連續(xù)時間傅里葉變換 ()

1、1t11111n 1 n 10n1n1111n n1nn1nn n n1n( 實，偶對稱)；nn nnn-nn0nn1n n n nn -nnnn第二章連續(xù)時間傅里葉變換1 周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù) fs(1) 狄義赫利條件：在同一個周期t內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積 f (t ) dt 。1(2) 傅里葉級數(shù)：正交函數(shù)線性組合。正交函數(shù)集可以是三角函數(shù)集 周期為 t ，角頻率為w =2 pf =1, cos nw t , sin nw t : n n 2 p。t1或復(fù)指數(shù)函數(shù)集 e jn w1t: n z ，函數(shù)(3) 任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成

2、傅里葉級數(shù)。 (4) 三角形式的 fs：(i) 展開式：f (t ) =a + ( a conw t +b sin nw t )0n =1(ii) 系數(shù)計算公式：(a) 直流分量：a =1t1t1f (t ) dt(b) n 次諧波余弦分量：a =2t1t1f (t ) cos n w tdt , n n(c) n 次諧波的正弦分量：b =2t1t1f (t )sin nw tdt , n n(iii) 系數(shù) a 和 b 統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。n n(iv) 稱 f =1/ t 為信號的基波、基頻； nf 為信號的 n 次諧波。(v) 合并同頻率的正余弦項得：y 和

3、q 分別對應(yīng)合并后 n 次諧波的余弦項和正弦項的初相位。 (vi) 傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系：(5) 復(fù)指數(shù)形式的 fs：(i)展開式：f (t ) =f enjnw tn =-(ii)系數(shù)計算：f =1t1t1f (t )e-jnw t1dt , n z(iii) 系數(shù)之間的關(guān)系：(iv) f 關(guān)于 n 是共扼對稱的，即它們關(guān)于原點互為共軛。n(v) 正負 n (n 非零)處的 f 的幅度和等于 c 或 d 的幅度。n n n(6) 奇偶信號的 fs：(i) 偶信號的 fs：a =2t1t1f (t ) cos nw tdt ； b =2t1t1f (t )sin nw tdt =0 ； c =

4、d =af =a - jb a p = =f f y =0 q =2 2 2(ii) 偶的周期信號的 fs 系數(shù)只有直流項和余弦項。 (iii)奇信號的 fs：a =a =0；b =2t1t1f (t )sin nw tdt；c =d =b =2 jf；f =-f =-12jbn(f純虛，奇對稱)；y =-p2；q =0(iv) 奇的周期信號的 fs 系數(shù)只有正弦項。 (7) 周期信號的傅里葉頻譜：nnn1111n1，或，11n n n1f 1t2 n (ri(i) 稱 f為信號的傅里葉復(fù)數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或 fs 譜。(i) 稱 f為信號的傅里葉復(fù)數(shù)幅度頻譜，簡稱 fs 幅度譜。(ii

5、) 稱 j為傅里葉復(fù)數(shù)相位頻譜，簡稱 fs 相位譜。(iii) 周期信號的 fs 頻譜僅在一些離散點角頻率 nw (或頻率 nf )上有值。(iv) fs 也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為 w =2p/ t 。(v) fs 譜、fs 幅度譜和相位譜圖中表示相應(yīng)頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為 譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示 fs 頻譜的值、幅度和相位(vi) 連接譜線頂點的虛曲線稱為包絡(luò)線，反映了各諧波處 fs 頻譜、幅度譜和相位譜隨分 量的變化情況。(vii) 稱 c 為單邊譜，表示了信號在諧波處的實際分量大小。n(ix)稱 f 為雙邊譜，其負頻率項在實際中是不存在的。正負頻率的

6、頻譜幅度相加，才是實 際幅度。(8) 周期矩形脈沖序列的 fs 譜的特點：(i) 譜線包絡(luò)線為 sa 函數(shù)；(ii) 譜線包絡(luò)線過零點：(其中w =2 pt1為譜線間隔)：npt 2kp=kp nw = k z , k 0t t即當(dāng) w=nw =2kp/ t時， a =c =f =0 。 (iii) 在頻域，能量集中在第一個過零點之內(nèi)。(iv) 帶寬b =2p/ t或 b =1/ t w只與矩形脈沖的脈寬t有關(guān)，而與脈高和周期均無關(guān)。(定義0 2p/ t為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬)(9) 周期信號的功率：p f (t ) =fn2n=-(10)帕斯瓦爾方程： t11f (t ) d

