高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計部分知識點梳理

1、高考復(fù)習(xí)專題之：概率與統(tǒng)計一、概率：隨機事件 a 的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.隨機事件a的概率0 p ( a) 1，其中當(dāng)p ( a) =1時稱為必然事件；當(dāng)p ( a) =0時稱為不可能事件 p(a)=0；注：求隨機概率的三種方法： （一）枚舉法例 1 如圖 1 所示，有一電路ab是由圖示的開關(guān)控制，閉合 a，b，c，d，e 五個開關(guān)中的任意兩個開關(guān)，使電路形成通路則使電路形成通路的概率是 分析：要計算使電路形成通路的概率，列舉出閉合五個開關(guān)中的任意兩個可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，從中找出能使電路形成通路的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率的意義計算即可。解：閉合五個開關(guān)中的兩個，可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

2、有 10 種，分別是 ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有 6 種，所以 p(通路)=6 3=10 5評注:枚舉法是求概率的一種重要方法,這種方法一般應(yīng)用于可能出現(xiàn)的結(jié)果比較少的事件的概率計算.（二）樹形圖法例 2 小剛和小明兩位同學(xué)玩一種游戲游戲規(guī)則為：兩人各執(zhí)“象、虎、鼠”三張牌，同時各出一張牌定勝負(fù)， 其中象勝虎、虎勝鼠、鼠勝象，若兩人所出牌相同，則為平局例如，小剛出象牌，小明出虎牌，則小剛勝；又 如，兩人同時出象牌，則兩人平局如果用 a、b、c 分別表示小剛的象、虎、鼠三張牌，用 a 、b 、c 分別表示小明1 1 1的象、虎、鼠三張牌，那么一

3、次出牌小剛勝小明的概率是多少？分析：為了清楚地看出小亮勝小剛的概率，可用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并從中找出小剛勝小明可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。解：畫樹狀圖如圖樹狀圖。由樹狀圖（樹形圖）或列表可知，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 9 種，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中小剛勝小明的結(jié)果有 3 種所以 p（一次出牌小剛勝小明）=13點評:當(dāng)一事件要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通過畫樹形圖的方法來計算概率（三）列表法例 3 將圖中的三張撲克牌背面朝上放在桌面上，從中隨機摸出兩張，并用這兩張撲克牌上的數(shù)字組成一個兩位 數(shù)請你用畫樹形（狀）圖或列表的方法求：（1）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率

4、；（2）組成的兩位數(shù)是 6 的倍數(shù) 的概率分析：本題可通過列表的方法，列出所有可能組成的兩位數(shù)的可能情況，然后再找出組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的可能 情況和組成兩位數(shù)- 1 - 是 6 的倍數(shù)的可能情況。解：列的表格如下：根據(jù)表格可得兩位數(shù)有：23，24，32，34，42，43所以（1）兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為231（2）兩位數(shù)是 6 的倍數(shù)的概率為 3點評：當(dāng)一事件要涉及兩個或更多的因素時，為了不重不漏地列出所有可 能的結(jié)果，通過畫樹形圖的方法來計算概率2.等可能事件的概率（古典概率）： p(a)=mn。3、互斥事件：（a、b 互斥，即事件 a、b 不可能同時發(fā)生）。計算公式：p(a+b)p(a)+p(

5、b)。 4、對立事件：（a、b 對立，即事件 a、b 不可能同時發(fā)生，但 a、b 中必然有一個發(fā)生）。計算公式是：p（a）+ p(b)；p(a)=1p(a)；5、獨立事件：（事件 a、b 的發(fā)生相互獨立，互不影響）p(ab)p(a) p(b) 。 提醒：（1）如果事件 a、b 獨立，那么事件 a 與 b 、 a 與 b 及事件 a 與 b 也都是獨立事件；（2）如果事件 a、b 相互獨立，那么事件 a、b 至少有一個不發(fā) 生的概率是 1p（a b）1p(a)p(b)；（3）如果事件 a、b 相互獨立，那么 事件 a、b 至少有一個發(fā)生的概率是 1p（ a b ）1p( a )p( b )。6、

