3.對一道困擾力學(xué)界30多年習(xí)題的思考

1、對一道困擾力學(xué)界30多年習(xí)題的思考 李學(xué)生 （山東大學(xué)物理學(xué)院 山東濟(jì)南 250100）摘要：分析了關(guān)于外勢能的彈性勢能機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對性原理，也具有單獨(dú)的協(xié)變性，彈性勢能不具有伽利略不變性，解決了關(guān)于這個(gè)問題的爭論關(guān)鍵詞：輕質(zhì)彈簧；伽利略不變性；力學(xué)相對性原理；機(jī)械能守恒中圖分類號(hào)：O 313。1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A參考文獻(xiàn)129都有這樣一個(gè)題目：一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動(dòng)試問在一沿此彈簧長度方向以速度u相對于作勻速運(yùn)動(dòng)的參考系里觀察，此體系的機(jī)械能是否守恒，并說明理由。解：假設(shè)地球質(zhì)量為

2、充分大，忽略地球能量的變化，按照外場計(jì)算，此時(shí)一個(gè)保守力的功等于質(zhì)點(diǎn)勢能的減少。在地面參照系上觀察時(shí)，小球的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右的直線ox為x軸，建立直線坐標(biāo)系如圖1所示。小 車u v 墻Fo圖1 彈簧振子機(jī)械能守恒問題光滑水平地面xmx當(dāng)t=0時(shí)刻，將小球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動(dòng)，則小球的位移為：x=Acos(t)，其中2=k/m，k=m2。設(shè)小球的速度為v，加速度為a，受到的力為f，動(dòng)能為Ek(t)，勢能為Ep(t)，機(jī)械能為E(t)則有：v = -Asin(t)，a = -2Acos(t)，f=ma=-m2Acos(t)=-kx。Ek(t) =mv2 =m-Asi

3、n(t)2=m2A2sin2(t) =kA2sin2(t)。 （1）dEp(t)=-f dx=kxdx=d，Ep(t)=kx2+C。將初始條件t=0時(shí)，x=A，Ep(0) =kA2，代入上式得：kA2 = Ep(0) =kA2+C，C=0，Ep(t) =kx2+C =kx2+0 =kA2cos2(t)。（2）E(t)=Ep(t)+Ek(t)=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) =kA2=常數(shù)。 （3）設(shè)地面參照系和沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運(yùn)動(dòng)的參考系（設(shè)為小車，見圖1）剛開始相對運(yùn)動(dòng)時(shí)完全重合，開始相對運(yùn)動(dòng)后，當(dāng)t=0時(shí)刻，將小球向右拉至最大振幅并放手，使之做簡諧振動(dòng)。設(shè)在小車

4、參照系上觀察時(shí)，小球的位移、速度、加速度、受到的力、動(dòng)能、勢能、機(jī)械能分別為x1，v1，a1，f1，E1k(t)，E1p(t)，E1(t)則有：x1=x-ut=Acos(t)-ut，v1=-Asin(t)-u，a1= -2Acos(t)=a，f1=ma1=ma=-m2Acos(t)=-kx（說明：f1-kx1，如果把胡克定律表示為彈力的大小與形變大小成正比，方向與形變的方向相反，那么胡克定律適用于所有慣性系，但此時(shí)形變大小不是位移）。E1k(t) =m=m-Asin(t)-u2=m2A2sin2(t)+2uAsin(t)+u2=kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2。 （4）文獻(xiàn)2

5、6證明了力的保守性具有伽利略變換的不變性，因此在小車系質(zhì)點(diǎn)受到的彈力也是一個(gè)保守力。所以dE1p(t)=- f1dx1=kxd(x-ut)=kxdx-kuAcos(t)dt=d，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C將初始條件t=0時(shí)x1=x=A，E1p(0)=Ep(0) =kA2，代入上式得：kA2 = E1p(0) =kA2-muAsin(0)+C，C=0，E1p(t) =kx2-muAsin(t)+C=kx2-muAsin(t)+0 =kx2-muAsin(t) = -muAsin(t) （5）因此勢能是時(shí)間t的一元函數(shù)。E1(t)=E1p(t)+E1k(t)=kx2-muAsi

6、n(t) +kA2sin2(t)+muAsin(t) +mu2=kA2cos2(t) +kA2sin2(t) +mu2=kA2+mu2=常數(shù)。 （6）所以在小車參照系上觀察時(shí)，彈簧振子體系的機(jī)械能仍然守恒，守恒值為kA2+mu2。當(dāng)u=0時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)系重合，守恒值相等。從上述推導(dǎo)可以看出兩點(diǎn)：當(dāng)u0，只有t=n，nN時(shí)才有：Ep(t)=Ep1 (t)；當(dāng)u=0時(shí)，二者顯然相等，這也符合玻爾的對應(yīng)原理。經(jīng)典彈性勢能公式的局限性分析：小車系測量的質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能為Ep(t)=-muAsin(t)=kx2-muAsin(t)=m2x2-muAsin(t)，可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能與質(zhì)量成正比，符合質(zhì)能方程

