伴隨矩陣的性質及其應用

1、伴隨矩陣的性質及其應用伴隨矩陣的性質及其應用摘要:伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數中的一個基本概念，是許多數學分支研究的重要工具。伴隨矩 陣作為矩陣中較為特殊的一類，其理論和應用有自身的特點而在大學的學習中，伴隨矩陣只是作 為求解逆矩陣的工具出現的，并沒有深入的研究本文分類研究伴隨矩陣的性質，并討論其證明過程，得到一系列有意義的結論。(1)介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基本性質；(2)研究數乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質及伴隨矩陣在逆等方面的運算性質；(3)研究矩陣與其伴隨矩陣的關聯性質，主要介紹由矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性推出伴隨矩陣 的對稱性、正定性、奇異性、正交

2、性；(4)研究伴隨矩陣間的關系性質，主要研究由兩矩陣的相似、 合同等關系推出對應的兩伴隨矩陣之間的關系；(5)研究伴隨矩陣在特征值與特征向量等方面的性 質；(6)給出m重伴隨矩陣的定義及其一般形式，研究m重伴隨矩陣的相應的性質。本文的主要創(chuàng) 新點在于研究了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質。矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣 于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。然而伴隨矩陣在矩陣中占據著比較特殊的位置，通過它可以推導出逆矩陣的計算公式，使

3、方 陣求逆的問題得到解決，伴隨矩陣的性質和應用有著與眾不同的特點。在矩陣計算及討論中，常常會遇到伴隨矩陣，但對伴隨矩陣的一些性質進行系統討論的卻很少，以下將主要針對伴隨矩陣的各種性質及應用討論。關鍵詞：伴隨矩陣 可逆矩陣 方陣性質1、伴隨矩陣的定義aiia1 na21 a22定義1.設Aj是矩陣A=a2n中元素aj的代數余子式，A11A12An2annan1 an2A1nA2稱為A的伴隨矩陣nn定義2.設A為n階方陣，如果有矩陣B滿足AB=BA=EW B就稱為A的逆矩陣，記為B=A*注意：只有方陣才有伴隨矩陣和逆矩陣2、伴隨矩陣的性質性質1.設A為n階方陣，AA* =A*A=AEd000d0證

4、明：由行列式按一列（行）展開：AA*=A*A=0 =d E,其中 d = A000 00 d1 A_A.性質2. n階矩陣A可逆的充分必要條件是矩陣A非退化，即A 0,且A證明：若A工0,則A可逆，且A 1 = ;反之，若A可逆，則有AA1 =E,所以|AA1|=|A|A -1|=1故|A|=0.即A非退化。性質3.1.若A為非奇異矩陣，則（A 1）*（A*） 1.證明：因為（kA） 11，由性質2兩邊取逆可得kA A(A*)1 故(A*) 1另一方面，由性質2 有(A1) 1(A1)* A(A1)* (A1)*|1A,由(A 1)*(A*) 1性質3.2.設A為n階矩陣，則秩n,當秩A n時

5、A*=1,當秩A n 1時0,當秩A n 2時證明：（1）當秩A=n時，則A 0,A是可逆的，即有A 1存在，所以A*AA 1.可見，秩 A* = n。反之，當秩A =n時，A可逆時,則有（A*） 1存在，所以A=A(A*)1,有 A 0,因 A=0,從而A*=0，這與秩A* =n矛盾，所以：A 0，于是秩(A) =n ;(2)當秩(A) =n1時，則A必有一個n1階子式不為0,即A*中至少有一個元素不為0,所以，秩（A*）1 ,另外秩（A） =n 1.則A=0,于是，AA*AE 0.從而，秩（A） +秩（A* ） n,故秩（A*） 1這便知秩（A*） 1.反之，若秩（A ） =1,則A中必有

6、一個Aj 0 , 即是說A必有一個n-1階子式不為零，故秩A n-1但不能有秩（A） =n，否則，有秩A* =n，而n 2,這樣與秩（A*） 1矛盾，所以秩（A）n ,則（A）n 1，因此,秩（A） =n 1.（3）當秩（A）n 1時，則A中一切n 1階子式均為0,于是一切Aj 0, A* 0所以，這時有秩（A*）0,反之，若秩（A*）0,則A*0,即一切Aj0,亦即A的一切n1階子式為0,所以秩（A）n 1.A的伴隨該性質可以用來求A的伴隨矩陣的秩，A的秩可以直接求出，通過A的秩可以直接求出 矩陣.性質4.秩A*秩A.性質5. A* = A n 1，其中A是n階方陣（n 2）.證明：若 A

