 2 2 21 ax a ydx22 2a x=0 得(1 a2y2)dx2(1a2x2)dy2 ,積分得兩族曲率線為ln(ax ,1 a2x2)ln(ay . 1 a2 y2)c.13. 求曲面r -| (u v),b (u v),-uv上的曲率線的方程.2,2 2解 E a b , F42 , 2 2,2 2a b uv a b u,G -44,L0,abM= EG2F2，N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是 (a2 b2 u2)dv2 (a2 b2 v2)du2,積分得：ln(u . a2 b2 u2)In(v . a2 b2 v2) c .14. 給出曲面上一曲率線L,設(shè)

40、L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成 定角,求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線,所以沿L有dn ndr ,又沿L有？n=常數(shù),求微商得 n 一 n 0,而n/dn /dr與 正交，所以 n 0,即- n =0,則有 =0,或 n =0 .若=0,則L是平面曲線；若 n=0 , L又是曲面的漸近線，則沿L , n=0 ,這時dn=0 , n為常向量，而當(dāng)L是漸近線時，=n，所以 為常向量，L是一平面曲線.證法二：若n，則因n dr II r，所以n II ，所以dn II &由伏雷r rr內(nèi)公式知dn |( r )而L是曲率線，所以沿L有dn II r ,所以有=0,從而 曲線為平面曲線；若 不垂直于n，則有？n=常數(shù),求微商得&n - & 0,因為L是曲率線，所 以沿L有dn II dr ，所以r & 0，所以 n 0，即- n =0，若=0，則問題得證；否則 n =0，則因n r 0，有n I ， dn II dr I( -) I r ，矛盾。15. 如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的