7、的要求。參考系相對于地面變速運(yùn)動(dòng)也可以得出一個(gè)勢能公式，但是此時(shí)需要增加一個(gè)慣性力，文獻(xiàn)30證明了慣性力也是一個(gè)保守力，機(jī)械能也守恒，在此從略），沒有否定經(jīng)典的彈性勢能公式，原來的公式只是一個(gè)特例觀察者在彈簧彈力方向上沒有位移或者說分速度為0（相對于固定點(diǎn)靜止或者垂直于彈力方向上勻速運(yùn)動(dòng)），不能認(rèn)為彈性勢能對于所有的觀察者都相同，需要根據(jù)“物體的勢能增加量等于物體克服保守力做的功”重新計(jì)算，當(dāng)觀察者在力的方向上分速度不相等時(shí)，計(jì)算保守力做的功不相等，因此勢能差也應(yīng)該不相等，這說明彈性勢能和重力勢能一樣具有相對性。單獨(dú)的場具有不變的物理意義，而單獨(dú)的勢不具有不變的物理意義。勢的客觀性是通過其整體

8、性來體現(xiàn)的（表現(xiàn)為只有相對值）。一個(gè)一維彈簧振子的哈密頓量，正則方程為:，其中即動(dòng)量的定義，而是一維簡諧振子的牛頓方程；一般情況下，哈密頓正則方程組的第一個(gè)方程是牛頓方程，第二個(gè)方程是動(dòng)量的定義。如果堅(jiān)持Ep =kx2適用于所有情況，由于彈簧的形變是伽利略變換不變量，因此部分文章堅(jiān)持認(rèn)為彈性勢能差對于不同的觀察者不變，才出現(xiàn)了機(jī)械能不守恒的錯(cuò)誤結(jié)論，為了解釋這個(gè)問題人們提出了機(jī)械能守恒定律可以不滿足力學(xué)相對性原理或者滿足力學(xué)相對性原理，但不具有單獨(dú)協(xié)變性的錯(cuò)誤的理論。也有人在功能原理中直接去掉外勢能的概念，認(rèn)為引入外勢能們沒有必要。任何真理都有一定的適用范圍，例如經(jīng)典流體力學(xué)中阿基米德原理適用

9、于全部或部分浸入靜止流體的物體，要求物體下表面必須與流體接觸。如果物體的下表面并未全部同流體接觸，例如被水浸沒的橋墩、插入海底的沉船、打入湖底的樁子等，在這類情況下，此時(shí)水的作用力并不等于原理中所規(guī)定的力。如果水相對于物體有明顯的流動(dòng)，此原理也不適用（需要利用伯努利方程）。魚在水中游動(dòng)，由于周圍的水受到擾動(dòng)，用阿基米德原理算出的力只是部分值，這些要考慮流體動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。水翼船受到遠(yuǎn)大于浮力的舉力就是動(dòng)力學(xué)效應(yīng)，所循規(guī)律與靜力學(xué)有所不同。胡克定律F=-kx，在這里是實(shí)數(shù)與矢量（向量）的積，x是彈簧的形變，是一維矢量，彈性勢能應(yīng)該是dEp =-kxdx1，在這里是數(shù)量積（標(biāo)量積），當(dāng)觀察者在彈力方向

10、上的分速度為0時(shí)，x= x1，便得出了Ep =kx2；當(dāng)觀察者在彈力方向上的分速度不為為0時(shí)不是始終相等的，如果此時(shí)利用dEp1=-kx1dx1計(jì)算彈性勢能就錯(cuò)了，這樣計(jì)算力就不是伽利略變換的不變量了。文獻(xiàn)6和1418的解法與答案與本文相同。下面利用反證法說明考慮墻壁的作用力，勁度系數(shù)依然按照k計(jì)算的錯(cuò)誤假設(shè)墻壁的作用力單獨(dú)改變振子的機(jī)械能，與振子的作用力一樣，根據(jù)對稱性原理，必然改變彈簧的形變，那么彈簧的形變就不再是伽利略變換的不變量，以彈簧的伸長為例，如果考慮墻壁的作用，當(dāng)振子運(yùn)動(dòng)到最大位移處，振子對于彈簧的拉力F=kA.對于小車系，測量的力也是F=kA，墻壁的拉力是F1=-kA，如果此時(shí)

11、勁度系數(shù)依然按照k計(jì)算，此時(shí)彈簧的形變?yōu)?A，這樣彈簧的形變就不是伽利略變換不變量，顯然是錯(cuò)誤的.文獻(xiàn)31分析了功的三種定義方式是一致的，本質(zhì)上在于如何認(rèn)識(shí)力的作用點(diǎn)的問題，功是質(zhì)點(diǎn)與所受力的數(shù)量積，墻壁不能對沒有質(zhì)量的彈簧做功。質(zhì)點(diǎn)的勢能無法對外界直接做功，只有將質(zhì)點(diǎn)的勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，才能對外界直接做功。文獻(xiàn)32給出了彈性勢能的概念，只要質(zhì)點(diǎn)受到保守力彈力就具有彈性勢能，因此彈簧振子問題中是質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能，而不是彈簧的彈性勢能1516。在彈簧振子問題中彈力雖然是接觸力，但是力源不是研究對象，仍然按超距力處理。主要結(jié)論彈性勢能的機(jī)械能守恒定律具有伽利略變換的不變性，內(nèi)勢能差是伽利略變換的不變量

