分數(shù)階傅立葉變換[演示模板、實例]【】

1、簡介 n19291980 早期未被人們重視的研究。 n1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù) 的角度提出了分數(shù)階傅立葉變換的概念。 定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分數(shù)冪形式。 主要研究方向和成果 nFRFT的基本性質 nFRFT與其他時頻分析工具的關系 nFRFT的光學實現(xiàn)技術和應用 nFRFT的數(shù)值計算與快速算法 nFRFT在信號處理中的應用 n高維分數(shù)階傅立葉變換的研究 FRFT的一般研究思路： 1.將傅立葉變換的應用直接推廣到將傅立葉變換的應用直接推廣到FRFT。 傳統(tǒng)的傅立葉變換是將信號在一組正交完 備的正弦基上展開，所以正弦信號的傅立葉變 換是一個函數(shù)。 分數(shù)階傅立葉變換是將信號在

2、一組正交的 chirp信號上展開，則一個chirp信號的某一階 次的FRFT也是一個函數(shù)。 FRFT的一般研究思路： n單分量、多分量Chirp信號的檢測和參數(shù) 估計。 n雷達信號的目標檢測和識別。 nSAR和ISAR成像。 n運動目標檢測和識別。 n寬帶干擾抑制。 FRFT的一般研究思路： 2.將將FRFT視為時頻面上的旋轉算子視為時頻面上的旋轉算子 信號FRFT的時頻分布是信號時頻分布的一 個旋轉。 可用于信號間的分離，噪聲抑制。這是分 數(shù)階傅立葉域濾波或掃頻濾波的基本原理。進 一步提出分數(shù)階傅立葉變換域的最佳濾波的概 念。 可以應用于多路復用技術。 FRFT的一般研究思路： 3.研究研究

3、FRFT與其他時頻分析方法的關系與其他時頻分析方法的關系 研究與Wigner_Ville分布、小波變換、短 時傅立葉變換和Radon_Wigner變換的關系。利 用已有的研究成果研究分數(shù)階傅立葉變換的應 用。 FRFT的一般研究思路： 例如：分數(shù)階傅立葉變換和Radon_Wigner變換的 關系。 信號分數(shù)階傅立葉變換的模平方是信號在 該方向的Radon_Wigner變換。 利用這個結果可以研究基于分數(shù)階傅立葉 變換的噪聲背景下的線性調頻信號檢測方法。 分數(shù)階傅立葉變換的定義： 22 1 ( ) ( )( , ) ( ) 1cot exp(cot) 22sin ( , )()2 ()(21)

4、p p p s tp F s uKt u s t dt jtutu jjn Kt utun tun 定義 ： 信號的 階分數(shù)階傅立葉變換是一個 線性積分運算 其中： 22 ( ) 1cot ( )exp(cot) 22sin ( )2 ()(21) 2 p F s u jtutu s tjjdtn s un s un p 其中： 討論： n變換核的性質： 221 221 * * * 1. limlim 2.( , )( , ) 3.( , )( , ) 4.(, )( ,) 5.( , )( , )( , ) 6.( , )( ,)() pnpn pnpn pp pp pp pqp q pq

5、p KKKK Kt uKu t Kt uKt u Kt uKtu Kt z Kz u dzKt u Kt u Kt u dtuu 變換核是 的連續(xù)函數(shù)。 有 討論： n變換的性質： 04 15 4 1. 2.( )( )( ) 3.( )( )( )( 4.( )( ) 5.( )( ) pqp q npp F s tF s ts t F s tF s ts F Fs tFs t Fs tFs t 分數(shù)階傅立葉變換是線性變換。 傅立葉變換） （）（） (可加性） （）（） 性質4的證明： ( , )( , )( , ) ( ( )( , ) ( ) ( , )( , ) ( ) ( , )(

6、, ) ( ) ( , )( ( )( ( ) pqp q p q p q pq qp pqp q Kt z Kz u dzKt u Fs tKt u s t dt Kt z Kz u dz s t dt Kz uKt z s t dt dz Kz u Fs t dzF Fs t 利用 FRFT的其他定義： n特征函數(shù)和特征值（V.Namias,1980) 2 22 /2 /2 /2/2 ( )( )( ) ( )( ),( ) ( )1 jk kkkk t kkk k ktt k k Fttet tHt eHtkHermite d Htee dt 將傅立葉變換當作信號空間上的算子， 對應的特

