現(xiàn)代數(shù)值方法選講

1、中國海洋大學(xué)本科生課程大綱 課程名稱 現(xiàn)代數(shù)值方法選講 Selected Topics of Advanced Numerical Methods 課程代碼 075103201259 課程屬性 專業(yè)知識(shí) 課時(shí)/學(xué)分 32/2 課程性質(zhì) 選修 實(shí)踐學(xué)時(shí) 責(zé)任教師 謝樹森 課外學(xué)時(shí) 64(32x2) 課程屬性：公共基礎(chǔ)/通識(shí)教育/學(xué)科基礎(chǔ)/專業(yè)知識(shí)/工作技能，課程性質(zhì)：必修、選修 一、課程介紹 1. 課程描述： 雙曲守恒律方程（組）是最經(jīng)典和應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型，數(shù)值方法是計(jì)算數(shù)學(xué) 理論和方法課程體系的重要組成部分，現(xiàn)代數(shù)值方法選講主要介紹近年來新發(fā)展的求 解雙曲守恒律方程（組）的數(shù)值解法，本課程

2、針對(duì)高年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)本科生學(xué)生開設(shè)， 課程基本內(nèi)容包括：波動(dòng)方程、Burgers方程、淺水波方程組、Euler方程組、雙曲守 恒律系統(tǒng)的性質(zhì)、迎風(fēng)型差分格式、Godunov方法、TVD格式、本質(zhì)無震蕩（ENO）格 式、加權(quán)本質(zhì)無震蕩（WEO）格式、間斷有限元（DG）方法、Runge-Kutta時(shí)間積分格 式等。通過課程學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握若干現(xiàn)代數(shù)值方法的基本理論和算法，能夠借助 Mat lab. Fortran或C等編程語言對(duì)Euler方程等常見雙曲守恒律方程（組）進(jìn)行數(shù)值 求解。微分方程數(shù)值解法的研究近年來發(fā)展迅速，新方法、新思想和新理論不斷出現(xiàn), 實(shí)際講授時(shí)可根據(jù)具體悄況適、勺增補(bǔ)前沿進(jìn)展。

3、 2. 設(shè)計(jì)思路: 本課程引導(dǎo)高年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生通過數(shù)值方法探討和理解山實(shí)際問題所驅(qū)動(dòng)的計(jì) 算數(shù)學(xué)在理論和數(shù)值兩方面的發(fā)展途徑。課程內(nèi)容的選取基于學(xué)生掌握了數(shù)值分析、 偏微分方程數(shù)值解法和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本內(nèi)容。課程內(nèi)容包括三個(gè)模塊：雙曲守恒律方 程（組）的基本概念、雙曲守恒律方程（組）的性質(zhì)及其相關(guān)的數(shù)值方法；這三方面 相互關(guān)聯(lián)，能夠體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)值方法的基本特征。 雙曲守恒律方程（組）的概念是現(xiàn)代數(shù)值方法選講的基礎(chǔ)部分，主要介紹守恒律 方程（組）的推導(dǎo)過程及其積微分形式、激波的形成和波速、標(biāo)量守恒律方程及其弱 解、爛條件和爛函數(shù)、線性和非線性雙曲守恒系統(tǒng)。 雙曲守恒律方程（組）的性質(zhì)是現(xiàn)代數(shù)值方法

4、選講的重要內(nèi)容，為設(shè)計(jì)相關(guān)的數(shù) 值方法奠定理論基礎(chǔ)，主要介紹雙曲守恒系統(tǒng)的特征映射、Riemann問題及其精確解和 近似解（稀疏波、接觸間斷、激波等）、CFL穩(wěn)定性條件。 雙曲守恒律方程（組）的數(shù)值方法是現(xiàn)代數(shù)值方法選講的核心內(nèi)容，課程將以實(shí) 際問題為引導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)構(gòu)建數(shù)值方法的基本思想和推導(dǎo)過程，探討數(shù)值方法的原理（減 少數(shù)值震蕩的原理）；同時(shí)給出求解雙曲守恒律方程（組）經(jīng)典問題的數(shù)值方法的應(yīng)用 案例。主要介紹非線性問題的守恒型方法、Godunov方法、Riemann求解器、TYD格式、 高精度高分辨率方法（ENO格式、WEN0格式和DG方法）。 3. 課程與其他課程的關(guān)系： 先修課程：數(shù)值分析