12、，外勢能差不是伽利略變換不變量33。參考文獻(xiàn)：1高炳坤.力學(xué)中一個(gè)令人費(fèi)解的問題J.大學(xué)物理.1995（5）：2024.2李光惠，高炳坤.對“力學(xué)中一個(gè)令人費(fèi)解的問題”的補(bǔ)充.1996（10）：4445.3趙凱華，羅蔚茵新概念物理教程 力學(xué)M北京：高等教育出版社，2000：1244高炳坤能量追蹤J大學(xué)物理，2001（3）：15165高炳坤.一個(gè)保守力做的功等于勢能的減少嗎J.大學(xué)物理，2001（5）： 1920.6劉明成，劉文芳，趙文桐彈力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立J物理通報(bào)，2015(12)：1091117蔡伯濂.關(guān)于講授功和能的幾個(gè)問題.工科物理教學(xué)，1981（1），713.8王立、張

13、成華.機(jī)械能守恒定律具有伽利略變換不變性.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004.3.9鄭金對一道物理競賽題的兩種互異解答的探討J物理通報(bào)，2015(7)：10911210裴永偉，籍延坤，吳振聲.物理規(guī)律的協(xié)變性與可變性.沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，（17）4，100104.11李興毅，陳建，趙佩章，趙文桐.伽利略變換的物理意義.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002（2）3942.12鄭永令，力學(xué)（2004年1月第2次印刷）：194頁. 13袁芳，朱炯明.功、動(dòng)能和機(jī)械能.物理教學(xué)，2012（12）:510.14馮偉.機(jī)械能守恒定律與參照系對力學(xué)中一個(gè)問題的討論.承德民族師專學(xué)報(bào)，1986(

14、4): 7374.15李學(xué)生，師教民.對一道中學(xué)生物理競賽試題答案的商榷. 物理通報(bào)，2014（9）：119120.16劉一貫.關(guān)于機(jī)械能守恒定律的協(xié)變性.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1985（1）：155157.17劉敏，孫皆宜.再論機(jī)械能守恒.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005（5）：26，34.18趙志棟，陳光紅.輕彈簧之“困境”.物理通報(bào)，2016（5）：98101.19唐龍.例說能量的系統(tǒng)性和相對性.物理教師，2016（6）：1819.20蔡伯濂.關(guān)于講授功和能的幾個(gè)問題J工科物理教學(xué)，1981(1)，71321冉婷，余杰，蘭小剛.慣性參照系的選擇與機(jī)械能守恒.物理教學(xué)探討，2017(

15、9).22易雙萍.不同慣性系中的力學(xué)規(guī)律.工科物理（現(xiàn)名：物理與工程），1998年第8卷第5期：1822.23趙堅(jiān).關(guān)于與機(jī)械能守恒相關(guān)的一些問題的探討.物理教師，2019，40（5）：6265.24楊習(xí)志，趙堅(jiān).關(guān)于機(jī)械能守恒定律是否滿足相對性原理的探討.物理教師，第41卷第5期，2020（5）：6567,72.25葉邦角.機(jī)械能守恒定律協(xié)變性疑難講義J.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院力學(xué)教學(xué)組教學(xué)研討會(huì)，2020.26孟昭輝.運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解題的參照系問題對“一道中學(xué)生物理競賽試題答案的商榷”一文的不同意見.物理教師，2015年（2）:94.27朱如曾.彈簧振子相對于運(yùn)動(dòng)慣性系的機(jī)械能不守恒

16、關(guān)于對一道中學(xué)生物理競賽試題答案的商榷的商榷J物理通報(bào)，2015(4)：10010328朱如曾.力場與時(shí)間有關(guān)系統(tǒng)的功能定理及其應(yīng)用.大學(xué)物理，2016（10）：1116.29趙凱華.澄清對相對性原理和協(xié)變性的誤解.大學(xué)物理，2020年1月：1213.30李學(xué)生.力的保守性具有伽利略變換的不變性.魅力中國，2020年9月：318319.31李學(xué)生.正確理解功的定義.中國高新科技，2020年11月（下），2020年第22期，總第82期：145147.32李學(xué)生.正確理解彈性勢能的概念.中國科技縱橫，總第332期，2020年04（下）：237238.33劉明成，李學(xué)生.勢能屬于系統(tǒng)的局限性. Re

17、flections on the Exercise of Over 30 YearsTroubling the Mechanics CircleLi Xuesheng (School of Physics，Shandong University，Jinan， Shandong 250100)Abstract: The article analyzed mechanical energy conservation of elastic potential of external potential satisfying mechanical relativity fundamental and possessing