“設而不求”的未知數(shù)

1、“設而不求”的未知數(shù) 讓我們先看一道簡單的數(shù)學題有志者事竟成三角形的面積解 設這個三角形的斜邊長度為 c，因為斜邊上的中線長是 1，所以斜邊長 c=2再 設兩條直角邊的長度是 a，b，面積是 s，那么a +b2+2ab=6 把 ， 代 入 式 得 4+4s=6 ，2在這個題目中，只要求出未知數(shù) s 的值，而我們卻設了三個未知數(shù)：a，b，s， 并且在解題過程中，我們也根本沒求 a，b 的值但是由于增設了 a，b 后，給我 們利用等量關(guān)系列方程及方程組求 s 的值，帶來了很大的便利，像這種未知數(shù)(如 a，b)就是本講所要介紹的“設而不求”的未知數(shù)所謂“設而不求”的未知數(shù)，又叫輔助元素，它是我們?yōu)榻?/p>

2、決問題增設的一些參 數(shù)，它能起到溝通數(shù)量關(guān)系，架起連接已知量和未知量的橋梁作用例 2 若求 x+y+z 的值分析 已知條件是以連比的形式出現(xiàn)時，往往引進一個比例參數(shù)來表示這個連比 解 令則有 x=k(a-b)， y=k(b-c)， z=k(c-a)，所以 x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0，所以 x+y+z=0說明 本例中所設的 k，就是“設而不求”的未知數(shù)例 3 已知 p，q，r 都是 5 的倍數(shù)，rqp，且 r=p+10，試求有志者事竟成解 不妨設 p=5k ，q=5k ，r=5k ，由題意可知，k ，k ，k 都是整數(shù)因為 rq1 2 3p，所以 k k k 又因為

3、 r=p+10，1 2 3321所以 5k =5k +10，k =k +2， 所以 k +2k k ，所以 k =k +1 313112121將，代入所求的代數(shù)式得說明 本題中 k ，k ，k 均是“設而不求”的未知數(shù)1 2 3a1，并且設分子：n-13=ak1，分母：5n+6=ak2其中 k ，k 為自然數(shù)由得 n=13+ak ，將之代入得 5(13+ak )+6=ak ，12112即 71+5ak =ak ，1 2所以 a(k -5k )=712 1由于 71 是質(zhì)數(shù)，且 a1，所以 a71，所以 n=k 71+13故 n 最小為 841例 5 甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余

4、下一人的年齡分別為 29， 23，21 和 17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？解 設四個人的年齡分別記為 a，b，c，d，根據(jù)題意有有志者事竟成由上述四式可知比較，知，d 最大，c 最小，所以-得所以 d-c=18，即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為 18說明 此題不必求出 a，b，c，d 的值，只須比較一下，找出最大者與最小者是誰， 作差即可求解例 6 設有 n 個數(shù) x ，x ，x ，它們的值只能是 0，1，2 三個數(shù)中的一個，12n如果記試用 f 和 f 表示12解 設在 x ，x ，x 這幾個數(shù)中取值為 0 的有 s 個，取值為 1 的有 t 個，取值 1 2 n為 2 的

5、有 r 個，則 s+t+r=n，0tn，0sn，0rn，由此得f =t+2r，f =t+4r所以 =(2 )f -(2 -2)f 1 2 k-1 2 k-1 1說明 本題借助于 s，t，r 找到了 f 與 f ，f 的關(guān)系表達式k12整除根據(jù)一個數(shù)能被 9 整除的特征有 6+2+4+2+7=9m(m 為自然數(shù))，即 +3=9m1(m1 為自然數(shù))又由于 09，09，則有 3+321，從而有+=6 或+=15 同理，按照一個數(shù)被 11 整除的特征有-=-2 或-=9 與相結(jié)合，并考慮 09，09，故只有=2，=4有志者事竟成所以原自然數(shù)為 6 224 427例 8 我手中的卡片上寫有一個三位數(shù)，

6、并且個位數(shù)不為零，現(xiàn)將個位與百位數(shù) 字對調(diào)，取兩數(shù)的差(大數(shù)減小數(shù))，將所得差的三位數(shù)與此差的個位、百位數(shù)字 對調(diào)后的三位數(shù)相加，最后的和是多少？=a100+b10+c-(c100+b10+a) =99a-99c=100a-100c-100+90+10-a+c=100(a-c-1)+910+(10-a+c)因 k 是三位數(shù)，所以 2a-c8， 1a-c-17所以 210-a+c8 差對調(diào)后為 k=(10-a+c)100+910+(a-c-1)，所以 k+k=100(a-c-1)+910+(10-a+c)+(10-a+c)100+910+(a-c-1) =1089說明 本例中 a，b，c 作為參

7、數(shù)被引進，但運算最終又被消去了，而無須求出它 們的值這正是“設而不求”的未知數(shù)的典型例子在列方程解應用題中，更是經(jīng)常用到增設參數(shù)的方法，下面再舉幾個例題例 9 從兩個重量分別為 12 千克(kg)和 8 千克，且含銅的百分數(shù)不同的合金上切 下重量相等的兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個 合金含銅的百分數(shù)相等求所切下的合金的重量是多少千克？分析 由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分數(shù)，因此只有增設這兩個合金含 銅的百分數(shù)為參數(shù)或與合金含銅的百分數(shù)有關(guān)的其他量為參數(shù)，才能充分利用已 知，為列方程創(chuàng)造條件 解法 1 設所切下的合金的重量為 x 千克，重 12 千克的合金的含銅

8、百分數(shù)為 p， 重 8 千克的合金的含銅百分數(shù)為 q(pq)，于是有整理得 5(q-p)x=24(q-p)因為 pq，所以 q-p0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克解法 2 設從重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含銅 m 千克，從重 8 千克的合 金上切下的 x 千克中含銅 n 千克(mn)，則這兩個合金含整理得5x(n-m)=24(n-m)有志者事竟成因為 mn，所以 n-m0，因此 x=4.8，即所切下的合金重 4.8 千克說明 在解含參數(shù)的方程時，一般情況下可以把參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化成只含有待求未 知數(shù)的一般方程，也就是說應用題的解答與參數(shù)的數(shù)值無關(guān)例 10 某隊伍長 1998 米(m)，在行進中排尾的一個戰(zhàn)士因事趕到排頭，然后立 即返回，當這個戰(zhàn)士回到排尾時，全隊已前進 1998 米，如果隊伍和這個戰(zhàn)士行 進的速度都不改變，求這個戰(zhàn)士走過的路程解法 1 設這個戰(zhàn)士走過的路程為 s 米，所需要的時間為 t 小時(h)，消去參數(shù) t 得解之得解法 2 設這個戰(zhàn)士的行進速度為 v1 米/小時，隊伍行進的速度為有志者事竟成因此所以這個戰(zhàn)士所走距離為說明 在同一個問題中，由于考慮問題的角度不同，所以增設的參數(shù)也會有所不 同(如上例中的兩種解法)練習九字)，又 n 是 4的倍數(shù)，且 n 被 11 除余 5，那么 x+y 等