7、t = fn =-22 非周期信號的頻譜分析傅里葉變換(ft) (1) 信號 f (t)的傅里葉變換：是信號f (t )的頻譜密度函數(shù)或 ft 頻譜，簡稱為頻譜(函數(shù))。(2) 頻譜密度函數(shù) f (w)的逆傅里葉變換為：f (t ) =12 p-f ( w) ejwtdw =f -1f(w)(3) 稱 e-jwt為 ft 的變換核函數(shù)， e jwt為 ift 的變換核函數(shù)。(4) ft 與 ift 具有唯一性。如果兩個函數(shù)的 ft 或 ift 相等，則這兩個函數(shù)必然相等。(5) ft 具有可逆性。如果f f (t ) =f (w)，則必有f-1f ( w)=f(t )；反之亦然。(6) 信號的

8、傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成f (w) = f (w) ejj(w)(i) 稱f ( w)為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性；(ii) 稱 j(w) =arg f ( w)為相位頻譜密度函數(shù)，簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨頻率變化的相頻特性。 (7) ft 頻譜可分解為實部和虛部：f ( w) =f ( w) + jf ( w)(8) ft 存在的充分條件：時域信號 f (t )絕對可積，即 f (t ) dt 0)幅度譜：f ( w) =1a2 2相位譜： a - jw wj(w) =arg f (w) =arg =-arctg 2 2 a 單邊指數(shù)

9、信號及其幅度譜、相位譜如圖 1 所示。圖 1 (a)單邊指數(shù)信號 (b)幅度譜 (c)相位譜(2) 偶雙邊指數(shù)信號：f (t ) =e ( a 0)=e dt +-0e dt =1 1 2 a+ =a - jw a + jw a 2 +w2，為實偶函數(shù)。幅度譜：相位譜：f ( w) =j(w)=02aa +w偶雙邊指數(shù)信號及其頻譜如圖 2 所示。圖 2 (a)偶雙邊指數(shù)信號 (b)頻譜(3) 矩形脈沖信號：f (t ) =eg (t )(脈寬為?、脈高為 e)=e sin wtwt/ 2-t/2=etsawt 2 ，為實函數(shù)。幅度譜：f ( w) =etsawt 2 相位譜：j(w) = 4k

10、p 2(2k +1) p 0, w t t2(2k +1) 4( k +1) p p, w 0)( 對應(yīng)f ( w) 0 j(w) =p/ 2, w0符號函數(shù)及其頻譜如圖 5 所示。圖 5 (a)符號函數(shù) (b)頻譜(5) 沖激信號：均勻譜/白色譜：頻譜在任何頻率處的密度都是均勻的。 n nn n 1212* 0jw t / a ( )0ft 定義?強度為 e 的沖激函數(shù)的頻譜是均勻譜，密度就是沖激的強度。 單位沖激信號及直流信號的頻譜函數(shù)總結(jié)：ft 可逆性?ft 可逆性(6) 階躍信號：不滿足絕對可積條件，但存在 ft?ift 定義在 w=0 處有一個沖激，該沖激來自u (t )中的直流分量

11、。單位階躍信號及其幅度譜如圖 6 所示。圖 6 單位階躍函數(shù)及其幅度譜4 ft 的性質(zhì) (1) 線性性： f a f (t )= a f f (t ) n n線性性包括：齊次性 f af(t ) =aff(t) (2) 奇偶虛實性： 偶偶奇奇 實偶 (ft 可變?yōu)橛嘞易儞Q) 實偶 虛奇 (ft 可變?yōu)檎易儞Q) 實奇；疊加性f f (t ) + f (t ) =f f (t ) +f f (t )。實信號的 ft：(實信號可分解為：實偶+實奇)實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)：實 實偶+j 實奇偶共扼對稱：f ( -w)=f ( w)幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)：實 實偶 exp(實奇)虛信號的

12、ft 具有奇共扼對稱性：f ( -w)=-f (w)偶共軛對稱或奇共軛對稱的函數(shù)滿足幅度對稱：f ( -w) = f (w)。實信號或虛信號的 ft 幅度譜偶對稱，幅度譜函數(shù)是偶函數(shù)。 (3) 反褶和共軛性：時域頻域原信號反褶共扼 反褶+共扼f(t) f(?) f(-t) f(-?) f (t) f (-?) f (-t) f (?)(4) 對偶性：傅里葉正逆變換的變換核函數(shù)是共軛對稱的：(e-jwt)*=ejwt；(ejwt)*=e-j wtf g ( w) = w-g (w)e-jwtdw表示按自變量?進行傅里葉變換，結(jié)果是 t 的函數(shù)。ift 可以通過 ft 來實現(xiàn)。ft 的對偶特性：

