初三數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、次函數(shù)綜合題型精講精練題型一：二次函數(shù)中的最值問題例1 :如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=ax 2+bx+c經(jīng)過A (- 2 , - 4 ),0 (0,0), B (2 , 0) 三占八、(1 )求拋物線y=ax 2+bx+c的解析式；(2)若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求 AM+OM 的最小值.解析：(1 )把 A (- 2, - 4), O (0 , 0), B (2 , 0 )三點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax 2+bx+c 中，得解這個(gè)方程組，得 a= -，b=1 , c=0所以解析式為y= -x2+x .2(2 )由 y= - x2+x= - ( x- 1) 2+丄，可得2 2 2拋物

2、線的對(duì)稱軸為 x=1 ,并且對(duì)稱軸垂直平分線段 OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，則此時(shí) OM+AM 最小過點(diǎn)A作AN丄x軸于點(diǎn)N ,在 Rt KBN 中，AB=乎 + 4，=4d，因此OM+AM 最小值為氏g.方法提煉：已知一條直線上一動(dòng)點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn) A、B，求AM+BM最小值的問題，我們只需做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn) A ，將點(diǎn)B與A 連接起來交直線與點(diǎn) M，那么A B就是AM+BM 的最小值。同理，我們也可以做 出點(diǎn)B關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B，將點(diǎn)A與B連接起來交直線與點(diǎn) M，那么AB 就是AM+BM 的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。、

3、 M；A /例2 :已知拋物線C1的函數(shù)解析式為 方程ax2 bx 3a 0的兩根為x1， (1 )求拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)或者l! 1 B%y ax2 bx 3a(b 0)，若拋物線C“經(jīng)過點(diǎn)(0, 3)， 且 x1 x2X2，1x x(3)若拋物線先向上平移4個(gè)單位,(2)已知實(shí)數(shù)x 0，請證明:2,并說明x為何值時(shí)才會(huì)有x -2.x再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C2，設(shè)A(m,yJ , B(n, y?)是C?上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：AOB 90 , m 0 , n 0 請你用含有m的表達(dá)式表示出厶AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時(shí)一次 函數(shù)OA的函數(shù)解析式。解析：(1 )拋物線過

4、(0 , 3)點(diǎn)，一 3a =3a =1 y=x2 + bx 3X2 + bx 3 = 0 的兩根為 X1,X2 且 X1-X2 =4 X- x2 p(x1 x2)2 4x1x2 =4 且 b v0 b = 一 2=x2 2 x _3 =(x1)2 4拋物線C i的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1 ,4)1L 12(2) Vx0,A X 2( x )0xJx1 1X -2,顯然當(dāng)X=1時(shí)，才有x -2,XX(3)方法一：由平移知識(shí)易得C 2的解析式為：y = X2A (m , m 2), B ( n , n 2)vAOB 為 Rt OA 2 +OB 2 =AB 2m 2 + m4 + n 2 + n 4 =(

5、m n) 2 +( m 2 n2) 2化簡得：m n =1/Saob= 1OA?OB = 1m2 m4 ? n2 n42 2/m n = 11 Q 2 1.2 m一22、m211c ,m21m2 Saaob = 1* m2 n22=1 (m 1 )22 . m此時(shí) m =1 ,A (1 , 1 ) Saaob的最小值為1,直線OA的一次函數(shù)解析式為y = x方法提煉：已知一元二次方程兩個(gè)根X1,X2,求|X1-X2|。因?yàn)?|X1-X2|= . (x1 X2)2 4x21 1m 2, (m o);當(dāng)m 1時(shí)，m 2取得最小值。例3 :如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn) A ( 1，0 )、B ( 3，0

6、)、C (0，3)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2) 點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)(不與 B，C重合)，過M作MN /y軸交拋物線 于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m，請用m的代數(shù)式表示 MN的長.(3 )在(2 )的條件下，連接 NB、NC，是否存在m，使ABNC的面積最大若 存在，求m的值；若不存在，說明理由.解析：(1 )設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+1 ) (x 3)，貝U：a (0+1 ) (0 3) =3，a= 1 ;拋物線的解析式：y= -( x+1 ) (x 3) = x2+2x+3 .(2)設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：r3k+b=0仏二3/L0b解得b 二 3故直線BC

