蘇教版五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)奧數(shù)培優(yōu) 第4講因數(shù)與倍數(shù)(數(shù)的整除)

1、第 4 講簡(jiǎn)易方程（列方程解決問(wèn)題）知識(shí)概述整除是指整數(shù) a 除以整數(shù) b(0 除外)除得的商正好是整數(shù)而余數(shù)是零，我們就說(shuō) a 能被 b 整 除(或說(shuō) b 能整除 a)，記作 b|a，讀作“b 整除 a”或“a 能被 b 整除”。它與除盡既有區(qū)別又 有聯(lián)系。除盡是指數(shù) a 除以數(shù) b(b0)所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)是零時(shí)，我們就說(shuō) a 能被 b 除盡(或說(shuō) b 能除盡 a)。因此整除與除盡的區(qū)別是:整除是指被除數(shù)、除數(shù)以及商都是 整數(shù)，而余數(shù)是零 ;除盡并不局限于整數(shù)范圍內(nèi)，被除數(shù)、除數(shù)以及商可以是整數(shù)，也可以是 有限小數(shù)，只要余數(shù)是零就可以了。它們之間的聯(lián)系就是整除是除盡的特殊情況。

2、整除的一些性質(zhì)為：(1) 如果 a 與 b 都能被 c 整除，那么 a+b 與 a-b 也能被 c 整除。(2) 如果 a 能被 b 整除，c 是任意整數(shù)，那么積 ac 也能被 b 整除。(3) 如果 a 同時(shí)被 b 與 c 整除，并且 b 與 c 互質(zhì)，那么 a 一定能被積 bc 整除。反過(guò)來(lái)也成立。 有關(guān)數(shù)的整除特征：(1) 能被 2 整除的數(shù)的特征是:個(gè)位數(shù)字為 0，2，4，6，8 的整數(shù)。(2) 能被 5 整除的數(shù)的特征是:個(gè)位數(shù)字為 0，5 的整數(shù)(3) 能被 2，5 整除的數(shù)的特征是:個(gè)位數(shù)字為 0 的整數(shù)。(4) 能被 3(或 9)整除的數(shù)的特征是:各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是 3(或

3、 9)的倍數(shù)的整數(shù)。(5) 能被 2，3，5 整除的數(shù)的特征是:個(gè)位數(shù)字為 0，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是 3 的倍數(shù)的整 數(shù)。(6) 能被 4，25 整除的數(shù)的特征是:末兩位能被 4，25 整除的整數(shù)。如 2168，因?yàn)?68 能被 4 整 除(或者說(shuō) 68 是 4 的倍數(shù))，我們就說(shuō) 2168 能被 4 整除，但不能被 25 整除。而如 2175 就能被 25 整除，但不能被 4 整除。而 2100 既能被 25 整除，也能被 4 整除。(7) 能被 8，125 整除的數(shù)的特征是:末三位能被 8，125 整除的整數(shù)。如 23625，因?yàn)?625 是 125 的倍數(shù)，不是 8 的倍數(shù)，所以 2

4、3625 能被 125 整除，而不能被 8 整除。(8) 能被 11 整除的數(shù)的特征是 : 這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差 (大減小)是 11 的倍數(shù)。例 1、在內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使:(1) 34能同時(shí)被 2，3，4，5 整除;(2) 7 能被 24 整除練習(xí) 1、1、五位數(shù) 841中的內(nèi)填什么數(shù)字，才能被 3 整除且含有約數(shù) 5，寫(xiě)出這些數(shù)。12、在 358 后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能被 3，4，5 整除，且使這個(gè)數(shù)值盡可 能小。3、既能被 2 整除，又是 3 的倍數(shù)，還有約數(shù) 5 的最小兩位數(shù)是多少?最大的兩位數(shù)是多少?例 2、四位數(shù) 72能同時(shí)被 2，

5、3，5 整除，這樣的四位數(shù)有幾個(gè)?分別是多少練習(xí) 2、1、個(gè)位數(shù)是 5，且能被 9 整除的三位數(shù)共有多少個(gè)?2、求一個(gè)首位數(shù)字為 5 的最小六位數(shù)，使這個(gè)數(shù)能被 9 整除，且各位數(shù)字均不相同。3、四位數(shù) 6a3b 能被 2，3，5 整除，這樣的四位數(shù)有幾個(gè)?分別是多少例 3、有一個(gè)兩位數(shù)不能彼 3，6，9 整除，加上 8 后就能夠彼 3，6，9 整除了，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)兩位 數(shù)最大是多少?2練習(xí) 3、1、已知一個(gè)五位數(shù)是 154ab，能被 72 整除，求 a 與 b 的積。2、有一個(gè)四位數(shù)，千位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都被擦掉了，知道這個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字是 1， 個(gè)位上的數(shù)字是 2。又知道這個(gè)數(shù)如果減去