6、獨立事件重復(fù)試驗：事件 a 在 n 次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生了 k 次的概率p ( k ) =c k p k (1 -p ) n -k n n(是二項展開式(1-p) +pn 的第 k+1 項)，其中p為在一次獨立重復(fù)試驗中事件 a 發(fā)生的概率。提醒：（1）探求一個事件發(fā)生的概率，關(guān)鍵是分清事件的性質(zhì)。在求解過程中常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類 或分步)轉(zhuǎn)化思想處理，把所求的事件：轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互 斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在 n 次實驗中恰有 k 次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用

7、條件。（2）事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之， 事件對立是事件互斥的充分非必要條件；（3）概率問題的解題規(guī)范：先設(shè)事件 a=“”， b=“”；列 式計算；作答。二、隨機變量.1. 隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰 好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。它就被稱為一個隨機試驗. 2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若 是一個隨機變量，a，b 是常數(shù).則 h=ax+b 也

8、是一個隨機變量.一般地，若 是隨機變量， f ( x) 連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則 f (x) 也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.設(shè)離散型隨機變量 可能取的值為： x , x , l , x , l1 2 i是取每一個值 x (i =1,2,1l) 的概率 p (x=x ) =p ，則表稱為隨機變量 的概率分布，簡稱的分布列.i ixx1x2xi- 2 -npp1p2pi有性質(zhì)： p 0, i =1,2, l ； p +p +l+p +l =1 .1 1 2 i注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如： x0,5即 x可以取 05 之間的一

9、切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3. 二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是 p，那么在 n 次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生 k 次的概率是： p( =k) =cknp k qn -k其中 k =0,1, l , n, q =1 -p于是得到隨機變量 的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量 服從二項分布，記作 xb（np），其中 n，p 為參數(shù)，并記cknpk qn -k=b(k;n p).二項分布的判斷與應(yīng)用.1 二項分布，實際是對 n 次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行 n 次獨立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié) 果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.2 當(dāng)隨機變量的總體

10、很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時 可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列.4. 幾何分布：“x=k”表示在第 k 次獨立重復(fù)試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把 k 次試驗時事件 a 發(fā)生記為 a ，k事 a 不發(fā)生記為 a , p(a ) =qk k，那么p( =k) =p(a a l a1 2k -1a )k.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：p( =k) =p(a )p(a ) l p(a1 2x1k -1)p(a )k2=q k -1p ( k 3=1,2,3,l)于是得到隨機變量 的概率分布列. kpqqpq 2pqk -1p我們稱

11、服從幾何分布，并記 g(k, p) =qk -1p ，其中 q =1 -p. k =1,2,3 l5. 超幾何分布：一批產(chǎn)品共有 n 件，其中有 m（mn）件次品，今抽取 n(1 n n) 件，則其中的次品數(shù) 是一離散型隨機變量，分布列為p( =k) =c k c n -k m n -mc nn(0 k m,0 n -k n -m).分子是從 m 件次品中取 k 件，從n-m 件正品中取 n-k 件的取法數(shù)，如果規(guī)定 m r 時 crm=0 ，則 k 的范圍可以寫為 k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由 a 件次品、b 件正品組成，今抽取 n 件（1na+b），則次品數(shù) 的分布列

12、為p( =k) =c k cn-k a bc na +bk=0,1,l , n.超幾何分布與二項分布的關(guān)系.設(shè)一批產(chǎn)品由 a 件次品、b 件正品組成，不放回抽取 n 件時，其中次品數(shù) 服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)h的分布列可如下求得：把 a +b個產(chǎn)品編號，則抽取 n 次共有 ( a +b )n個可能結(jié)果，等可能：( =k)含c k a k b nn -k個結(jié)果，故p( =k) =c k a k b n -k n(a +b) na a=c k ( ) k (1 - ) n -k , ka +b a +b=0,1,2,l , n，即 h b( n aa +b).我們先為 k 個次品

13、選定位置，共 c k 種選法；然后每個次品位置有 a 種選法，每個正品位置有 b 種選法 可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)n很大而抽取個數(shù)不多時， p( =k) p( =k) 回抽樣.，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放- 3 -動越小.三、數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機變量 的概率分布為xx1x2xipp1p2pi則稱 ex=x p +x p +l+x p +l為 的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型 1 1 2 2 n n隨機變量取值的平均水平.2. 隨機變量h=ax+b的數(shù)學(xué)期望： eh=e ( ax+b) =aex+b當(dāng)