7、征方程為： 是 階多項式。 （） 2 /2 /2 ( )( ) ( )( )( ) k t kk k ppjpk kkk tHt e p Fttet 分數(shù)階傅立葉變換的定義2： 令為普通傅立葉變換的特征值 對應的特征函數(shù)，且構成有限能量信號空間的 標準基，定義 階分數(shù)階傅立葉變換為算子： 計算： 0 /2 0 /2 0 ( ),( ) ( )( ) ( ),( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) k kk k kkk pjpk kk k jpk kk k s tt s tct cs tts tt dt F s tect ett s t dt 對信號由是標準正交基，有 /2 0

8、( )( , ) ( ) ( , )( )( ) p p jpk pkk k F s uKt u s t dt Kt uetu 比較原定義： 我們得到： 分數(shù)階傅立葉變換核的頻譜展開（奇異值分解） 2/2 0 22 /2 0 _( ) ( )( ) 1cot exp(cot) 22sin ( )( ) /2 k jutjk kk k jpk kk k HermiteGaussu eetu jtutu jj etu p 函數(shù)剛好具有性質： 其中： n分數(shù)階傅立葉變換定義3： t u v 分數(shù)階傅立葉變換的性質： n線性性： ( )( ) pp nnnn nn Fc s tc Fs t n逆： 1

9、 () pp FF 分數(shù)階傅立葉變換的性質： n可交換性： 1221 pppp F FFF n可結合性： 331212 ()() pppppp F FFFFF 分數(shù)階傅立葉變換的性質： n特征值與特征函數(shù)： /2pjpk kk Fe nParseval準則： , pp f gF f F g 分數(shù)階傅立葉變換的性質： n與Wigner分布的關系： ()( , ) ( )( cossin, sincos) p W F s u v W s uvuv 分數(shù)階傅立葉變換的運算性質 (1). ()( ) ( )() pp FstuFs tu 反轉性 2 2 2 1 cos cot(1) cos 2 2 (

10、2). ( /)( ) 1cotsin e ( )() 1cotsin arctan(tan), p j u p FMs t Mu jMu Fs t jM M 尺度特性 其中：與 在同一象限。 分數(shù)階傅立葉變換的運算性質： 2 00 0 sincos2sin 0 (3). ()( ) e ( )(cos) p j tjutp Fs ttu Fs tut 時移特性 2 0 2 sincos2sin (4). ( )( ) e ( )(sin) pjtv j vjuvp Fes tu Fs tuv 頻移特性 分數(shù)階傅立葉變換的運算性質： 1 (5). ( )( ) cossin( 2 ) ( )(

11、 ) pn np Ft s tu d ujFs tu dt 微分特性（頻域） 1 1 (6). ( 2 )( )( ) sincos( 2 ) ( )( ) pn np d Fjs tu dt d ujFs tu dt 微分特性(時域） 例： 1 ( )( ) cos ( )( )sin( 2 ) ( )( ) p pp Fts tu d uFs tujFs tu dt （） 22 22 22 1cot ( )( )exp( 2cot2) 22sin 1cot 2cot( )exp( 2cot2) 22sin 11cot 2( )exp( 2cot2) sin22sin p u djtutu

12、F s us tjjdt du jtutu jus tjjdt jtutu jts tjjdt 證明： （ （ 例： ( )( ) cos ( )( )2sin ( )( ) p pp Fs tu d uFs tujFs tu dt （）（）（） 22 22 22 1cot ( )( )exp( 2cot2) 22sin 1cot 2 cot( )exp( 2cot2) 22sin 11cot 2( )exp( 2cot2) sin22sin p jtutu F s us tjjdt jtutu jts tjjdt jtutu jus tjjdt 證明： （ （ 分數(shù)階傅立葉變換的運算性質：