5、、偏微分方程數(shù)值解法、數(shù)值代數(shù)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)： 并行課程：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、海洋環(huán)境中的數(shù)學(xué)模型等； 后置課程：計(jì)算流體力學(xué)。 二、課程目標(biāo) 本課程目標(biāo)是為高年級(jí)數(shù)學(xué)專業(yè)本科學(xué)生提供一個(gè)計(jì)算數(shù)學(xué)的應(yīng)用窗口，引導(dǎo)學(xué) 生結(jié)合雙曲守恒律方程的特征性質(zhì)和差分方法的基本思想去構(gòu)造守恒型差分格式，進(jìn) 而導(dǎo)出典型差分格式和DG方法。通過數(shù)值方法編程實(shí)踐訓(xùn)練、開展對(duì)實(shí)際問題的小組 研討（包括問題提岀、模型建立、空間和時(shí)間離散、結(jié)果分析等）并提交研究報(bào)告， 培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)值方法解決實(shí)際問題的能力、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。 課程結(jié)束時(shí)，學(xué)生具備如下知識(shí)和技能： （1）掌握雙曲守恒律方程的推導(dǎo)過程及爛條件，理解激波形成的原

6、因和衍化過程。 （2）掌握雙曲守恒系統(tǒng)的特征映射、Riemann問題的精確解和近似解（稀疏波、 接觸間斷、激波等）及構(gòu)建雙曲守恒系統(tǒng)守恒型差分格式和DG方法的基本思路，了解 數(shù)值格式穩(wěn)定性、收斂性及其理論分析過程。對(duì)小規(guī)模標(biāo)量方程差分格式能給出書面 推導(dǎo)過程。 （3）掌握至少一種科學(xué)計(jì)算語言（Matldb、Fortran或C等），利用現(xiàn)代數(shù)值方法 對(duì)雙曲守恒律方程的經(jīng)典實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)值模擬，具備基本的算法語言編程能力。 （4）理解數(shù)值方法在處理實(shí)際問題時(shí)所遵循的基本理念，初步具備通過口頭或書 面形式提供研究報(bào)告的能力。 三、學(xué)習(xí)要求 完成課程任務(wù)，要求學(xué)生做到： （1）按時(shí)上課，上課認(rèn)真聽講，

7、積極參與課堂討論、隨堂練習(xí)和測試。本課程包 含較多的隨堂練習(xí)、討論、小組作業(yè)展示等課堂活動(dòng)，課堂表現(xiàn)和出勤率是成績考核 的組成部分。 （2）按時(shí)完成常規(guī)練習(xí)作業(yè)。這些作業(yè)要求學(xué)生書面形式提交，只有按時(shí)提交作 業(yè)，才能掌握課程的內(nèi)容。延期提交作業(yè)需要提前得到任課教師的許可。 （3）完成教師布置的一定量的閱讀文獻(xiàn)和背景資料、理論探討和編程算法等作業(yè)。 這些作業(yè)能加深對(duì)課程內(nèi)容的理解、促進(jìn)同學(xué)間相互學(xué)習(xí)、引導(dǎo)對(duì)某些問題和理論的 更深入探討。 四、進(jìn)度安排 序號(hào) 主題 計(jì)劃 主要內(nèi)容概述 實(shí)驗(yàn)實(shí)踐內(nèi)容 7 課時(shí) 或課外練習(xí)等 1 守恒律方程（組） 2 守恒律方程（組）的起源. 發(fā)展和特征等 守恒律方程

8、（組）涉及 的人物、故事.守恒律 方程（組）的發(fā)展現(xiàn)狀 等文獻(xiàn)查閱與綜述 2 標(biāo)呈:守恒律 2 線性對(duì)流方程、Burgers方程 Burgers方程的常見數(shù) 值解法 3 淺水波方程組 2 淺水波方程組推導(dǎo)及其性質(zhì) 求解淺水波方程組的常 用數(shù)值方法 4 Euler方程組，小結(jié) 2 Euler方程組推導(dǎo)、特征變量 Euler方程組的特征矩 陣、特征向量 5 Riemann 問題 2 Riemann問題精確解和近似 解 Riemann問題近似求解 器 6 激波，激波形成的原因 2 激波的形成及英原因 激波的處理方法 7 稀疏波和接觸間斷 2 稀疏波和接觸間斷的形成及 其原因 接觸間斷的處理方法 8

9、迎風(fēng)格式 2 Runge-Kutta時(shí)間積分方法 和迎風(fēng)格式 編寫程序?qū)崿F(xiàn) Runge-Kutta 方法 9 Godunov 方法 2 Godunov方法及其優(yōu)缺點(diǎn) 編寫程序?qū)崿F(xiàn)Godunov 方法 10 TVD方法 2 TVD方法及其優(yōu)缺點(diǎn) 編寫程序?qū)崿F(xiàn)TVD方 法 11 ENO、WENO差分格式 及其性質(zhì) 6 ENO差分格式推導(dǎo)及其優(yōu) 缺點(diǎn),WENO差分格式推導(dǎo) 及其優(yōu)缺點(diǎn) 編寫程序?qū)崿F(xiàn)ENO方 法.WENO方法：分析 和比較ENO和WENO 方法的性質(zhì) 12 DG方法及英性質(zhì) 6 DG方法推導(dǎo)，DG方法的收 斂性和穩(wěn)泄性，DG方法的 優(yōu)缺點(diǎn) 編寫程序?qū)崿F(xiàn)DG方 法：推導(dǎo)DG方法的收 斂性