7、的解析式：y= x+3 已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m，貝U M (m， m+3 )、N (m， m 2+2m+3 故 MN= - m2+2m+3 ( m+3 ) = m 2+3m (0 v m v 3).(3)如圖；/Sbnc =S mnc +S mnb -MN (OD+DB ) = ImN XOB ,2cI il3/S3nc= (- m 2+3m )X3= - ( m ,BNC的面積最大，最大值為22+二(0v m v3);27: 方法提煉：因?yàn)锳BNC的面積不好直接求,當(dāng) m=/7ye-VX,0);將壬NC的面積分解為 MNC和MNB得到一個(gè)關(guān)于m的二次函數(shù)此題利的面積和。然后將厶BNC的面積表

8、示出來，用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的幵口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的幵口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。 題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問題例4:如圖，已知：直線y x 3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B,拋物線y=ax 2+bx+c 經(jīng)過A、B、C (1，0)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1 ,0)，在直線y x 3上有一點(diǎn)P,使 ABO與 ADP 相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3) 在(2)的條件下，在 x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)己，使 ADE的面積等于四邊形 APCE的面積如果存在，請求出點(diǎn) E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.解：(1):由題意得

9、， 拋物線經(jīng)過A、代入y = ax2 + a 1 解得：b 4c 3A( 3，0)，B( 0，3)B、C 三點(diǎn)，.把 A (3, 0), Bbx+ c得方程組拋物線的解析式為y =(2)由題意可得：AO若厶 ABOs 1AP 則 AOAD4x+ 3為等腰三角形，如圖所示,OB(0, 3) , C (1 , 0)三點(diǎn)分別DR二 DP二AD=4Pi (- 1,4)若 ABOs ADP過點(diǎn) ABO等腰三角形P2 作 P2 MX軸于M , Al ADP是等腰三角形，由三P2M ,即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合(3)如圖設(shè)點(diǎn)E (x,y),P2 (1 , 2)則M=AM=2=誣i* Jb二0當(dāng)Pi(-1,4)時(shí),S

10、四邊形 AP1CE =S ZACP1 +S ACE=4+|y2 y = 4+|y y = 44x 70點(diǎn)E在x軸下方 y二-4 代入得：x2 - 4x+ 3= - 4 ,即.(-4) 2-4 X7=-120此方程無解當(dāng)P2 ( 1 , 2)時(shí)，S四邊形AP2CE =S 三角形ACP2 +S三角形ace =2 + y 2= 2 + y y| = 2點(diǎn)E在x軸下方 y=-2代入得：x2- 4x+ 3= - 2即 x2 4x 5 0 ,TZ=(-4) 2-4 X5=-40此方程無解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉：求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角 形

11、，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長相似比 來求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求 不好求的時(shí)候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例5 :如圖，點(diǎn)A在x軸上，0A=4，將線段0A繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120 SOB的位置.(1 )求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2 )求經(jīng)過點(diǎn)A . 0、B的拋物線的解析式；P，使得以點(diǎn)P、0、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形若存(3 )在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解析：/AOB=120 ，BOC=60 ，

12、又0A=0B=4，7 OCOB= X 4=2， BC=OBsin60=4 X2 二22|(1 )如圖，過B點(diǎn)作BC丄x軸,垂足為 C，則/ BCO=90點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2， (2 )拋物線過原點(diǎn)可設(shè)拋物線解析式為將 A (4，0)，B (-2 .、；）;0和點(diǎn)A . B，y=ax 2+bx，2 . - 2 .；）代入，得o* X此拋物線的解析式為y=-解得(3)存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，y )，若0B=0P，則 22+|y| 2=4 2，解得 y= 2:;,當(dāng) y=2 :時(shí)，在 Rt P0D中/ PD0=90 ， sin / / P0D

13、=6O ， / POB= / POD+ / AOB=60 +120 =180即P、0、B三點(diǎn)在同一直線上， y=2二不符合題意，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2， - 2 .；) 若 OB=PB，則 42+|y+2 |打2=4 2,解得y= - 2才,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, - 2 .：；）, 若 OP=BP，則 22+|y| 2=4 2+|y+2 _ ：|2,解得 y= - 2 .；,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2, - 2 ：；）,綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2 , - 2 1 ；）,方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐?一個(gè)三角形成為等腰三角形

