虛功原理(微分形式的變分原理)講解

1、 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）、虛功原理受有理想約束.定常約束的力學系統(tǒng)，保持靜平 衡的必要充分I條件是作用于該系統(tǒng)的全部主動力的 虛功之和為零. 補=0/=1在直角坐標系中，上式寫成n藝（F.v8x. + FvSy. + R 5z.） = 0-1 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）必要條件的證明：當力學系統(tǒng)相對慣性系處于靜平衡時,E +丘=02 12山（F + F出）-8r = 0i = 1.2,7?F.8r=0/1IIII對理想約束00n充分條件的證明：“若系統(tǒng)的主動力虛功之和為零，Z斤旺=0對于受有理想約束的系統(tǒng)工人旺+ x心北=0 Ml/-I力學系統(tǒng)的約束是定常的，各質點的無

2、限小實位移 必與其中一組虛位移重合，故系統(tǒng)的主動力和約束 力的實功之和也滿足上式Z F昕+工禮W = /141根據(jù)質點系的動能定理= f斤.心+Y丘折=0=1 “1T =常量說明系統(tǒng)開始時靜止， 以后就會始終保持靜止 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）幾點說明：普適性.在變動中尋找平衡的條件例如單擺0 工 0時，mg -6r 0（力& = 0時，mg = 0.0 = 0的位置為單擺的平衡位置（3）與牛頓力學不同，分析力學的方法不是將注意力 放在區(qū)分內(nèi)力和外力上，而是放在區(qū)分主動力和約 束力上.如圖所示提升重物的裝置， 以把手端點的弧坐標s為廣義坐標, 設重物距地面高度為九根據(jù)虛功原理 Fds

3、-Wdh = 0F = W8h/8s如果知道力和$的函數(shù)關系9通過上式，就可求出F虛功原理中所說的主動力所做虛功之和為零，是 對任意的虛位移而言的,而不是針對特殊的虛位移 由于虛功原理的方程中不出現(xiàn)約束力，因此不能由 虛功原理求出約束力，但是，通過釋放約束或用不 定乘子法，可以求出約束力 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）廣義平衡方程據(jù)虛功原理，有乞尺旺1=1n或，工（化皿+耳.6兒+你牝）=0r = l為了得到廣義平衡方程，需要將虛功原理化為以 廣義坐標表述的形式.SZQaZa = a = 1展開后寫成0&們+。2切2 + Qa、= 在完整系中，若網(wǎng)|工0仏相互獨立同理.若H 0 5血相互

4、獨立.，仏=0 QBq、=（） Q2 = 0推出，Qa = a = 1,2，廣義平衡方程 虛功原理又可敘述為：對于受完整的、定常的. 理想約束的力學系統(tǒng)，保持靜平衡的必要充分條 件是所有的廣義力都為零.對于主動力均為有勢力的有勢系，有 Qa=- dV所以，廣義平衡方程成為= = 1,2,35 dV代入虛功原理中，有運亦創(chuàng) 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）三、虛功原理的應用例題3如圖所示今勻質桿04：質量為加19長為厶,能在 豎直平面內(nèi)繞固定的光滑較鏈O轉動，此桿的力端 用光滑錢鏈與另一扌艮質量為加2,長為2K判斷約束類型是否完整約束?是否理想約束P2、判斷自由度A. B兩點的位置，4個變量

5、OA = 12S = 4-2 = 2=0 2 = 02 V質量為加的小環(huán)P破限制在一個 半徑為/?的光滑大圓環(huán)上，大圓 環(huán)繞過大環(huán)中心的鉛垂軸以血 的角速度均勾轉動，以小環(huán)為系 統(tǒng)，試確定其自由度.質點在球坐標系中用r加描述r = ROcp = coy、 非定常約束= 13. 分析受力（主動力）加加2耳，F(xiàn)7X 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）4. 由虛功原理旺+加2耳旺5. 建立坐標系（必須是靜止坐標系）加辭” +叫g“2 + F込=6、轉化成廣義坐標” =cos(P2人兒=人 COS(P + cos (p22x3 = /( sin (p、+ 厶 sin (p5) 2I= / COS(P

6、0P + l2 COS q)、“p、! = - sin(p、b(P2 /,8y. = -Z. sin(p&(p、sin(p(p1)F cos q)m j g sin 、= arc tan (2叫 + m i)8 2F(p= = arc tan 叫g 7-3虛功原理（微分形式的變分原理） 法二先求出廣義力9再寫出平衡方程5=厶所以有2個廣義力Y件十1，2-I 嘰叫g3 = F_0斤0=二0人Q = Eg + 加20 匸亠 + F - Op兩c(p巧1“2 廠 dX3y2 = A cos cp、+ cos q2= / sin (p、+ 匚 sin q,=一+ 叫&一+F一m( gl, sill 甲