13、22 tantan (7). ( )( ) sec ( )( ) t p a u j upj un a Fs t dtu eFs tu edu 積分特性 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 22 0 0 0 cot) 2 ()( ) 1cot e 2 , p ut jut cse Fttu j kkZ 其中：。 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 2 tan 2 1( ) 1tane , 2 p u j Fu j kkZ 其中：。 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 0 22 0 0 tansec 2 ( ) 1tane , 2 jtp u ju Feu j kkZ 其中：。 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 2 2 /2

14、 tan 2 1tan ( ) 1tan e 1tan arctan, 2 pjct uc j c Feu j c ckkZ 其中：。 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 2 2 /2 2 ( )e u pt Feu 2 2222 22 /2 (1)cotsec 22 ( ) 1cot ee cot pct ucuc j ccotccot Feu j cj 常見信號的分數(shù)階傅立葉變換 2 2 /2 2 ( )( )( )e ( ) u ptjn nn n FHt eueHt HtHermite 其中：是多項式。 分數(shù)階傅立葉變換的不確定性 原理： 1 2 2 2 1 1 () ( )() / 1 4

15、1 2 p ppppp pp pp uuFs tudus 定義： 則： 若角頻率用度表示 若角頻率用弧度表示 例：方波的分數(shù)階傅立葉變換 1| | 2 ( ) 0 t s t 其他 分數(shù)階卷積： (* ) ()* fgf g fgfg 傅立葉變換的卷積定理： 對應的有 n傅立葉變換卷積定理成立的原因： ()j t vjtjv eee 22 1cot ( , )exp(cot) 22sin p jtutu Kt ujj 分數(shù)階傅立葉變換的核函數(shù) 不具有可分離性。 22 cotcot sin22 ( ) 1cot ( ) 2 p tuut jjj F s u j es t eedt ( 1.線性調

16、頻信 號相乘 2.變尺度傅立葉 變換 3.線性調頻 信號相乘 分數(shù)階卷積的定義： 22 cot1 ,1cot 2sin ( ) ( ) 2 p jC ujC tjB tu CBAj F s u A es t eedt 定義： ( 分數(shù)階卷積的定義： 222 (* ) ( ) ( )* ( ) 2 p jC ujC tjC t fgt A ef t eg t e 分數(shù)階卷積定義為： 定理： 2 (* ) ( )( ( )( ( ) jC uppp p FfgteFf tFg t 思考題： n兩個函數(shù)的乘積的分數(shù)階傅立葉變換有 什么特點？ n兩個函數(shù)相關的分數(shù)階傅立葉變換應該 如何定義？有什么特點

17、？ 離散分數(shù)階傅立葉變換的計算 nFRFT的離散化問題 . 1.() 2. 3. 4. . pHp pqp q H M OzaktasDFRFT FF F FF DFT FRFT 提出：應該具有 酉性 旋轉相加性 一階運算應退化為。 與連續(xù)的近似性。 5階數(shù)取值的連續(xù)性。 離散分數(shù)階傅立葉變換的計算 n目前DFRFT的四種離散化算法 3 0 1.( ) 2. 3. 4. pi i j FFTFa p W FRFT 利用計離散FRFT的變換核 根據(jù)的定義，將其分解為信號的卷積，再 利用FFT計算。 利用矩陣的特征值和特征向量計算。 直接離散化計算。 離散分數(shù)階傅立葉變換的計算 3 0 44011

18、22 3 0 1. ( ) ,. ( ) pi i j p pi i j FFT Fa p W FWIWFWFW F Fa p W 利用計離散FRFT的變換核的思想： 因為： 將理解為一個時頻面上的旋轉算子，我們 可以展開： 2 0 2 1 2 2 2 3 1 ( )1cos() 22 1 ( )1sin() 22 1 ( )1cos() 22 1 ( )1sin() 22 jp jp jp jp DFTW apep a pep apep apep 通過對矩陣的特征值分解，我們可以得到： 2.分解方法： 時間和頻率的無量綱化： -/2,/2 -/2,/2 2 tt Nt 假定信號的時域窗口為： 頻域窗口為： 時間-帶寬積 由于時域和頻域采用不同的量綱， 我們需要對時間和頻率的無量綱化處理。 , / , S xt s vs x v 引入尺度參數(shù)它具有時間量