14、，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例6:綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).（1 ）求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2 ）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P作直線I / A（交拋物線于點(diǎn) Q，試探究：隨著 物線上是否存在點(diǎn) Q，使以點(diǎn)A. P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，請 條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3 ）請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使解析：（1 ）當(dāng) y=0 時(shí)，-x2+2x+3=0點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A . B的坐標(biāo)分別為（-1，0 ），（3，當(dāng) x=0 時(shí)，y

15、=3 .C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 3 ）設(shè)直線AC的解析式為y=k 1X+b 1 （k1丸）,y= - x2+2x+3 與x軸交于A. B兩點(diǎn)，與DBD的周長最小，求出 M點(diǎn)的坐標(biāo).，解得 X1= - 1 , X2=3 .點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋飛1=30 )kj=3二3直線AC的解析式為y=3x+3 ./y= - x2+2x+3=-（ x - 1） 2+4 ,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1 , 4 ）.（2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q , 當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為-3 , 代入拋物線可得點(diǎn) Q2坐標(biāo)為（1+ . L,- 3）; 當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q

16、3的縱坐標(biāo)為-3 ,代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為（1 - . ,- 3）;綜上可得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q1 （2, 3）, Q2 （ 1+聽,-3）, Q3 （1 -解得Qi的坐標(biāo)為（2 , 3）;它 ii,- 3).(3 )點(diǎn)B作BB JAC于點(diǎn)F，使BF=BF，貝U B 為點(diǎn)B關(guān)于直線 AC的對(duì)稱點(diǎn). 連接B D交直線AC與點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，過點(diǎn)B 作B EJ x軸于點(diǎn)E.Z1和/2都是/3的余角，v 353 10RtAOC Rt XFB ,型二豎由 A (- 1 , 0), B (3, 0), CAC=Vlb, AB=4 .BF- 412|_，BB =2BF=BF=2

17、41由Z1= Z2 可得 RtAOC RtBEB,AO _CQ_ CAU 壬 EEB E=丄二，BE=V103&OE=BE - OB=5-3=5215設(shè)直線B 的解析式為點(diǎn)的坐標(biāo)為(-解得號(hào)尹心甞4821.亍).y=k 2x+b 2 (k2 丸).直線BD的解析式為:4y=nx+4813?聯(lián)立BD與AC的直線解析式可得:尸3覽+3J*9工二-解得351.32,g132，35M點(diǎn)的坐標(biāo)為（)方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。 題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題例7:如圖，半徑為2的OC3 2x30）若拋物線y(1 )(2)(3)

18、解析:與x軸的正半軸交于點(diǎn) A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，bx c過A、B兩點(diǎn).求拋物線的解析式； 在拋物線上是否存在點(diǎn)若點(diǎn)M是拋物線（在第一象限內(nèi)的部分）上一點(diǎn)， （1 ）如答圖1，P，使得/PBO= / POB存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在說明理由；的面積為MAB求S的最大（?。┲?連接OB ./ BC=2，OC=10B=、0， 、3)-y（3， 0），邁93X3 2x3B (0，3b c.3 ）代入二次函數(shù)的表達(dá)式2.33，.30，解得:2.3x3J3.（2）存在.如答圖2，作線段OB的垂直平分線 b 0，73），o （0，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)直線i的表達(dá)式為y0 ），

19、3代入拋物線的表達(dá)式,2解得x2(3)如答圖 設(shè) M ( Xm,3 22.3xx331 -2103、)3，作MH丄x軸于點(diǎn)ym )，貝卩Sa mab=S梯形MBOH +s mha Sa oab=1(MH+OB21)0H+ HAMH OAOB2 21 _ 1 1=尹*尹5 -2ym.32Txm2 33xm/ 3 ，Samab屈xm3(32xmxm2233_3223.3Xmxm23(xm3 29*32) T= x23 m - ym3,32當(dāng)時(shí)，Samab取得最大值，最大值為2題型五：二次函數(shù)中的證明問題1例8 :如圖11，已知二次函數(shù)y （x 2）（ax b）的像過點(diǎn) A（-4，3），B（4，4）

20、.（1 ）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證： ACB是直角三角形；P作PH垂直x軸于點(diǎn)（3）若點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似若存在，求出點(diǎn) P的坐H，是否存在以P、H、D、標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：（1 ）將 A（-4，3），B（4，4）代人 y1一（x 2）（ax b）中，整理得:484a-b 724a b 32解得二次函數(shù)的解析式為：y整理13215y一 xx-(2 )由4886a 13b -201 (x 48得：整理2)(13x-20)，213x 6x -400 x12,x2201320從而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+ BC 2=

