《離心率的五種求法》

1、(5離心率的五種求法橢圓的離心率 0 e 1 ，拋物線的離心率 e =1 一、直接求出 a 、 c ，求解 e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或 a 、 c 易求時(shí)，可利用率心率公式ce = 來解決。 a例 1：已知雙曲線xa22-y 2 =1（ a 0）的一條準(zhǔn)線與拋物線y 2 =-6x的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）a.3 3 6 2 3 b. c. d.2 2 2 3解：拋物線y2=-6x的準(zhǔn)線是x =32a 2 c 2 -1 3，即雙曲線的右準(zhǔn)線 x = = =c c 2，則 2c2-3c -2 =0 ，c 2 3解得 c =2 ， a = 3 ， e = = ，故選 da 3變式練習(xí) 1：

2、若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為 f (1,0)、f(3,0)，則其離心率為（）1 23 2 1 1a. b. c. d.4 3 2 4解：由 f (1,0)、f(3,0)知2c=3 -1 ， c =1 ，又橢圓過原點(diǎn)， a -c =1 1 2c 1c =1 ，所以離心率 e = = .故選 c.a 2， a +c =3， a =2，變式練習(xí) 2：如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為（）a.3 6 3b. c. d 22 2 2解： 由題設(shè) a =2 ， 2c =6 ，則 c =3 ， e =c 3= ，因此選 c a 2變式練習(xí) 3：點(diǎn) p（-3，1）在橢圓x 2 y 2+ =1

3、（a b 0 ）的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn) p 且方向?yàn)?a = 2,-5 a 2 b 2)的光線，經(jīng)直線y =-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（）a3 1 2 1b c d3 3 2 2解： 由題意知，入射光線為 y -1 =- (x+3)，關(guān)于y =-2的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為2a2 =3 c 35x -2 y +5 =0 ，則 c 解得 a = 3 ， c =1 ，則 e = = ，故選 aa 3-5c +5 =0二、構(gòu)造 a 、 c 的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助 a 、 b 、 c 之間的關(guān)系，構(gòu)造 a 、 c 的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e 的 一元方程，從而解

4、得離心率 e 。2x y22c)+ mf - f f( )( )=( )例 2：已知f1、f2x 2 y 2是雙曲線 - =1（ a 2 b 2a 0, b 0）的兩焦點(diǎn)，以線段f f1 2為邊作正三角形mf f1 2，若邊 mf 的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（） 1a. 4 +2 3b. 3 -1c.3 +12d. 3 +1解：如圖，設(shè)mf1的中點(diǎn)為 p ，則 p 的橫坐標(biāo)為-c2，由焦半徑公式pf =-ex -a1 p，即c c c =- -aa 2 c c ，得 -2 -2=0 ，解得 a a e =ca=1 + 3（1 - 3 舍去），故選 d變式練習(xí) 1：設(shè)雙曲線- =1 （

5、 0 a b ）的半焦距為 c ，直線 l 過 (a,0)，(0,b)兩點(diǎn).已 a 2 b 2知原點(diǎn)到直線的距離為34c ，則雙曲線的離心率為()a. 2 b. 3 c. 2 d.2 33解：由已知，直線 l 的方程為 bx +ay -ab =0 ，由點(diǎn)到直線的距離公式，得aab2 +b2=34c ，又 c2=a2+b2, 4 ab = 3c2,兩邊平方，得 16 a2(2-a2=3c4，整理得 3e4-16e2+16 =0 ，得 e 2 =4 或 e 2 = 選 a43c 2 a 2 +b 2 b 2，又 0 a 2 ， e 2 =4 ， e =2 ，故a 2 a 2 a 2變式練習(xí) 2：雙