7、、一 m 2 gl sin (p、+ Fl、cos 卩=0 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）兒=ycosi2y2 = A cos +2COS (p2sin (px + 11 sin idy.dy2廠 dx.=加“ 了十加2g匸亠+ F 徑d(p2 d(p21二m 2gl、sin 儼2 + Fl2 cos q)2虛功原理主要用于求解：系統(tǒng)的靜平衡位置；維持系統(tǒng)平衡時作用于系統(tǒng)上的主動力之間的 關系.應用虛功原理解題的主要步驟是(1)明確系統(tǒng)的約束類型，看是否滿足虛功原理所要求 的條件；正確判斷系統(tǒng)的自由度，選擇合適的廣義坐標；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；S通過坐標變換方程，將虛功原理化

8、成z QM = 0z-l的形式，進而得出廣義平衡方程么=04 = 1,2,.,$.對有勢系，求出系統(tǒng)的勢能U后，可通過抄/購。=0 a = 1,2,- -,5得廣義平衡方程；求解廣義平衡方程. 7-3虛功原理(微分形式的變分原理)可解出約束力：q、= “工=兒” =4 = 主動力為 叫,叫E，F(xiàn),Fn 代入虛功原理，得Fn 張+ Fv Sy + 叫 兒 += 0 7-3虛功原理(微分形式的變分原理)2.不定乘子法(拉格朗日乘數(shù)法)先設系統(tǒng)由1個質點組成，受1個完整約束/(x,y,z)=0 用3個直角坐標作為描述系統(tǒng)位置的變量于是當系統(tǒng) 平衡時，應滿足虛功原理F 5x+ F 8v + F.8z

9、= 0xy 丿 5y： 3z 7-3虛功原理(微分形式的變分原理)對對對(F + 2 )8x4- (F 4- 2 )6v + (F, + 2 )8z = 0dxy ayz dz依然不獨立假定不獨立，則獨立.適當選取2值使&的系數(shù)為0,即 仁+幾% = 0CZT 則主動力F已知，與約束方程/(x, z) = 0 聯(lián)立求解，可求出平衡位置(x,y,z)和待 定常數(shù)2, A#為不定乘子，又稱拉格朗 日乘子.這種方法稱為不定乘子法.|不定乘子幾是一個與約束力有關的量.=0 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）將約束都釋放，并將約束力視為主動力，虛功原理成為（F、+ F 皿）2 + （化 + Fjy +

10、 （匚 + FRz ）5z = 0 + 仏=0 dfFr、dx, 相互獨立.即可知設想質點被約束在一個光滑曲面上，其約束力為Qr = Fr + FrJ + Fr.2 = 2Z + A j Akdxdydz即 Fr =說明約束力沿曲面的法線方向,2是約束力尺與 f的比例系數(shù)一般性討論設一力學系統(tǒng)由川個質點組成，受到k個完整約束的限制，兒，zj = 0“ = 1,2,、k 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）A（則個坐標中有個是不獨立的系統(tǒng)平衡時，應滿足 虛功原理 “ Z工（化* +行3兒+心込）=。式中的3”個6?！?，6乙不是相互獨立的，x 嘰x 嘰xox. +oy. +ozdxt 1 dyt

11、1 dzt =0“ = 2, 9 k它們滿足A個由完整約束給出的方程:1=1rr* d/Z幾+工七于 isi I “=i ox i II 50i = 1,2,氛與個約束方程聯(lián)立求解，&個乙與平衡位置坐標便可 同時求出心稱為不定乘子，又稱拉格朗日乘子.這 種方法稱為不定乘子法.將R個完整約束都釋放,并將約束力都視為主動力， 虛功原理成為8xf +If va 些II0(* dfZ （仏+ F巫肚+（F + F畸）8兒+（化+ F險）比=oRr 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）3n個坐標變分變成完全獨立的了，所以F,十 Fr、= 0 F“. + F 嗆.=0I幾+仏=0? + h + h+a嚴“

12、1=0dx.df與仏+工幾“嚴=0比較“f 弘=ET OX.F v ；嘰Frn = Z 5dfF f V z 0 広厶 “ d7F -y2 匯/4 = l不定乘子心與約束力有密切關系.PQA例題5 質量為血的質點P被限制在光滑球面上運動. 已知球面的半徑為,求質點的平衡位置和約束力.解系統(tǒng):質點建立原點在球心上的直角坐標系Oxyz.點的約束方程為f（x,y,z） = x2 + y2 + z2 - cC = 0s=2，但解題時仍以質點、的3個坐標X, y, z作為確定質點、 位置的變量它們的變分不獨立，滿足以下關系：2xdx + 2 vdy + 2zdz = 0質點所受的主動力是重力mg根據(jù)虛功原理， 6r = 0即一 mg 8z = 0 7-3虛功原理（微分形式的變分原理）一嘩氐=02x8 + 2 y8y + 2 zSz = 0（mg + 2 兄z）$z + 2 2x8x + 2 2y8y = 0一 m