14、 a =0 時， e (b ) =b，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.當(dāng) a =1時， e (x+b) =ex+b，即隨機變量 與常數(shù)之和的期望等于 的期望與這個常數(shù)的和.當(dāng) b =0時， e ( ax) =aex，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.單點分布：ex=c 1=c其分布列為：p(x=1) =c.01兩點分布： ex=0 q +1p = p，其分布列為：（p + q = 1）pqp二項分布：ex=k n! k!( n -k )!p k qn-k=np其分布列為 x.b ( n, p)幾何分布： ex=1p其分布列為 x q ( k , p).（p 為發(fā)生

15、x的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機變量 的分布列為p (x=x ) =p ( k =1,2, l) k k時，則稱dx=( x1-ex)2p1+(x2-ex)2p2+l+( xn-ex)2pn+l為的方差. 顯然 dx0，故 sx= d x.sx為 的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機變量 的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量 取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度. 4.方差的性質(zhì).dx越小，穩(wěn)定性越高，波隨機變量h=ax+b 的方差 d (h) =d ( ax+b) =a2dx.（a、b 均為常數(shù)）單點分布： dx=0 兩點分布： dx=pq其分布列為 p(x=1) = p其分布列為：（p + q =

16、1）p0q1p二項分布： dx=npq幾何分布： dx=qp 25. 期望與方差的關(guān)系.如果 ex和 eh都存在，則 e (xh)=exeh設(shè) 和 h是互相獨立的兩個隨機變量，則 e (xh)=exeh,d (x+h)=dx+dh期望與方差的轉(zhuǎn)化：dx=ex2-(ex)2e (x-ex) =e (x) -e ( ex)（因為 ex 為一常數(shù)） =ex-ex=0.四、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）- 4 -2y陰1.密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量 ，位于 x 軸上方， 落在任一區(qū)間 a, b )內(nèi)的概率等于它與 x 軸.所圍成的曲邊梯形的面積直線 x =a與直線 x =b（如圖陰影部分

17、）的曲線叫 的密度曲線，以其作為 圖像的函數(shù) f ( x )叫做 的密度函數(shù)，由于“ x (-,+)”是必然事件，故密度曲線與 x 軸所夾部分面積等于 1.ya by=f(x)x2. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量 的概率密度為：f ( x) =12 pse-( x -m) 2s2. （ x r,m,s為常數(shù)，且sf 0），稱 服從參數(shù)為 m,s的正態(tài)分布，用 x n (m,s2)表示. f ( x )的表達(dá)式可簡記為 n (m,s2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若 x n ( m,s2) 正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在 x 軸上方，與 x 軸不相交.，則 的期望與方差分別為

18、： ex=m,dx=s2.曲線關(guān)于直線 x =m對稱.3 當(dāng) x =m時曲線處于最高點，當(dāng) x 向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲 線.4 當(dāng) x m時，曲線上升；當(dāng) x m時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以 x 軸為漸近線， 向 x 軸無限的靠近.5 當(dāng) m 一定時，曲線的形狀由 s 確定， s 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；s 越小，曲線越“瘦 高”，表示總體的分布越集中.3. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機變量 的概率函數(shù)為 j( x) =12 pe-x 22( -p x p +)，則稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 即x n (0,1)有 j(x ) =p (xx )， j(x ) =1 -j(-x)求出，而 p（a b）的計算則是 p ( a p xb) =j(b) -j(a).注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 f( x )的 x 取 0 時，有 f( x ) =0.5當(dāng) f( x)的 x 取大于 0 的數(shù)時，有 f( x ) f 0.5.比如f(0.5 -ms) =0.0793 p 0.5則0.5 -ms必然小于 0，如圖.s正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若 x n (x -.常用 f ( x )表示，且有 p( x) =f(x) =j(m,s2)則 的分布函數(shù)通ax標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 s =0.5 sa=0.5+s- 5