6、曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 m ，兩個(gè)焦點(diǎn)為 f 、 f ， f mf =1201 2 1 2的離心率為（）6 6 3a 3bc d2 3 3解： 如圖所示，不妨設(shè) m (0,b)，f (-c,0)，f(c,0)，則1 20，則雙曲線mf = mf = c 1 22+b2，又 f f =2c ，1 2在 df mf 中，由余弦定理，得 cos f mf = 1 2 1 2mf12 2 22 1 22 mf mf1 2,即 -1 c 2 +b 2 + c 2 +b 2 -4c 2 2 c 2 +b 22，b 2 -c 2 1 =-b 2 +c 2 2，11af21 2 2 2 b 2 =c 2 -a

7、2 ，-a 2 2c 2 -a2=-12， 3a 2 =2c 2 ， e 2 =32， e =62，故選 b三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例 3：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 f 、 f ，過 f 作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn) p ，若 df pf 為1 2 2 1 2等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解： e =c 2c 2c= = = a 2 a pf + pf1 22c 2 2c +2c=11 +1= 2 -1四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解x 2 y 2例4：設(shè)橢圓 - =1 （ a 0, b 0 ）的右焦點(diǎn)為 f ，右準(zhǔn)線為 l ，a 2 b 2若過 f 且垂直于 x 軸的弦的長(zhǎng)等于

8、點(diǎn) f 到 l 的距離，則橢圓的離心率是1 1 1.解：如圖所示， ab 是過 f 且垂直于 x 軸的弦， ad l 于 d ， ad 為 f 到準(zhǔn)線 l 的距離，1 1 1 1根據(jù)橢圓的第二定義， e =1ab1= =ad ad 2變式練習(xí)：在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1 離心率為（），則該橢圓的a 2b2 1 2c d2 2 4解： e =af2ad=2 2 2=1 2五、構(gòu)建關(guān)于 e 的不等式，求 e 的取值范圍例 5：設(shè) p q0, 4 ，則二次曲線x 2 cotq-y 2 tanq=1的離心率的取值范圍為（）1a. b.21 2 2 , c.

9、 ,2 d.(2,+)另：由 x2cotq-y2tan pq=1 ， q0, ，得 a 4 2=tanq， b2=cotq, c2 =a 2 +b 2=tanq+cotq, e2c 2 tan q+cot q = =a 2 tan q=1 +cot2q p q0, ， cot 4 2q1 , e22 ， e 2 ，故選 d()0 0( )02 2222 222()例6：如圖，已知梯形 abcd 中， ab =2 cd ，點(diǎn) e 分有向線段 ac 所成的比為 l ，雙曲線過2 3c 、 d 、 e 三點(diǎn)，且以 a 、 b 為焦點(diǎn)當(dāng) l 時(shí)，求雙曲線離心3 4率 e 的取值范圍。解：以 ab 的垂

10、直平分線為 y 軸，直線 ab 為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 xoy ，則 cd y 軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn) c 、 d ，且以 a 、 b 為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知 c 、 d 關(guān)于 y 軸對(duì)稱依題意，記 a(-c,0)，c 1c , h ，e x , y ，其中 c = ab 為雙曲線的半焦距， h 是梯形的高2 2由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x =0-c +l 1 +lc2=(l-2)c lh x 2 y 2，y = ，設(shè)雙曲線的方程為 - =1 ， 2 1 +l 1 +l a 2 b 2c c 2 h 2則離心率 e = ，由點(diǎn) c 、e 在雙曲線上，所以，將點(diǎn) c 的坐標(biāo)代入雙曲線

11、方程得 - =1 a 4 a 2 b 2將點(diǎn) e 的坐標(biāo)代入雙曲線方程得c 24a2l-2 h l - =1 1+l b 1+lc e 2 h 2 h 2 e 2 再將 e = 、得 - =1 ， =a 4 b 2 b 2 4-1 e 24l-2 h l - =1 1+l b 1+le 2將式代入式，整理得 4 -4l =1 +2l， l43 2 3=1 - ，由題設(shè) l 得：e 2 +2 3 42 3 31 - ，解得 7 e 10 ，所以雙曲線的離心率的取值范圍為 3 e 2 +2 4配套練習(xí) 7, 10x 2 y 21.設(shè)雙曲線 - =1（ a 0, b 0 ）的離心率為 3 ，且它的一

