極值點(diǎn)偏移第3招--含對數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題

1、專題09極值點(diǎn)偏移第三搖含對數(shù)式的根值點(diǎn)偏移問題前面我們已經(jīng)指明并提煉出利用判定定理解決極值點(diǎn)偏移問題的策略：若f x的極值點(diǎn)為X。，則根據(jù)對稱性構(gòu)造一元差函數(shù) F x f Xo x f Xo x，巧借F x的單調(diào)性以及 F 00，借助于 f % fx2fx0x0x2與 fx0x0x2f 2xo X2 ,比較X2與2xo Xi的大小，即比較Xo與x2生的大小有了這種解題策2略，我們師生就克服了解題的盲目性，細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩。本文將提煉出極值點(diǎn)偏移問題的又一解題策略：根據(jù)f Xjf x2建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對數(shù)平均不等式鏈求解.2例.已知

2、函數(shù) f (x) ln x ax (2 a)x.(1)討論f (x)的單調(diào)性；111(2 )設(shè) a 0，證明：當(dāng) Ox 時，f( x) f ( x)；aaa(3)若函數(shù)y f (x)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，線段 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0,證明：f (Xo)0.【解析】m易得；當(dāng)門三0時/oo在卩柯)上單調(diào)遞増$當(dāng)時，/(在但丄)上單調(diào)通増在(丄加)上單調(diào)遞減aa法一；構(gòu)造=/- + x)- /(I- -).則)=八丄+工)fd對=aa(1 + cnXl-CT)二龍在(Q丄)上單調(diào)逡增ag卩JX丄十力a#(丄一功.aa法二：構(gòu)造以a為主元的函數(shù)，設(shè)函數(shù) h(a)f(a X) f(a X)，則

3、h(a)ln(1ax)ln(1ax)2 ax,h (a)xx1 ax 1 ax由0 x1解得0 a1ax當(dāng)0 a-時，h(a)0h(a)在(0,）上單調(diào)遞增，x1 x 時，fx）而h(0)0，所以h(a)0 ,故當(dāng)0aa2x322x a，1 a xf （- a 由（1）燦 只有當(dāng)應(yīng)S/U）的最大值x).Ig數(shù)f二/U）才會有兩個零點(diǎn)、不妨設(shè)10）=鞏丙:0 西弋可故丄一珂 丄）,又由ZW在（一,他）上單調(diào)遞減,所以旳A 西于疋兀=由 tn n)K2017),艮冋得到如丁與00/ 的大小i(II、運(yùn)用分析法證明，不妨設(shè)xix0,由根的宣冥可得所以化簡得Iw-biX), to-faoM).可得 l

4、nxi+lw=k Csci+sj), lExiliuct (xixs)；要證明jq jq ye1 ?即證明血i+tnxj2,也就是 k (xi+)c) :2-求出熱即證瞎一令卷=$ 、則tl,即證ice 2(1)令舟北)=*_型迪瑪一延 jq 4-Xj 乜f + Lt- 11)求出導(dǎo)數(shù)，尹斷單調(diào)性即可得fib試題解析：(1 )依題意得x a . lnxx2，x a所以f x1二，又由切線方程可得1a1 alnx1 lnx此時f x，f xxx令f x0，即1 lnx 0，解得 0 x e ；令x 0，即 1 lnx 0,解得 x e111，即1，解得a 01 a所以f x的增區(qū)間為 0,e，減

5、區(qū)間為 e,所以 f 2016 f 2017，即 ln2016ln2017，201620172017In2016 20161n2017，2016201720172016.(2)證明：不妨設(shè)x1X20因為g為g X20所以化簡得lnx1 kx10，lnx2 kx20可得Inx1lnx2 k x-iX2，lnx1 lnx2 k x1 x22Inxi lnx2要證明X1X2 e ,即證明In/lnx2 2，也就是k XiX22因為kx1x2Xix2x1x2即In互X21，即證Int故函數(shù)h2 t 1Int(tt 11),由210t t 1t在1,是增函數(shù)，所以h t即Int 整丄得證.t 1所以x,

6、x2點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式，考查利用分析法和導(dǎo)數(shù)來證明不等式的方法 有關(guān)導(dǎo)數(shù)與切線的問題，關(guān)鍵的突破口在與切點(diǎn)和斜率,本題中已知切線和某條直線垂直，也即是給出斜率，利用斜率可求得函數(shù)的參數(shù)值利用導(dǎo)數(shù)證明不等式通常先利用分析法分析，通過轉(zhuǎn)化后再利用導(dǎo)數(shù)來證明b已知函數(shù) f x Inx a a, b R .”心 x（I）討論函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間與極值;（n）若b 0且f x 0恒成立，求ea 1 b 1的最大值;（川）在（n）的條件下，且 ea 1 b 1取得最大值時，設(shè) F函數(shù)F x有兩個零點(diǎn)x1,x2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明:a 1b2X1X2e

7、 .m R，且【答案】（I）答案見解析；（n）當(dāng)Inb a 1時，ea 1 b1最大為1;（川）證明過程見解析【解折】試題分析：CI ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論利用導(dǎo)數(shù)的正乳討論11喲的單調(diào)區(qū)間與根值j （II） 當(dāng) 禍 時，由（I）得yd遠(yuǎn)=1山+1-口3阮日心十1幻即可求尸】一力十1的最大值,（in.）=灑（機(jī)訂），構(gòu)造函數(shù)得出當(dāng)注T d 時,bF 0、- 1 - - Jnx a 0，:二-止:-* F何-a( 1) - (1 - yC - Inx) I - x 0, - lnx 不妨讒cf依題意同理“- b(x22吋Infei + S -1)= a 1 X；，即只需證明一InJtWAli-1成立

8、即只需證p(t)lnL嚴(yán)成立.14 (t-lr、“r p(t)二= 0,二p在區(qū)間|*亠上單調(diào)遞增，t (t + 1/ t(t+ 1?- ；：；：丁：成立.故原命題得證.已知函數(shù)f X 卒.Inx(1 )若f x在點(diǎn)e , f e2處的切線與直線 4x y 0垂直，求函數(shù)f x的單調(diào)遞增 區(qū)間；(2)若方程f x 1有兩個不相等的實(shí)數(shù)解 x-i, x2，證明： 捲x2 2e.【答案】(I)0,1和1,e ； (n)見解析【解析】試題分析；利用題意苜先求得實(shí)數(shù)。的值然后結(jié)合導(dǎo)ia數(shù)與原圈數(shù)的關(guān)系求得詼的單調(diào)區(qū)間即可！(2)本題制用分析法證明做乩首先寫出西皿 満足的關(guān)系式然后箔合對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，最 卄血響笛沁的性甌可證得馳試題解析：(I)In x2xi -x2 ,只要證x-i x2e2Inx-i Inx22Inm lnx2只需證Inx