解直角三角形及其應(yīng)用中考復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1 21 21 21 2解直角三角形及其應(yīng)用（中考復(fù)習(xí)課）教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)情分析：本設(shè)計(jì)針對(duì)普通中學(xué)學(xué)生，且未分重點(diǎn)班和非重點(diǎn)班，均為平行分班。由于一般教材均將解直角三角形內(nèi)容編排于九年級(jí)下冊(cè)，因此在設(shè)計(jì)本內(nèi)容復(fù)習(xí)時(shí)，學(xué)生有一定基礎(chǔ)。同時(shí)九年級(jí)學(xué)生通過(guò)近三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已具備了一定的幾何識(shí)圖及演繹推理能力，也掌握 了一定的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。二、教學(xué)任務(wù)與目標(biāo)1、 能從整個(gè)學(xué)段梳理并掌握直角三角形中邊、角關(guān)系，初步掌握銳角三角函數(shù)本質(zhì)。2、 能用這些關(guān)系來(lái)解決復(fù)雜幾何圖形中的相關(guān)計(jì)算，滲透轉(zhuǎn)化與方程思想方法。為綜 合數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決提供基礎(chǔ)。3、 能利用這種關(guān)系解決生活中的實(shí)際問題，

2、培養(yǎng)學(xué)生建模、識(shí)圖、計(jì)算能力。三、教學(xué)設(shè)計(jì)板塊一：梳理直角三角形中邊、角關(guān)系及理解銳角三角函數(shù)的本質(zhì)。問題 1：如圖 abc 中，c=90，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)其中邊、角關(guān)系.【功能分析】本任務(wù)問題是讓學(xué)生理一理初中學(xué)段中直角三角形中的邊、角 間關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，為后面復(fù)習(xí)提供基礎(chǔ)。a【活動(dòng)設(shè)計(jì)】同學(xué)們先獨(dú)立完成，再小組交流并互幫互糾。cbbac【反饋方式】教師巡視點(diǎn)撥，然后呈現(xiàn)部分小組活動(dòng)結(jié)果，共同歸納整理。1、邊的關(guān)系a + b c，a 2 + b 2 = c 2角的關(guān)系a + b = c = 90邊與角的關(guān)系sin a = cos b =a b 1 a ， cos a = sin b = ，

3、 tan a = =c c tan b b2、根據(jù)三角形（直角三角形）的一些邊、角，求出其余邊、角叫解三角形（直角三角形）。問題 2：上圖中，如果記bcab= y，則寫出 y 與a 的函數(shù)關(guān)系1、若a 分別取a 、a ，其對(duì)應(yīng)的 y 取 y 、y ，若a a ，則說(shuō)出 y 與 y 的關(guān)系。2、同桌互相說(shuō)一說(shuō)特殊角的三角函數(shù)值，若sin( 45+ a ) =32，則a=。【功能分析】銳角三角函數(shù)是學(xué)生較為難理解的概念，它又是高中學(xué)段的必備知識(shí)，本任務(wù)問題意在讓學(xué)生進(jìn)一步理清三角函數(shù)的概念及其性質(zhì)的一些特征，同時(shí)通過(guò)熟記一些特殊的1 / 6三角函數(shù)值進(jìn)行技能運(yùn)算。當(dāng)然，在這里對(duì)于一些特殊的性質(zhì)如：

4、sin 2 a + cos 2 a = 1等不作要求?！净顒?dòng)設(shè)計(jì)】學(xué)生獨(dú)立思考后同桌交流，并相互幫助糾正。【反饋方式】教師巡視幫助學(xué)習(xí)困難學(xué)生的進(jìn)一步理解，并歸納三角函數(shù)值僅與角的大小有 關(guān)，與該圖是在直角三角形還是在一般三角形無(wú)關(guān)。問題 3：根據(jù)上述理解，完成下列相關(guān)問題1、（09烏魯木齊）如圖：半圓中，ab 為直徑，c、d 為半圓上點(diǎn)， 且 ab=6，ac=4，則 sin b = 。d2、（09常州中考）如圖 abc 中，acb=90，cdab，cac=5，bc=2，則cos dcb =。b da3、（09遼寧中考）如圖abc 中，ab=ac，bc=6，ab=5，則asin b =。b c

