不等式證明的若干種方法畢業(yè)論文

1、本科生畢業(yè)論文題目 不等式證明的若干種方法 院 系 數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2013 年5 月 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文、創(chuàng)作）聲明本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)設(shè)計，是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下，進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本設(shè)計的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本設(shè)計創(chuàng)作聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 作者簽名： 年 月 日 本人聲明：該畢業(yè)設(shè)計是本人指導(dǎo)學(xué)生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過畢業(yè)設(shè)計的全部內(nèi)容，保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準確性，并通過一定

2、檢測手段保證畢業(yè)設(shè)計未發(fā)現(xiàn)違背學(xué)術(shù)道德誠信的不端行為。 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日不等式證明的若干種方法高銀梅（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 2009級）摘要：無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，不等式都是十分重要的內(nèi)容。而不等式的證明則是不等式知識的重要組成部分。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法。在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、綜合法、分析法、換元法、增量代換法、反證法、放縮發(fā)、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法等等。在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)以及一些著名不等式，如：柯西不等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫爾德不等式等等。從而使不等式

3、的證明方法更加完善，有利于我們進一步探討和研究不等式的證明。通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。關(guān)鍵詞：不等式，證明方法，常用，特殊 abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content. inequality and the proof is an important part of knowledge. in this article, i

4、summarized some mathematical proof of the method of inequality. inequality in elementary mathematics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathematical induc

5、tion, discriminant method and so on. inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, taylor formula, lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, jensens inequality, inequality schwartz, held, and so on. so that the inequality proof method

6、 more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof. by studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thinking.keywo

7、rds: inequality, the proof method, commonly used, special目錄1 前言62 利用常用方法證明不等式72.1 比較法72.2綜合法72.3分析法82.4換元法82.5增量代換法82.6反證法92.7放縮法92.8構(gòu)造法102.9數(shù)學(xué)歸納法102.10判別式法。112.11導(dǎo)數(shù)法112.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式122.13向量法122.14利用定積分性質(zhì)證明不等式133 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式144 利用柯西不等式證明155 利用均值不等式證明166 利用施瓦茨不等式證明177 利用中值定理法證明不等式187.1 拉格朗日中值定理：1

8、87.2積分第一中值定理：188 利用詹森不等式證明19致謝20參考文獻211 前言不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大，所以怎樣區(qū)分題目類型，弄清每種證明方法所適用的題型范圍，是學(xué)生掌握不等式證明的關(guān)鍵所在。解決這個問題的途徑在于熟練掌握不等式的性質(zhì)和一些基本的不等式，靈活運用常用和特殊的證明方法。不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技

9、巧性強，它不僅能夠檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個重要標志。2 利用常用方法證明不等式2.1 比較法所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)與的差或商的符號（范圍）確定與大小關(guān)系的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。即通過“，(為作差法)或，(為作商法)?！眮泶_定，大小關(guān)系的方法。例 已知：，求證：.分析：兩個多項式的大小比較可用作差法證明 ，故得 . 故原不等式成立。例 設(shè)，求證：.分析：對于含有冪指數(shù)類的用作商法證明 因為 ，所以 ，.而 ，故 故原不等式成立。2.2綜合法綜合法就是從已知式證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出欲證的不等式，通過一系列已確定的命題（包

10、含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。例 已知且 求證： 證： 所以兩邊同時乘 得即故原不等式成立。2.3分析法從求證的不等式出發(fā)分析不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個不等式成立的條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以判定這個不等式成立，這種證明方法叫做分析法。例 求證： 證即：因為 因為為了證明原不等式成立，只需證明即 即 即 故原不等式成立。2.4換元法換元法實質(zhì)上就是變量代換法，即對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達到化難為易的目的。例 1x證明：1x0，1x1，故可設(shè)x = c

11、os，其中0則x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x故原不等式成立。2.5增量代換法在對稱式(任意互換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如abc)的不等式，常用增量進行代換，代換的目的是減少變量的個數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡。例 已知a，br，且ab = 1，求證：(a2)(b2)證明：a，br，且ab = 1，設(shè)a =t，b=t， (tr)則(a2)(b2)= (t2)(t2)= (t)(t)= 2t(a2)(b2)故原不等式成立。2.6反證法反證法的原理是：否定之否定等于肯定。反證法的思路是“假設(shè)矛盾肯定”，采用反證法時

12、，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。例 已知 求證 ： 證：假設(shè)成立則即 由此得，這是不可能的，得出矛盾。 故原不等式成立。2.7放縮法放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做放縮法。例 求證： 證：有所以 故原不等式成立。2.8構(gòu)造法構(gòu)造法是通過類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理的構(gòu)造函數(shù)模型，從而使問題迎刃而解。過程簡單，一目了然。例 已知三角形abc的三邊長是a,b,c,且m為正數(shù)，求證：. 證明：設(shè)顯然函數(shù)在是增函數(shù)。a,b,c是三角形abc的三邊長.，即，又.故原不等式成立。2.9數(shù)學(xué)歸納法證