13、f f (t ) =2 pf (-w)若 f (t ) 為偶函數(shù)，則 f f(t)=2pf(w)； 若 f (t ) 為奇函數(shù)，則 f f(t)=-2pf(w)。(5) 尺度變換特性：f f ( at ) =1 wf , ( a 0) a a 此性質(zhì)表明：時域壓縮對應(yīng)頻域擴展、時域擴展對應(yīng)頻域壓縮。 (6) 時移特性： f f(t -t ) =f(w)e-jwt o =f f(t ) e-jwt0時移不影響幅度譜，只在相位譜上疊加一個線性相位。與尺度變換特性綜合：(7) 頻移特性：與尺度變換特性綜合：f1 t f a a e0 =f aw-w , ( a 0) -1 121211212f f1

14、21 2若 ff1221 2011tn(iv)1n0 10 11sssss頻譜搬移：時域信號乘以一個復(fù)指數(shù)信號后，頻譜被搬移到復(fù)指數(shù)信號的頻率位置處。利 用歐拉公式，通過乘以正弦或余弦信號達到頻譜搬移目的。(8) 微分特性：時域微分：fd f (t ) = jwf ( w) dt 頻域微分：df (w)dw=f ( -jt ) f (t )如果連續(xù)運用微分特性，則 (9) 積分特性：時域積分：ft-f ( t)dt =( jw) f (w) +pf(0)d(w)如果f ( w)w在 w=0 處有界(或f (0) =0 )，則 ft-f ( t)dt=( jw)-1f (w)頻域積分： w-f

15、(l)dl pf (0)d(t ) +1- jtf (t )(10) 卷積定理：時域卷積定理：f f (t ) *f (t ) =f f (t ) f f (t )頻域卷積定理： f f (t ) f (t ) = f f (t )*ff(t)2 p(11) 時域相關(guān)性定理： f r (t ) =f f(t ) f*f(t )f (t ) 是實偶函數(shù)，則 f r (t ) =f ( w)f ( w) 。此時，相關(guān)性定理與卷積定理一致。自相關(guān)的傅里葉變換：f rf(t ) =ff(t)f*f(t)=ff(t)2。即函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜 的平方是一對傅里葉變換對）。(12) 帕斯瓦爾定理：

16、-2f (t ) dt =12 p-2f ( w) dw=-2 f (2 pf ) df5 周期信號的 ft(1) 正余弦信號的 ft：余弦信號和正弦信號的頻譜如圖 7 所示：圖 7 余弦信號和正弦信號的 ft(2) 一般周期信號的 ft：(i)設(shè)周期為 t 的周期信號 f (t )1(ii) 周期單位沖激序列的 ft：在第一個周期內(nèi)的函數(shù)為 f (t ) ，則 f dt(t)=w1d(w-nw1)=w1dw(w)1 1n=-(a) ft 的對偶性(ejnw t 2 pd(w-nw)(b) 沖激串 fs 為：(c) ft 的線性性d (t ) = 1a e jn w1t n =-(iii) 一

17、般周期信號的 ft：w 1f = f ( nw ) = f ( nw )2 p t(v) 關(guān)系圖：圖 8 非周期信號 ft 與周期信號 fs/ft 比較6 抽樣信號的 ft(1) 抽樣信號的 ft：f ( w) =1tsf ( w-nw ) n=-(2) 理想抽樣前后信號頻譜的變化如圖 9 所示：(3) 結(jié)論 1：按間隔 t 進行沖激串抽樣后信號的傅里葉變換，是周期函數(shù)，是原函數(shù)傅里葉變s換的 t 分之一按周期 w =2 p/ t 所進行的周期延拓。sssssssc s1ssssssss( ) ( ()(i) 理論上：ccscsscsscss(4) 結(jié)論 2：時域離散 頻域周期圖 9 理想抽樣信號的 ft7 抽樣定理(1) 抽樣定理：要保證從信號抽樣后的離散時間信號無失真地恢復(fù)原始時間連續(xù)信號（即抽 樣不會導(dǎo)致任何信息丟失），必須滿足：信號是頻帶受限的(信號頻率區(qū)間有限)；采樣 率 w 至少是信號最高頻率的兩倍。(2) 概念(名詞)：抽樣周期：進行理想采樣的沖激串的周期 抽樣頻率： f =1/ t抽樣角頻率： w =2 p/ tt。奈奎斯特率：無失真恢復(fù)原信號條件允許的最小抽樣率 w(min) =2w 或 f