5、【功能分析】通過(guò)學(xué)生自我感悟，三角函數(shù)值僅與角的大小有關(guān)，而與角在何處，在何種三角形中無(wú)關(guān)，同時(shí)，滲透不同的轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決問題（轉(zhuǎn)化成另一個(gè)角，或?qū)⒁话闳切无D(zhuǎn)化成直角三角形）。這種轉(zhuǎn)化思想滲透于整個(gè)解直角三角形，更是后面解直角三角形的重要 思想方法?！净顒?dòng)設(shè)計(jì)】學(xué)生獨(dú)立分析，并同桌交流?！痉答伔绞健拷處熝惨?，并在巡視中幫助學(xué)習(xí)有困難學(xué)生，然后對(duì)上述三題分別作方法性的點(diǎn)評(píng)。題 1 中，d 放入直角三角形是用構(gòu)造還是用轉(zhuǎn)化？題 2 中已有直角三角形，那么將 dcb 置于 cdb 中思考，還是可將dcb 轉(zhuǎn)化？題 3 中沒有直角三角形，那么求 sin b ，如何構(gòu)造直角三角形？因此通過(guò)點(diǎn)評(píng)分析，幫

6、助學(xué)生歸納出這里的數(shù)學(xué)思想方法。 板塊二：利用解直角三角形來(lái)解一般三角形問題 1：如圖abc 中，b=45，c=30，ab=4 2，a求 ac 長(zhǎng)。bc【功能分析】對(duì)于一般三角形如何利用特殊角？引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造三角形。建立直角三角形模型來(lái)解決問題。這種由一般轉(zhuǎn)化為特殊的思想方法在解三角形時(shí)是一種有效的方法。【活動(dòng)設(shè)計(jì)】引導(dǎo)學(xué)生讀句分析，看到 45聯(lián)想到什么？看到 30又聯(lián)想到什么？然后分 析該從哪里切入？分析后由學(xué)生獨(dú)立完成，過(guò)程中小組互相幫助。2 / 6【反饋方式】師生分析后，教師巡視，幫助困難學(xué)生，對(duì)于已a(bǔ)a完成的學(xué)生可繼續(xù)思考后面題。歸納上述圖形的變式。c dbbcd問題 2：如圖在abc

7、中，b=45，c=30，bc=1 +3，a求 ab、ac。b d c【功能分析】在上述問題 1 中，學(xué)生通過(guò)構(gòu)造直角三角形能直接解出直角三角形，其中 bc邊上的高是關(guān)鍵量，在解決問題中起到“橋”的作用，本問題中的這種“橋”的作用更明顯，只有算出這個(gè)“橋”才能將這些圖形緊密聯(lián)系，同時(shí)設(shè)計(jì)本題主要是滲透方程思想。 【活動(dòng)設(shè)計(jì)】由學(xué)生獨(dú)立分析，小組互幫互糾，并感悟方法?！痉答伔绞健拷處煂?duì)小組活動(dòng)巡視點(diǎn)撥，并及時(shí)歸納這里的兩種尋找等量關(guān)系的途徑：一是根據(jù)三角函數(shù)將其它量表示成 x 的代數(shù)式。bd = x , dc =3 x , ac = 2 x , ab = 2 x，再根據(jù)bc + dc = 1 +3

8、列出等量關(guān)系；二是根據(jù)三角函數(shù)直接尋找等量關(guān)系。bd = ad = x，則dc = 1 + 3 - x，則tan 30=x 1 + 3 - x，c同時(shí)，教師及時(shí)歸納變式問題。a 10 b d板塊三：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題 1：（2011 南京中考）如圖，某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組測(cè)量電視塔ab 的高度，他們借助一個(gè)高度為 30m 的建筑物 cd 進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn) c 處塔頂 b 的仰角為 45，在點(diǎn) e 處測(cè)得 b 的仰角為 37（b、d、e 三點(diǎn)在一條直線上）求電視塔的高度 h（參考數(shù)據(jù)：dbhsin370.60，cos370.80，tan370.75）e37 45c a【功能分析】將一些解直角三