13、明有關(guān)自然數(shù)的不等式，可以采用數(shù)學(xué)歸納法來證明。1. 驗證取第一個數(shù)值時，不等式成立，2.假設(shè)取某一自然數(shù)時，不等式成立。（歸納假設(shè)），由此推演出取時，此不等式成立。例 求證： 證：（1）當(dāng)時，左邊=1，右邊=2不等式顯然成立。 （2）假設(shè)時，則時， 左邊 = = 時不等式也成立.故原不等式成立。2.10判別式法。判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，函數(shù)解集的性質(zhì)等特征來確定判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。例 設(shè) ， 求證：證：因為 的系數(shù)為 ， 故原不等式成立。2.11導(dǎo)數(shù)法當(dāng)屬于某個區(qū)間，有，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.推廣之，若

14、證，只須證及即可.例 證明不等 ，證明 設(shè)則故當(dāng)時，遞增；當(dāng)遞減.則當(dāng)時， 從而證得 故原不等式成立。2.12利用冪級數(shù)展開式證明不等式例 當(dāng)，證明.證明：因，分別可寫成冪級數(shù)展開式：=,;=,.則要證不等式左邊的一般項為，右邊的一般項為，因此當(dāng)，有.所以，.故原不等式成立。2.13向量法利用向量的數(shù)量積及不等式關(guān)系例 已知a、b、c都是正實數(shù)，求證證明：設(shè)，則故原不等式成立。2.14利用定積分性質(zhì)證明不等式對可積函數(shù)，若，則例 證明：證明 當(dāng)時，則，因在（1,2）上均為連續(xù)函數(shù)。則在（1,2）均可導(dǎo)，由定積分性質(zhì)可知故原不等式成立。3 利用函數(shù)的性質(zhì)證明不等式設(shè)，和為增函數(shù)，滿足，證明：，利

15、用復(fù)合函數(shù)及其單調(diào)性質(zhì)。證明：因?qū)τ谌我獾模?，且，和均為增函?shù)，所以有即故原不等式成立。4 利用柯西不等式證明設(shè)均為實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.例 15 若，求證證明：當(dāng)時等號成立。故原不等式成立。5 利用均值不等式證明均值不等式公式：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）；，（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”）。均值不等式是高考中一個重要知識點，其變形多，約束條件“苛刻“（一正、二定，三相等）。例 已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：觀察要證不等式的兩端都是關(guān)于a，b，c的3次多項式，左側(cè)6項，右側(cè)6項，左和右積，具備均值不等式的特征。 證明: b2

16、+c22bc, a0, a(b2+c2)2abc 同理，b(c2+a2)2bac, c(a2+b2)2cab, 又 因為a，b，c不全相等， 所以上述三個不等式中等號不能同時成立，因此故原不等式成立。例 若，求證：證明：又當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故原不等式成立。6 利用施瓦茨不等式證明施瓦茨不等式：若和在上可積，則例 證明：若在上可積，則證明：根據(jù)施瓦茨不等式有： 所以故原不等式成立。7 利用中值定理法證明不等式7.1 拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間（）內(nèi)可導(dǎo)，則在（）內(nèi)至少存在一點，使得例 證明：，其中證明：設(shè)，顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，且，

17、故，使即而，故有即故原不等式成立。7.2積分第一中值定理若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得例 證明：證明：在上，且函數(shù)不恒等于1和，所以有故原不等式成立。8 利用詹森不等式證明詹森不等式：若為上凸函數(shù)，則對任意，有例 證明：不等式,其中，均為正數(shù)證明：設(shè)，由的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可見，在時為嚴格凸函數(shù)，依詹森不等式有：從而即，又因，再兩邊同乘以次方得所以故原不等式成立。總之，不等式的證明方法有很多，我們應(yīng)該在教學(xué)和學(xué)習(xí)中努力將這些好的方法發(fā)揚光大，使我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)更加輕松。致謝踉踉蹌蹌地忙碌了兩個多月，我的畢業(yè)設(shè)計課題將告一段落了。我從中明白了做每一件事，不必過于在乎最終的結(jié)果，可貴的是在做事過程

18、中的收獲。畢業(yè)設(shè)計，也許是我大學(xué)生涯交上的最后一個作業(yè)。我想借此機會感謝四年來給我?guī)椭乃欣蠋?、同學(xué)、家人、親戚，和你們之間的友誼是我人生的財富，是我生命中不可或缺的一部分。我的畢業(yè)指導(dǎo)老師莎仁格日勒老師，她以一位長輩的風(fēng)范來容諒我的無知和沖動，給我不厭其煩的指導(dǎo)。在此，要特別向她道聲謝謝。大學(xué)生活即將過去，但我卻能無悔地說：“我曾經(jīng)來過?！贝髮W(xué)四年，但它給我的影響卻不能用時間來衡量，這四年來，我經(jīng)歷過的所有事，結(jié)交的所有人，都將是我以后生活中回味一輩子的寶貴精神財富，也是日后我為人處事的指南針。就要離開學(xué)校，走上工作崗位了，這將是我人生歷程的又一個起點，在這里深深祝福大學(xué)里跟我風(fēng)雨同舟的朋友們