電動(dòng)力學(xué)第1章矢量分析.

1、5. 格林定理6. 矢受場(chǎng)的惟一性定理7亥姆霍茲定理&正交曲面坐標(biāo)系M* 矢量分析主 要 內(nèi)容梯度、散度.旋度、亥姆霍茲定理丄.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度2矢量場(chǎng)的通董與散度3矢童場(chǎng)的環(huán)童與旋度4無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)rrn標(biāo)童場(chǎng)（0）和矢童場(chǎng)（A ）以濃度表示的標(biāo)童場(chǎng)C以箭頭表示的矢童場(chǎng)力1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向 導(dǎo)數(shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿 某一方向上的變化率.標(biāo)量場(chǎng)0在P點(diǎn)沿/方向上的方向?qū)?shù) 號(hào);定義為d（P _ 亦 O（P） -G（尸） dl L 一 J監(jiān)zVibi rn rn mn梯度是一個(gè)矢量.某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向.在直

2、角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng) 0的梯度可表示為grad。= - + evex式中的grad是英文字gradient的縮寫2.矢量場(chǎng)的通童與散度矢童A沿某一有向曲面S的面積分稱為矢量4通過(guò)該有向曲面S的通量，以標(biāo)量W表示，即護(hù)=丄A VS通量可為正、負(fù)或零。當(dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn) 生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉 合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的通量 一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢董通過(guò)該 閉合面的通量一定為負(fù)。前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源.已知真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度E通過(guò)任一閉合曲面的

3、通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)（）之比，即，14 4 r i t * - K K f 仝, $ t r x X X彳 4$k 軋4i0式中 div是英文字divergence的縮寫；AV為閉合面S包圍的體積.A-dS divA= limAV-H)上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)童，它可理解為通過(guò)包圍單位體積閉合面的通量.直角坐標(biāo)系中散度可表示為div A =dx dy dz因此散度可用算符表示為div A = V 4散度定理div A dV = J A dS或者寫為L(zhǎng) V-Ad V = | A-dS從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了面積分和 體積分的關(guān)系. 從物理角度可以理解為散度

4、定理建 立了區(qū)域 V中的場(chǎng)和包圍區(qū)域V的邊界S上的場(chǎng)之 間的關(guān)系.因此，如果已知區(qū)域中的場(chǎng)，根據(jù)散 度定理即可求出邊界S上的場(chǎng)，反之亦然。E3Z1 LE例求空間任一點(diǎn)位置矢量r的散度oX()解已知求得竺+空+支=3 去 dy dz0算子口aaax dxy dyz dz標(biāo)量場(chǎng)的梯度-&(D &D d(P7瓦7石7瓦矢童場(chǎng)的散度f(wàn) . 4 d5div A = lim 丄匚AV-0 y矢量場(chǎng)的旋度?坐+坐+絲dx dy dz.3矢童場(chǎng)的環(huán)童與旋度矢量場(chǎng)A沿一條有向曲線/的線積分稱為矢童 場(chǎng)A沿該曲線的環(huán)董，以廠表示，即可見(jiàn)，若在閉合有向曲線/上，矢董場(chǎng)A的方向處 處與線元d/的方向保持一致，則環(huán)童廠

5、0;若處 處相反，則廠v0可見(jiàn)，環(huán)董可以用來(lái)描述矢量 場(chǎng)的旋渦特性.rBi rn im已知真空中磁通密度沿任一閉合有向曲線2的 環(huán)童等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度/與真空磁導(dǎo)率“的乘積。即血從d/ = ZV式中，電流/的正方向與d/的方向構(gòu)成右旋關(guān)系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但 是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度，它不能 顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度。1 LEJ旋度是一個(gè)矢量以符號(hào)curl A表示矢量A的 旋度，其方向是使矢童M具有最大環(huán)童強(qiáng)度的方向,其大小等于對(duì)該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度，即式中curl是旋度的英文字；s為最大環(huán)童強(qiáng)度的方 向上的單位矢量，

6、M為閉合曲線/包圍的面積。矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的 閉合曲線上的最大環(huán)量.直角坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為aaa或者curl 4 = V x Acurl a =珥頁(yè)dxdydzA Av 4無(wú)論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算，它們表示場(chǎng)在某點(diǎn)附近的變化特性.因此，梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性或稱為微分特性.函數(shù)的連續(xù)性是可微的必要條件.因此在場(chǎng)量發(fā) 生不連續(xù)處，也就不存在前述的梯度.散度或旋度.旋度定理(斯托克斯定理)J (curl A).15= A d/ 或者 J、(VxA) dS = J A di從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度定理建立了面積分和線 積分的關(guān)系.從物理角度可以理解為