9、角形問題賦予實(shí)際背景中，往往圖形顯得較為復(fù)雜，但其中不外乎上述“板塊二”中所涉及的基本圖形，因此在實(shí)際問題中，關(guān)鍵在于尋找基本圖形，同 時(shí)，對(duì)于實(shí)際問題一般銳角的三角函數(shù)應(yīng)用，能提高學(xué)生的計(jì)算力?！净顒?dòng)設(shè)計(jì)】引導(dǎo)學(xué)生讀題分析，識(shí)別圖形，逐步聯(lián)想，尋找關(guān)鍵量，然后獨(dú)立完成。同桌 互相指導(dǎo)，并探索是否還有其他方法?！痉答伔绞健垦惨暡椭鷮W(xué)習(xí)困難學(xué)生，呈現(xiàn)不同的實(shí)施路徑并作點(diǎn)評(píng)分析：路徑一：尋找dec，得tan 37=30 h ，得 ec=40；再尋找eba，得 tan 37 =ec h + 40，3 / 61 211得 h。路徑二：過(guò) d 作 dhae，則tan 37=h - 30h，得 h。上述

10、兩種路徑，都是將已知角 37分別放置于不同的三角形中考慮，并利用三角函數(shù)建立 等量關(guān)系。問題 2:（08 常州中考題）如圖,港口 b 位于港口 o 正西方向 120 海里處,小島 c 位于港口 o北偏西 60的方向.一艘科學(xué)考察船從港口 o 出發(fā),沿北偏西 30的 oa 方向以 20 海里/小時(shí)的速度駛離港口 o.同時(shí)一艘快艇從港口 b 出發(fā),沿北偏東 30的方向以 60 海里/小時(shí)的速度 駛向小島 c,在小島 c 用 1 小時(shí)裝補(bǔ)給物資后,立即按原來(lái)的速度給考察船送去.(1) 快艇從港口 b 到小島 c 需要多少時(shí)間?(1) 快艇從小島 c 出發(fā)后最少需要多少時(shí)間才能和考察船相遇?北北北北a

11、p1dad30c3030cp230b o東b o東【功能分析】：實(shí)際問題中常常涉及方位角問題，這也是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)，因此本問題的第一功能是讓學(xué)生明晰方位角；同時(shí)，在本問題圖形已從“靜止”轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)“狀態(tài)”，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中如何構(gòu)建三角形這是本題的一個(gè)亮點(diǎn)與難點(diǎn)，這種畫圖能力是建立在學(xué)生的理解 與高級(jí)思維的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，能促進(jìn)學(xué)生畫圖能力的提高?！净顒?dòng)設(shè)計(jì)】學(xué)生先結(jié)合圖形獨(dú)立閱讀分析，完成第（1）小問，接著小組分析第二小問。 【反饋方式】巡視后，由小組呈現(xiàn)思考方式，并由教師點(diǎn)撥。(1) 這里相遇 p 可能出現(xiàn)在 p 或 p(2) 若設(shè)相遇所用時(shí)間 x，則能否將其它量表示為 xcp =60t, oc

12、= 60 3 , p o=40+20t4 / 61(3) 如何建立方程（在圖 1 與圖 2 中）。co 是否是直角三角形？怎么辦？（4）過(guò) c 作 cdop ，則 p d=20t+40-60=20t-20,則利用解直角三角形知識(shí)可建立等量關(guān)系1 1（60t）2=( 30 3 )2+(20t-50)2得 t=1圖 2 情況另行分析，并及時(shí)對(duì)圖 1，圖 2 結(jié)果分析。板塊四：嘗試探究銳角三角形中的邊角關(guān)系問題 1：閱讀材料 1：我們知道在 abc 中，c=900,其外接圓的圓心 o 是 ab 中點(diǎn)，即 ab 是其直徑為 2r，a a a b則 sin a = = , 即 =2 r,同樣 =2 r