6、7 能被 7 整除，減去 8 能被 8 整除，減去 9 能被 9 整除。求這個(gè)四位數(shù)。3、用 1，2，38，9 這九個(gè)數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)。第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的兩倍;第三 個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的三倍。在所有這些三位數(shù)中，最大的一個(gè)三位數(shù)與最小的一個(gè)三位數(shù)之差是 多少?例 4、商店里有 6 只不同的貨箱，分別裝有貨物 15，16，18，19，20，31 千克。兩個(gè)顧客買(mǎi) 走其中 5 箱貨物，而一個(gè)顧客買(mǎi)的貨物重量是另一個(gè)顧客的 2 倍，商店里剩下的那箱貨物重量 是多少千克?練習(xí) 4、1、把一張紙剪成 6 塊，從所得的紙片中取出若干塊，每塊各剪成 6 塊;再?gòu)乃械募埰腥〕?若干塊，每塊各剪成

7、6 塊如此進(jìn)行下去，到剪完某次停止。所得的紙片總數(shù)有可能是 2000、 2001，2002，2003 這四個(gè)數(shù)中的（ ）。32、一位后動(dòng)人員買(mǎi)了 72 臺(tái)微波爐，可是由于他吸煙不小心，火星落在賬本上，把這筆賬的總 數(shù)燒去兩個(gè)數(shù)字。賬本是這樣的 :72 臺(tái)微波爐共 679元（為被燒掉的數(shù)字，微波爐單價(jià) 為整數(shù)），請(qǐng)把處數(shù)字填補(bǔ)上，并求出微波爐的單價(jià)3、希希買(mǎi)了 9 支鉛筆，2 支圓珠筆，3 本練習(xí)本和 5 塊橡皮，她看到圓珠筆每支 3 角 9 分，橡 皮每塊 6 分，其余她沒(méi)注意，售貨員要她付 3 元 8 角，希希馬上說(shuō):“阿姨你算錯(cuò)了?！闭?qǐng)問(wèn) 售貨員的賬算錯(cuò)了沒(méi)有?為什么?課后練習(xí)一、填空。1

8、.用 2，7，0 三個(gè)數(shù)字可組成不同的三位數(shù)，其中：(1) 是 2 的倍數(shù)的有( )(2) 有約數(shù) 5 的有( )(3) 能被 3 整除的有（ ）2.用 1，5，6 可以排成( )個(gè)不同的三位數(shù)，這三位數(shù)中；(1) 含有質(zhì)因數(shù) 3 的三位數(shù)（ ）(2) 含有質(zhì)因數(shù) 5 的三位數(shù)有( )(3) 既含有質(zhì)因數(shù) 2，又含有質(zhì)因數(shù) 3 的三位數(shù)有( )3. 用 7，2，3，6 四個(gè)數(shù)字組成的各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)中，既能被 8 整除，又有約數(shù) 9 的最小數(shù)是( )4. 既能被 3 整除，又是 5 的倍數(shù)的兩位數(shù)中，最大的奇數(shù)是( )。3. 在里填上合適的數(shù)學(xué)，使七位數(shù)1994能同時(shí)被 9，8，25

9、整除。二、解決問(wèn)題。1.把 915 連續(xù)寫(xiě)多少次，所組成的數(shù)就能被 9 整除，并且這個(gè)數(shù)最??？2.從 0，1，2，4，7 五個(gè)數(shù)中選出三個(gè)組成三位數(shù)，其中能被 3 整除的有多少個(gè)?43.有 0，1，4，7，9 五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)(例如 1409)，把其中能被 3 整除的四位數(shù)從小到大排列起來(lái)，第 5 個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是多少？4、有一個(gè)四位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之和為 10，且個(gè)位數(shù)字是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，去掉個(gè) 位數(shù)字與千位數(shù)字，剩下的那個(gè)兩位數(shù)是質(zhì)數(shù)。又知道這個(gè)四位數(shù)還能被 72 整除。求這個(gè)四 位數(shù)。5、一些四位數(shù)，百位數(shù)字都是 3，十位數(shù)字都是 6，并且它們既能被 2 整除又能被 3 整除。甲 是這樣的四位數(shù)中最大的，乙是最小的，則甲、乙兩數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字 ( 共四個(gè)數(shù)字 ) 的總和是多少?6、小王買(mǎi)了 3 支鉛筆，5 支圓珠筆，8 本筆記本和 12 塊橡皮，總共用去 2 元 5 角錢(qián)。已知鉛 筆 4 分一支，圓珠筆 3 角 6 分一支，問(wèn)營(yíng)