輔助線練習(xí)題含答案.doc

1、由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。、截取構(gòu)全等/ BCD，點(diǎn)如圖 1-2 , AB/CD , BE 平分 / ABC , CE 平分BE 在 AD 上，求證：BC=AB+C DF圖1-2E例 2. 已知：如圖 1-3 , AB=2AC , Z BAD= Z CAD , DA=D B 求證 DC 丄 ACAf DB圖1-3例3.AC=CD已知：如圖1-4，在 ABC 中，Z C=2 Z B,AD 平分 Z BAC ,AB-C BD圖 1-4D（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)

2、全等例 1 .如圖 2-1，已知 ABAD, Z BAC= Z FAC,CD=B。求證：Z ADC+ Z B=180圖2-1,AB=AC , Z ABD= Z CBD。例 2.如圖 2-2，在 ABC 中，Z A=90求證：BC=AB+ADE圖2-2BM、CN相交于點(diǎn)AP。求證：ZBACND例3.已知如圖2-3 , ABC的角平分線 的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。PB圖2-3（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形/ / 1 例1 已知：如圖 3-1 , Z BAD= Z DAC , ABAC,CD丄AD于 D H是BC中點(diǎn)1 A求證：DH= （AB-AC ）2EHB圖示 3-1F例 2.已知：如圖 3-

3、2 , AB=AC , Z BAC=90 , AD 為ABC的平分線，CE丄BE.求證：BD=2C EA圖3-4例3已知：如圖3-3在厶ABC中，AD、AE分別Z BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。A/ / 1M求證：AM=M。*BDECFN圖3-3例4.已知：如圖 3-4,在厶ABC中，AD 平分 Z BAC , AD=AB , CM 丄 AD 交 AD(AB+AC )1延長(zhǎng)線于M求證：AM=2（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線E圖4-1B圖4-2A1 D2如圖，ABAC, Z 1 = Z 2，求證：AB - ACBDBD如圖，

4、BCBA ,D例6女口圖，AB / CD, AE、DE分別平分Z BAD各Z ADE，求證：AD=A練習(xí)：1.已知，如圖，Z C=2 Z A, AC=2BC。求證： ABC是直角三角形2 已知：如圖，AB=2AC , Z 1 = Z 2,3 已知C E、AD是厶ABC的角平分線，Z B=60BDC求證:D4 已知：如圖在 ABC中，Z A=90BC=AB+AD亠、由線段和差想到的輔助線例1、 已知如圖1-1 : D、E為厶ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AOBD+DE+CE.BC圖BC圖1 11 2GDEF例如：如圖 2-1 :已知DABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：Z BDC Z BAC。BFC圖2 1CB

5、 D圖3 1例 1 如圖，AC 平分 / BAD , CE 丄 AB，且 / B+ Z D=180 ，求證： AE=AD+B。例2如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分Z BAD , CE丄AB于 E, AD+AB=2A ,求證：Z ADC+ Z B=180o/ CAE BABC 中，AB=AC ,A=108 , BD 平分 ABC例3已知：如圖，等腰三角形求證：BC=AB+D CM例4如圖，已知 Rt ABC中，Z ACB=90 , AD是Z CAB的平分線， DM丄AB1于 M 且 AM=M。求證：CD=2DB 1 如圖，AB / CD, AE、C DBDE分別平分ZoDE1、由中點(diǎn)想到的輔

6、助線口訣:三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1，AD 是 ABC 的中線，貝 U Sa abd=S a ACD= Sa ABC （因?yàn)?ABD 與 ACD是等底同高的）出2例1 如圖2，A ABC中，AD是中線，延長(zhǎng) AD至U E,使 DE=AD，DF是 A DCE的中線。已知 A ABC的面積為2,求：A CDF

7、的面積（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形 ABCD中，AB=CD , E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交 EF的延長(zhǎng)線G H。求證：Z BGE= Z CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4，已知 ABC中，AB=5 , AC=3，連BC上的中線 AD=2，求BC的長(zhǎng)例4如圖5,已知 ABC中，AD是Z BAC的平分線， AD又是BC邊上的中線。求證： ABC是等腰三角形（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形 ABCD中，AB/DC , AC丄BC , AD丄BD，求證：AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中

8、線例6如圖7, ABC是等腰直角三角形，Z BAC=9 0 , BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證：BD=2C E（六）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1 : AD ABC的中線，且Z2，Z 3= Z 4，求證：BE+CFE。14M圖41作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2ADAD例二：如圖5-1 : AD ABC的中線，求證:AB+AC2練習(xí)：1如圖，AB=6 , AC=8 , D為BC的中點(diǎn)，求 AD的取值范圍如圖，AB=CD ,

9、E為BC的中點(diǎn)，BOBD如圖，AB=AC，AD=AE，ED D已知 ABC , AD是BC邊上的中線，分別以DAB邊、AC邊為直角邊各向外5 .已知：如圖AD為厶ABC的中線,BF=ACFCBD四、全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1 ）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可 能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；（3 ）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造

10、全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用 “三線合一”的性質(zhì)解題, 思維模式是全等變換中的“對(duì)折”.2）遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì) 定理或逆定理.4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將

11、某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答.（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1 :（ “希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5，AC=3，貝忡線 AD的取值范圍是 /AJT/ / / JFf1/1BD C2 :如圖， ABC中，E、F分別在 AB、AC上，DE丄DF，D是中點(diǎn)，試比較 B E+CF與EF的大小./ A / / E FBCD3 :如圖， ABC中，BD=DC=A QE是 DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/ BAE./1X中考應(yīng)用Rt ABD和等(09崇文二模)以 ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰腰Rt CE，BAD =zCAE =90勺連接DE, M N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究:AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是(2)將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0 AC, Z 1 = PB-PC;AB-ACi4