13、, 又 q sin 90 c 2 r sin a sin ac a b c=c =2 r , 有 = = =2 rsin 900 sin a sin b sin c0=1,則aobc閱讀材料 2，如圖，銳角三角形 abc 的外接圓圓心 o，直徑為2r，試尋找 a、b、c 與 sina,sinb,sinc 的關(guān)系，寫出理由?！竟δ芊治觥拷鼛啄曛锌加幸粋€(gè)傾向性就是利用初中的相關(guān)知識(shí)ao去探究一些高中的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這種設(shè)計(jì)必須根據(jù)學(xué)生的已有bcb認(rèn)知水平設(shè)計(jì)，本設(shè)計(jì)在直角三角形邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步利用其數(shù)學(xué)思想方法對(duì)銳角三角形邊角關(guān)系作探究，一方面滲透典型的轉(zhuǎn)化思想，另一方面拓寬學(xué)生的視野。【

14、活動(dòng)方式】由同學(xué)們先閱讀，尋找材料 1 中的特征，再嘗試解決材料 2，并小組交流?！痉答伔绞健拷處熝惨暫?，由小組代表交流，并歸納如何處理 sina,sinb,sinc，即如何構(gòu) 建直角三角形，并如何將b 進(jìn)行轉(zhuǎn)移，用等角替換。四、【設(shè)計(jì)思路】1. 目前課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)解直角三角形及其應(yīng)用要求有所降低，各地中考題的趨勢(shì)大多定位于基本題與中檔題水平，其主要目的是培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖計(jì)算能力以及相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化方程等數(shù)學(xué)思想。同時(shí)，這部分內(nèi)容常常滲透于圓、多邊形，及函數(shù)圖形中進(jìn)行綜合應(yīng)用。本節(jié)課的復(fù)習(xí)主要突出在多邊形及實(shí)際問題中的應(yīng)用，而對(duì)滲透各學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的應(yīng)用涉及不多，由復(fù)習(xí)相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)容時(shí)再

15、作滲透?；诖耍咎谜n設(shè)計(jì)四大板塊：一是掌握銳角三角函數(shù)的基本概念并進(jìn)一步了解其本質(zhì)內(nèi)容，通過(guò)它來(lái)解一般性的直角三角形問題。二是理解解直角三角形的基本模型，了解解直角三角形的常用方法。三是利用這些思想方法解決生活中實(shí)際問題，培養(yǎng)解決問題的能力。四是滲透探究5 / 6性問題，激發(fā)探究欲望。這四板塊基本上反映了近幾年各地中考的方向及水平。因此，本章節(jié)復(fù)習(xí)并不在于選過(guò)多的題目，只要抓住解直角三角形本質(zhì)即可，避免沉于題海戰(zhàn)。2. 本設(shè)計(jì)突出了板塊三串教學(xué)設(shè)計(jì)，其中板塊設(shè)計(jì)實(shí)際上是明晰復(fù)習(xí)知識(shí)的單線，不管哪節(jié)復(fù)習(xí)課，我們只有把板塊主線理清楚，才能避免復(fù)習(xí)課像新授課，真正抓住復(fù)習(xí)重點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率。在每一

16、板塊中，又主要以核心的任務(wù)問題為載體，展開教學(xué)問題，這些 核心的任務(wù)問題更是同時(shí)，考慮到復(fù)習(xí)課要充分發(fā)揮學(xué)生已有基礎(chǔ)，讓學(xué)生自己充分動(dòng)起來(lái)，充分給予學(xué)生思考的時(shí)空，減少教師喋喋不休的講解（目前這種課堂現(xiàn)象較明顯）；過(guò)程中教師做好課件，巡視幫助，歸納點(diǎn)撥，拓寬思路，從整個(gè)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)上幫助學(xué)生梳理。3. 本設(shè)計(jì)沒有設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，本人一直堅(jiān)持不該在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)段將學(xué)校的學(xué)習(xí)過(guò)多的延伸至校外。因此本課沒有預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)，所有復(fù)習(xí)任務(wù)均通過(guò)課堂，然后課后做相關(guān)配套 練習(xí)，學(xué)有余力的學(xué)生回去自主學(xué)習(xí)，不作統(tǒng)一要求。4. 本設(shè)計(jì)中也沒有明顯的例題分析，只是在選擇任務(wù)型問題時(shí)精心設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，這些任務(wù)具有典型性。而且這些典型的任務(wù)性