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1、由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線,三線合一試試看。、截取構(gòu)全等/ BCD,點(diǎn)如圖 1-2 , AB/CD , BE 平分 / ABC , CE 平分BE 在 AD 上,求證:BC=AB+C DF圖1-2E例 2. 已知:如圖 1-3 , AB=2AC , Z BAD= Z CAD , DA=D B 求證 DC 丄 ACAf DB圖1-3例3.AC=CD已知:如圖1-4,在 ABC 中,Z C=2 Z B,AD 平分 Z BAC ,AB-C BD圖 1-4D(二)、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)
2、全等例 1 .如圖 2-1,已知 ABAD, Z BAC= Z FAC,CD=B。求證:Z ADC+ Z B=180圖2-1,AB=AC , Z ABD= Z CBD。例 2.如圖 2-2,在 ABC 中,Z A=90求證:BC=AB+ADE圖2-2BM、CN相交于點(diǎn)AP。求證:ZBACND例3.已知如圖2-3 , ABC的角平分線 的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。PB圖2-3(三):作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形/ / 1 例1 已知:如圖 3-1 , Z BAD= Z DAC , ABAC,CD丄AD于 D H是BC中點(diǎn)1 A求證:DH= (AB-AC )2EHB圖示 3-1F例 2.已知:如圖 3-
3、2 , AB=AC , Z BAC=90 , AD 為ABC的平分線,CE丄BE.求證:BD=2C EA圖3-4例3已知:如圖3-3在厶ABC中,AD、AE分別Z BAC的內(nèi)、外角平分線,過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。A/ / 1M求證:AM=M。*BDECFN圖3-3例4.已知:如圖 3-4,在厶ABC中,AD 平分 Z BAC , AD=AB , CM 丄 AD 交 AD(AB+AC )1延長(zhǎng)線于M求證:AM=2(四)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線E圖4-1B圖4-2A1 D2如圖,ABAC, Z 1 = Z 2,求證:AB - ACBDBD如圖,
4、BCBA ,D例6女口圖,AB / CD, AE、DE分別平分Z BAD各Z ADE,求證:AD=A練習(xí):1.已知,如圖,Z C=2 Z A, AC=2BC。求證: ABC是直角三角形2 已知:如圖,AB=2AC , Z 1 = Z 2,3 已知C E、AD是厶ABC的角平分線,Z B=60BDC求證:D4 已知:如圖在 ABC中,Z A=90BC=AB+AD亠、由線段和差想到的輔助線例1、 已知如圖1-1 : D、E為厶ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AOBD+DE+CE.BC圖BC圖1 11 2GDEF例如:如圖 2-1 :已知DABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:Z BDC Z BAC。BFC圖2 1CB
5、 D圖3 1例 1 如圖,AC 平分 / BAD , CE 丄 AB,且 / B+ Z D=180 ,求證: AE=AD+B。例2如圖,在四邊形 ABCD中,AC平分Z BAD , CE丄AB于 E, AD+AB=2A ,求證:Z ADC+ Z B=180o/ CAE BABC 中,AB=AC ,A=108 , BD 平分 ABC例3已知:如圖,等腰三角形求證:BC=AB+D CM例4如圖,已知 Rt ABC中,Z ACB=90 , AD是Z CAB的平分線, DM丄AB1于 M 且 AM=M。求證:CD=2DB 1 如圖,AB / CD, AE、C DBDE分別平分ZoDE1、由中點(diǎn)想到的輔
6、助線口訣:三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中,如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn),那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)(直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)),然后通過(guò)探索,找到解決問(wèn)題的方法。(一)、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1,AD 是 ABC 的中線,貝 U Sa abd=S a ACD= Sa ABC (因?yàn)?ABD 與 ACD是等底同高的)出2例1 如圖2,A ABC中,AD是中線,延長(zhǎng) AD至U E,使 DE=AD,DF是 A DCE的中線。已知 A ABC的面積為2,求:A CDF
7、的面積(二)、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3,在四邊形 ABCD中,AB=CD , E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn),BA、CD的延長(zhǎng)線分別交 EF的延長(zhǎng)線G H。求證:Z BGE= Z CHE。(三)、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4,已知 ABC中,AB=5 , AC=3,連BC上的中線 AD=2,求BC的長(zhǎng)例4如圖5,已知 ABC中,AD是Z BAC的平分線, AD又是BC邊上的中線。求證: ABC是等腰三角形(四)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6,已知梯形 ABCD中,AB/DC , AC丄BC , AD丄BD,求證:AC=BD(五)、角平分線且垂直一線段,應(yīng)想到等腰三角形的中
8、線例6如圖7, ABC是等腰直角三角形,Z BAC=9 0 , BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證:BD=2C E(六)中線延長(zhǎng)口訣:三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,常延長(zhǎng)加倍此線段,再將端點(diǎn)連結(jié),便可得到全等三角形。例一:如圖4-1 : AD ABC的中線,且Z2,Z 3= Z 4,求證:BE+CFE。14M圖41作等腰直角三角形,如圖5-2,求證EF=2ADAD例二:如圖5-1 : AD ABC的中線,求證:AB+AC2練習(xí):1如圖,AB=6 , AC=8 , D為BC的中點(diǎn),求 AD的取值范圍如圖,AB=CD ,
9、E為BC的中點(diǎn),BOBD如圖,AB=AC,AD=AE,ED D已知 ABC , AD是BC邊上的中線,分別以DAB邊、AC邊為直角邊各向外5 .已知:如圖AD為厶ABC的中線,BF=ACFCBD四、全等三角形輔助線找全等三角形的方法:(1 )可以從結(jié)論出發(fā),看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個(gè)可 能全等的三角形中;(2)可以從已知條件出發(fā),看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等;(3 )從條件和結(jié)論綜合考慮,看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等;(4)若上述方法均不行,可考慮添加輔助線,構(gòu)造全等三角形。三角形中常見(jiàn)輔助線的作法: 延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形; 利用翻折,構(gòu)造全等三角形; 引平行線構(gòu)造
10、全等三角形; 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種:1)遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用 “三線合一”的性質(zhì)解題, 思維模式是全等變換中的“對(duì)折”.2)遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)3)遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用 的思維模式是三角形全等變換中的對(duì)折”,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì) 定理或逆定理.4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將
11、某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明.這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法:在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái),利用三角形面積的知識(shí)解答.(一)、倍長(zhǎng)中線(線段)造全等1 :( “希望杯”試題)已知,如圖 ABC中,AB=5,AC=3,貝忡線 AD的取值范圍是 /AJT/ / / JFf1/1BD C2 :如圖, ABC中,E、F分別在 AB、AC上,DE丄DF,D是中點(diǎn),試比較 B E+CF與EF的大小./ A / / E FBCD3 :如圖, ABC中,BD=DC=A QE是 DC的中點(diǎn),求證:AD平分/ BAE./1X中考應(yīng)用Rt ABD和等(09崇文二模)以 ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰腰Rt CE,BAD =zCAE =90勺連接DE, M N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是(2)將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0 AC, Z 1 = PB-PC;AB-ACi4
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