21、13+52=65AB2=64+1=65故ACB是直角三角形 AC2+ BC2=AB 2131 5(3)設(shè) p(x,x2-x-5)488 6PH= 13x21x-5 HD= 20-x AC= 13 BC= 2 13488613(X0 )當(dāng) PHD s公CB時(shí)有:PH HDACBC13 215x x - 即: 48-8650 -13/ 50 35、5(-13 13X220-x132.、1320 (舍去)13整理此時(shí),13 2x24yi5125x -43513390DH當(dāng)ZDHP s公CB時(shí)有：出AC13 215x x-48861320-x即: 13V13Xi122-13122 284.1313綜上

22、所述,例9:在平面直角坐標(biāo)系PHBC整理13 2 x4817 X -820 (舍去時(shí),yi13“ 122 284、 P2 (-1313xOy中，點(diǎn)P是拋物線：y=x2上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限內(nèi)).連接OP ,滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即咲詈耆過點(diǎn)0作OP的垂線交拋物線于另一點(diǎn) Q .連接PQ,交y軸于點(diǎn)M .作PA丄x軸于點(diǎn)A, QB丄x 軸于點(diǎn)B .設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m .(1) 如圖1，當(dāng)m=工時(shí)， 求線段OP的長和tan / POM勺值； 在y軸上找一點(diǎn)。，使厶 OC是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點(diǎn) C的坐標(biāo)；(2) 如圖2，連接AM、BM，分別與 用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)Q的

23、坐標(biāo)； 求證：四邊形 ODME是矩形.解析：(1 )把x=一代入y=x 2，得OP、OQ相交于點(diǎn)D、E./ PA丄 x 軸， PA / MO. tan /設(shè) Q (n, n2), / tan / QOB=tan2n 2 .n=當(dāng) OQ=OC當(dāng) OQ=CQPOM=tan/ POM,時(shí)，則Ci (0,(0,y=2 , P妊，2), OP=6壬,C2C3 (0, 1 ).AP時(shí)，貝UP(, m2),設(shè) Q (n , n2) , / APOs(2 )2 n_n in2 ID得n= _丄，IT設(shè)直線PO的解析式為:(一丄1)Q-丄Xy=kx+b，把 P ( m , m2)、Q ()代入，得:解得 b=1

24、 , M 0, 1)，/ QBO=Z MOA=90 QBOs MOA/ MAO=Z QOB, QO/ MA同理可證：EM/ OD又/ EOD=90 ,四邊形ODME是矩形.題型六：自變量取值范圍問題例10 :如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn) A . C. D均在坐標(biāo)軸上，且4AB=5 , sinB=(1 )求過A . C . D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2) 記直線AB的解析式為yi=mx+n , (1)中拋物線的解析式為 y2=ax2+bx+c，求當(dāng)yi y時(shí), 自變量x的取值范圍；(3) 設(shè)直線AB與(1 )中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E, P點(diǎn)為拋物線上 A . E兩

25、點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的AE積最大并求出面積的最大值.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，解析：(1 )四邊形ABCD是菱形，4 AB=AD=CD=BC=5 , sinB=sinD=Rt OCD中 OC=CDsinD=4, OD=3 ;OA=AD - OD=2 ，即：A (- 2 , 0 )、B (- 5, 4 )、C (0, 4 )、D (3, 0); 設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+2 ) (x - 3),得：22 x( - 3) a=4 , a=拋物線：y=-二x2+ .33(2 )由 A (- 2, 0 )、B (- 5 , 4)得直線 AB : y1=-1上x2 + -：x+4，則:2 2 2解得：71=01 1由(1)得：y2=-43玄2 =5_ 22 y11_；lx+可得點(diǎn)p (寺由(2)得：E ( 5 ,警，則直線PE： y=-11x+9 ;49；Sa pa=S pa+S ae= 乂2 11,0), AF=OA+OF=綜上所述，當(dāng)P (-,題型七：二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，PAE面積最大，為=+丄)=3 2343IT34312試銷過程中發(fā)現(xiàn)-2X+100 .(利潤=售價(jià)-制造每月銷售量y例11 :