10、和穩(wěn)定性;分析和 比較DG方法和WENO 方法的性質(zhì) 五、參考教材與主要參考書 1、選用教材： 守恒律數(shù)值方法，Lectures in Mathematics,世界圖書出版公司，2010年9 月出版。 2、主要參考書： 1 計(jì)算流體力學(xué)入門英文書名：Computational Fluid DynamicsThe basics With Applications, （John D. Anderson, JR 著），姚朝暉 周強(qiáng)編譯，清華大學(xué) 出版社，2010年12月出版。 2 偏微分方程的數(shù)值方法（英文版），英文書名：Numerical Partial Differential Equation

11、s Finite D辻ference Methods, （J. W. Thomas）著，世界圖 書出版公司,1997年9月出版。 六、成績?cè)u(píng)定 （-）考核方式 C : A.閉卷考試B.開卷考試C.論文D.考查E.其他 （二）成績綜合評(píng)分體系： 成績綜合評(píng)分體系 比例 1.常規(guī)書面作業(yè) 20 2.隨堂練習(xí)、隨堂測試、出勤率 15 3.小組作業(yè)（程序） 15 4.課程論文 50 總計(jì) 100 附：作業(yè)、平時(shí)表現(xiàn)、論文評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 1）作業(yè)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 作業(yè)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 得分 嚴(yán)格按照要求并及時(shí)完成作業(yè)，基本概念淸晰，解決問題方案正確、合理，能 提出不同的解決問題方案。 90100分 基本按照要求并及時(shí)完成

12、作業(yè)，基本概念基本淸晰，解決問題方案基本正確、 基本合理。 70-80 分 不能按照要求及時(shí)完成作業(yè)，基本槪念不潔晰，解決問題方案基本不正確、基 本不合理。 40-60 分 不能按照要求及時(shí)完成作業(yè)，基本概念不淸晰，不能制左正確和合理解決問題 的方案。 0-30 分 2）課堂討論、小組作業(yè)、附加作業(yè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 課堂討論、平常表現(xiàn)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 得分 查閱資料充分、知識(shí)運(yùn)用熟練，積極參與討論、能闡明自己的觀點(diǎn)和想法，能 與其他同學(xué)合作、交流，共同解決問題。 90-100 分 基本做到資料査閱和知識(shí)運(yùn)用，能參與討論、能闡明自己的觀點(diǎn)和想法，能與 其他其他同學(xué)合作、交流，共同解決問題。 70-80 分 做到

13、一些資料査閱和知識(shí)運(yùn)用，參與討論一般、不能闡明自己的觀點(diǎn)和想法， 與其他同學(xué)合作、交流，共同解決問題的能力態(tài)度一般。 40-60 分 不能做到資料查閱和知識(shí)運(yùn)用，不積極參與討論，不能與苴他同學(xué)合作、交流， 共同解決問題。 0-30 分 3）論文評(píng)分標(biāo)準(zhǔn): 評(píng)價(jià)項(xiàng)目 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 滿分 選題質(zhì)量 選題符合專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo),體現(xiàn)綜合訓(xùn)練要求:題目具有適當(dāng)難度， 有一泄的理論意義或?qū)嶋H意義 20 文獻(xiàn)資料利用 能力 能獨(dú)立地利用多種方式查閱中外文獻(xiàn)；能正確翻譯外文資料；能 正確有效地利用各種文獻(xiàn)資料 10 實(shí)驗(yàn)研究能力 研究方案設(shè)計(jì)合理：實(shí)驗(yàn)方法科學(xué)：技術(shù)路線可行；實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可 靠：計(jì)算正確：理論分析合乎邏輯；動(dòng)手能力強(qiáng)；能獨(dú)立完成研 究任務(wù)：研究結(jié)果客觀真實(shí)：能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和解決實(shí) 際問題 20 論文（設(shè)計(jì)） 質(zhì)量 結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強(qiáng)：語言文字表達(dá)準(zhǔn)確、流暢：格式、圖、表 規(guī)范：有一定的學(xué)術(shù)水平或應(yīng)用價(jià)值 30 創(chuàng)新能力 體現(xiàn)較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)：應(yīng)用新理