12、條準(zhǔn)線與拋物線 ya 2 b 2線重合，則此雙曲線的方程為（）2=4 x 的準(zhǔn)a.x 2 y 2- =112 24b.x 2 y 2- =148 96c.x 2 2 y 2 - =13 3d.x 2 y 2- =13 62已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則橢圓的離心率等于（）a13b33c12d32211 23已知雙曲線x 2 y 2 4- =1 的一條漸近線方程為 y = x ，則雙曲線的離心率為（） a 2 b 2 35 4 5 3a b c d3 3 4 24在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為 2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 1，則該橢2 1 2圓的離心率為 a 2 bc d2

13、2 45在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為 2 ，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 曲線的離心率為（）12，則該雙a22b2 c 2 d 2 2x 2 y 26如圖， f 和 f 分別是雙曲線 - =1 （ a 0, b 0 ）的兩個(gè)焦點(diǎn)， a 和 b 是以 o 為圓a 2 b 2心，以 of 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且 df ab 是等邊三角形，則雙曲線 1 2的離心率為（）a 3b 5c52d 3 +17.設(shè) f 、 f 分別是橢圓 1 2x 2 y 2+ =1（ a b 0 ）的左、右焦點(diǎn)， p 是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 3c a 2 b 2（ c 為半焦距）的點(diǎn)，且 f f = f

14、 p ，則橢圓的離心率是（）1 2 2a3 -12b12c5 -1 2d2 28設(shè) f 、f 分別是雙曲線 1 2x 2 y 2- =1 的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) a ，使 f af =90 0 ， a 2 b 2且 af =3 af ，則雙曲線離心率為（） 1 2a52b102c152d 59已知雙曲線x 2 y 2- =1 （ a 0, b 0 ）的右焦點(diǎn)為 f ，若過點(diǎn) f 且傾斜角為 60 0 的直線與 a 2 b 2雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（） a 1,2b(1,2)c2,+)d(2,+)1 222c a 22112 1121 21 21221

15、10橢圓x 2 y 2+ =1 （ a b 0 ）的焦點(diǎn)為 f 、 f ，兩條準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)分別為 m 、 n ， a 2 b 2若 mn 2 f f ，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）1 2a 0,12b 2 0, 1c ,12 2 d ,1 參考答案： 1.由 = 3, =1a c可得 a = 3, b = 6, c =3.故選 dc 32.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍， a =2b ，橢圓的離心率 e = = ，選 d。a 23.雙曲線焦點(diǎn)在 x 軸,由漸近線方程可得b 4 c 32 +4 2 5= , 可得e = = = ,故選 a a 3 a 3 3x 2 y 2 2b

16、2 a 24.不妨設(shè)橢圓方程為 + =1 （ab0），則有 = 2且 -c =1 ，據(jù)此求出 ea2 b2 a c225.不妨設(shè)雙曲線方程為x 2 y 2 2b2 a 2 1- =1（a0，b0），則有 = 2且c - = ，據(jù)此解得 e 2 ， a2 b2 a c 2選 cx 2 r 26.解析：如圖， f 和 f 分別是雙曲線 - =1( a f0, b f0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)， a 和 b 是以 o 為圓a 2 b 2心，以 of 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且 f ab 是等邊三角形，連接 af ， 1 2af f =30，|af |=c，|af |= 3 c， 2 a =( 3

17、-1)c ，雙曲線的離心率為 1 + 3 ，選 d。a 2 a 2 c 27.由已知 p（ , 3c ），所以 2c = ( -c ) 2 +( 3c) 2 化簡(jiǎn)得 a 2 -2c 2 =0 e = =c c a 28.設(shè) f ，f 分別是雙曲線x 2 y 2- =1 的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn) a，使f af =90o， a2 b2且|af |=3|af |，設(shè)|af |=1，|af |=3，雙曲線中 2a =| af | -| af |=2 ，1 22c = | af |2 +| af |2 = 10 ，離心率 e =1 2102，選 b。1 21 21 29.雙曲線x 2 y 2-