第14講 中位線及其應用

1、第十四講 中位線及其應用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中 點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應 用例 1 如圖 2-53 所示abc 中，adbc 于 d，e，f，abc 的面積分析 由條件知，ef，eg 分別是三角形 abd 和三角形 abc 的中位線利 用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關系，不難求出abc 的高 ad 及 底邊 bc 的長解 由已知，e，f 分別是 ab，bd 的中點，所以，ef 是abd 的一條 中位線，所以由條件 ad+ef=12(厘米)得ef=4(厘米)，從而 ad=8(厘米)，由于 e，g 分別是 ab，ac

2、 的中點，所以 eg 是abc 的一條中位線，所以bc=2eg=26=12(厘米)，顯然，ad 是 bc 上的高，所以例 2 如圖 2-54 所示abc 中，b，c 的平分線 be，cf 相交于 o，agbe 于 g，ahcf 于 h(1) 求證：ghbc；(2) 若 ab=9 厘米，ac=14 厘米，bc=18 厘米，求 gh分析 若延長 ag，設延長線交 bc 于 m由角平分線的對稱性可以證明 abgmbg，從而 g 是 am 的中點；同樣，延長 ah 交 bc 于 n，h 是 an 的中點，從而 gh 就是amn 的中位線，所以 ghbc，進而，利用abc 的三邊長可求出 gh 的長度(

3、1)證 分別延長 ag，ah 交 bc 于 m，n，在abm 中，由已知，bg 平 分abm，bgam，所以abgmbg(asa)從而，g 是 am 的中點同理可證achnch(asa)，從而，h 是 an 的中點所以 gh 是amn 的中位線，從而，hgmn， 即hgbc(2)解 由(1)知，abgmbg 及ach nch，所以ab=bm=9 厘米，ac=cn=14 厘米又 bc=18 厘米，所以bn=bc-cn=18-14=4(厘米)，mc=bc-bm=18-9=9(厘米)從而mn=18-4-9=5(厘米)，說明 (1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分 線三線合一(即等

4、腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定 理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平 分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三 角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形， 這條平分線垂直于對邊”同學們不妨自己證明(3) 從本題的證明過程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“b，c 的平 分線”改為“b(或c)及c(或b)的外角平分線”(如圖 2-55 所示)， 或改為“b，c 的外角平分線”(如圖 2-56 所示)，其余條件不變，那 么，結(jié)論 ghbc 仍然成立同學們也不妨試證例 3

5、如圖 2-57 所示p 是矩形 abcd 內(nèi)的一點，四邊形 bcpq 是平行 四邊形，a，b，c，d分別是 ap，pb，bq，qa 的中點求證：a c=bd分析 由于 a，b，c，d分別是四邊形 apbq 的四條邊 ap，pb， bq，qa 的中點，有經(jīng)驗的同學知道 abcd是平行四邊形，ac 與 bd則是它的對角線，從而四邊形 abcd應該是矩形利用 abcd 是矩形的條件，不難證明這一點證 連接 ab，bc，cd，da，這四條線段依次是apb， bpq，aqb，apq 的中位線從而abab，bcpq，cdab，dapq，所以，abcd是平行四邊形由于 abcd 是矩形，pcbq 是平行 四

6、邊形，所以abbc，bcpq從而abpq，所以 abbc，所以四邊形 abcd是矩形，所以ac=bd 說明 在解題過程中，人們的經(jīng)驗?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴 大已知的作用如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊 形”這個經(jīng)驗，對尋求思路起了不小的作用因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng) 驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的例 4 如圖 2-58 所示在四邊形 abcd 中，cdab，e，f 分別是 ac， bd 的中點求證：分析 在多邊形的不等關系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線，為此，取 ad 中點證 取 ad 中點 g，連接 eg，fg，在acd 中，eg

7、是它的中位線(已知 e 是 ac 的中點)，所以同理，由 f，g 分別是 bd 和 ad 的中點，從而，fg 是abd 的中位線，所以在efg 中，efeg-fg 由，例 5 如圖 2-59 所示梯形 abcd 中，abcd，e為 bc 的中點，ad=dc+ab求 證：deae分析 本題等價于證明aed 是直角三角形，其中aed=90在 e 點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發(fā)下，添梯形 的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形 aed 的斜邊(即 梯形另一腰)的一半，則問題獲解證 取梯形另一腰 ad 的中點 f，連接 ef，則 ef 是梯形 abcd 的中位線， 所以因

8、為 ad=ab+cd，所以從而1=2，3=4，所以2+3=1+4=90(ade 的內(nèi)角和等于 180)從而aed=2+3=90，所以 deae例 6 如圖 2-60 所示abc 外一條直線 l，d，e，f 分別是三邊的中 點，aa ，ff ，dd ，ee 都垂直 l 于 a ，f ，d ，e 求證：11111111aa +ee =ff +dd 1111分析 顯然 adef 是平行四邊形，對角線的交點 o 平分這兩條對角線， oo 恰是兩個梯形的公共中位線利用中位線定理可證1證 連接 ef，ea，ed由中位線定理知，efad，deaf，所以 adef 是平行四邊形，它的對角線 ae，df 互相平

9、分，設它們交于 o，作 oo l于 o ，則 oo 是梯形 aa e e 及 ff d d 的公共中位線，所以1111111即 aa +ee =ff +dd 1111練習十四1 已知abc 中，d 為 ab 的中點，e 為 ac 上一點，ae=2ce，cd，be 交于 o 點，oe=2 厘米求 bo 的長2 已知abc 中，bd，ce 分別是abc，acb 的平分線，ahbd 于 h，afce 于 f若 ab=14 厘米，ac=8 厘米，bc=18 厘米，求 fh 的長3 已知在abc 中，abac，adbc 于 d，e，f，g 分別是 ab，bc， ac 的中點求證：bfe=egd4 如圖 2-61 所示在四邊形 abcd 中，ad=bc，e，f 分別是 cd，ab 的中點，延長 ad，bc，分別交 fe 的延長線于 h，g求證：ahf=bgf5 在abc 中，ahbc 于 h，d，e，f 分別是 b