7、旋度定理建立了 區(qū)域S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域S的邊界/上的場(chǎng)之間的關(guān) 系.因此，如果已知區(qū)域S中的場(chǎng)，根據(jù)旋度定理即 可求出邊界I上的場(chǎng)，反之亦然.例 試證任何矢量場(chǎng)A均滿足下列等式f (Vx A)dV = -|Js A xd5A式中，S為包圍體積V的閉合表 面.此式又稱為矢童旋度定理， 或矢童斯托克斯定理.證設(shè)C為任一常矢量，則V (C x A) = A VxC C Vx 4 = C x 4V(CxA) = A-VxC-CVxA = -CVxA那么對(duì)于任一體積V,得 v-(CxA)dV =-C jVx AdV根據(jù)散度定理，上式左端JvV.(CxA)dV= (Cx A) dS C (AxdS) =

8、C-J s Axd5求得C-j v(VxA)dV=-C AxdS4.無(wú)散場(chǎng)和無(wú)旋場(chǎng)散度處處為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)，旋度處處 為零的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng).可以證明V *(Vx A) = 0上式表明，任一矢量場(chǎng)A的旋度的散度一定等 于零.因此，任一無(wú)散場(chǎng)可以表示為另一矢量場(chǎng)的 旋度，或者說(shuō)，任何旋度場(chǎng)一定是無(wú)散場(chǎng).又可證明Vx(V) = 0上式表明，任一標(biāo)董場(chǎng)的梯度的旋度一定 等于零.因此，任一無(wú)旋場(chǎng)一定可以表示為一個(gè) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者說(shuō)，任何梯度場(chǎng)一定是無(wú)旋 場(chǎng)。5格林定理設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)0及0, 若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏 導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)0 及”滿足下列等式j(luò) v(V 片 + YV

9、SdU =、片式中S為包圍V的閉合曲面；絲為標(biāo)量場(chǎng)。在S表面 dn的外法線S方向上的偏導(dǎo)數(shù).根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成 （匸3 +旳SdV =此（炸0）心 上兩式稱為標(biāo)童第一格林定理.基于上式還可獲得下列兩式：f （yv2W）dv = |jj jyvp-（p p） ds j v（加。-W）dV =左腫攀 一 o 學(xué)dS 上兩式稱為標(biāo)童第二格林定理.設(shè)任意兩個(gè)矢量場(chǎng) 卩與0 ,若在區(qū)域V中具有 連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場(chǎng)P及 0滿足下列等式：J v(VxP).(Vxe)-P-VxVxgJdV =| JPxVxg) dS式中S為包圍U的閉合曲面；面元dS的方向?yàn)镾的外 法

10、線方向。上式稱為矢量第一格林定理.基于上式還可獲得下式：J IC (Vx Vx F) F-(Vx V xQdV= J|Z, xVx(?-2xVxP|d5此式稱為矢量第二格林定理。格林定理建立了區(qū)域v中的場(chǎng)與邊界s上的場(chǎng) 之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的 求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題.格林定理說(shuō)明了兩種標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)之間應(yīng)該滿 足的關(guān)系.因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布特性， 即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布特性.6.矢童場(chǎng)的惟一性定理位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊 界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的 矢量場(chǎng)被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場(chǎng)

11、的源，可見(jiàn)惟一性 定理表明，矢量場(chǎng)被其源及邊界條件共同決定.rRi rFi fm7.亥姆霍茲定理若矢童場(chǎng)F(r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其 導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng) 的散度及旋度給定后，該矢童場(chǎng)F(f)可以表示為陽(yáng))式中F(r) = -V(r) +Vx A(r)F(r) = -V(r) + V x A(r)該定理表明任一矢童場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋 場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散場(chǎng)之和.矢量場(chǎng)的散度及旋度特性 是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題.&正交曲面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系（x.y.z）直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系微分單元的表示d/ = e.dt+evdy+e;dzdS =eMdydz4 e/Lxxk4 e.dulydV = dx dr dzclZ -= erdr+er d+c.drdS =crr dct： +qd 廠 ck + ey d/d。dV = r dr(.1/ = erdr 4- e0 ixO + 廠sinOd。dLS e/sin(JO(J0 + winO(J/*(J0 + s/vb(10 dV = r2 sinOckdOd。ri rFix= rcos y - rsin z = zr = yjx2 + y2 Z2坐標(biāo)變量的轉(zhuǎn)換r =卜 + b0COS0 00 I