7、0,AA*= AE,AA* = An A A*若A =0,這時秩A*1,A* =0，而也有A* = A綜合得A =A性質6.若A是n階非零實矩陣，AA*,則 A 0.證明：用反證法，若A 0,則AAAAAE0,令一方面，設 A=（aij） RnnAA = AA* =nad1ii 1n2a2ii 1=0n2anii 1由（2）式主對角元素均等于0，可得aj0,(i, j 1,2,n）,此即A=0,這與非零矩陣的假1,則 AA*,但 A 0i設矛盾，A 0.條件A是實方陣中“實”字不能少，否則，比如設A=；性質7.令A,B為n階矩陣，則（1） A對稱A*對稱；（2） A正交A*正交；(3) 若A與

8、B等價，則A* 1 I n 1 AA (A ) A (因)與B*也等價;(4) 若A與B相似，則A*與B*也相似;(5) 若A與B合同，則A*與B*也合同;(6)A=B A* B* ；(7) A正定 A*正定;(8) A為可逆矩陣A*為可逆矩陣;(9) 如果A是可逆矩陣，那么A為反對稱A*為反對稱.證明:AAt這里只證(1)，( 2)，其余的這里就不再證明了。(A*)t (At)* a*, a* 為對稱矩陣；因為A是正交矩陣，故E, A (A )T A (At)(AtA)E E A 是正交矩陣.從該性質我們看到方陣有很多的性質是能 “遺傳”給它的伴隨矩陣的，因此我們在不求矩 陣伴隨的時候就能通

9、過原矩陣的性質去判斷伴隨矩陣的性質了。性質 8. (A*)* (A*)t.性質9. 一切Ann (不一定A非奇異)都有(A*)*人“軌.證明:(i )當秩A=n時，A. 0,A可逆，用A-1左乘式子AAAE兩邊得，A* AA 1用A換A*得,* *(A)An2A(A )(ii)當秩A n-1時,n 2A.則秩A*1, An20,從而秩(A )0,則(A )0 A A,綜合即證該性質討論了 A的伴隨矩陣的伴隨矩陣和A的關系，一些問題會涉及此性質，應多加注意性質10.若A為n階矩陣，則(aA)* =a nA* . (a 為實數)證明：設 A=(aj )n n 再設 aA =(bj )n n，那么b

10、j為行列式aA中劃去第j行和第i列的代數余子式(n-1階行列式)，其中每行提出公因子a后，可得bjan1Aji(i,j1,2，.,n),由此即證(aA)* =a n A * .數乘矩陣的伴隨矩陣可以用該性質很好的得出，本性質是一些選擇、填空?？键c性質11.設A,B均為n階方陣，則(AB)*B*A*.證明：當AB0時，這時A 0,B0,由公式A*AA 1,可得(AB)* AB(AB) 1BBA1當AB 0時，考慮矩陣A( ) A E,B( ) B E,由于A和B都最多只有限個特征值，因為存在無窮多個使 A( )0, B( )0(3)那么由上面的結論有(A( )B()* = B*( )A*()(4

11、)令(A( )B()= (fj( )n n,B (* ”)A( ) (gj( )nn，則有(5)由于有無窮多個使(5)式成立，從而有無窮多個使(5)式成立，但fj( ), gj()都是多項式，從而(3 )式對一切 都成立，特別令=0，這時有1,2,n)(AB) (A(0)B(0) B (0)A (0) B A .矩陣的問該性質是一些題目的?？键c，把求 AB的伴隨矩陣轉化為求A的伴隨矩陣和 題，可以很有效的解決問題特征值是性質12.如果矩陣A可逆，令 為它的特征值，是A的屬于 的特征向量，則A*的1 A,是A*的屬于 1 A的特征向量.證明：由于A可逆，所以 0,由于A，左邊乘以A*得，A* A

12、A*，故A*= 1性質13.若A為n階方陣且矩陣的行列式不為零,那么A*可表示為A的多項式形式.證明：A的特征多項式是f()L a1a。.因為A可逆，所以a。( 1)nA 0.由哈密頓-凱萊定理知f(A) 0,即Ann 1an 1AL a1 AaE0腫1 E2 La1 E) AE右乘 A,得： (An 1 an 1An 2 L a1E) A* a。故 A*( 1)n1(An1 aniAn2 L aiE).該性質把A的伴隨矩陣轉化為A的多項式形式，這是求A的伴隨矩陣的簡單有效方法3. 伴隨矩陣性質的應用1 1 1例1 設A 0 2 2 ,(A 1)*是A1的伴隨矩陣，則求(A1)*.0 03由性

13、質1，因為AE,有(A1)*.本題A6,所以1 *(A1)此題是求A的逆矩陣的伴隨矩陣, 的求出.若用伴隨矩陣的定義求解則太復雜，可用性質1方便簡捷111例2若A011,求 A 1.0011111解:A011，*A0001011001 ,A 1,由性質2得，A1*A111525解：A 1121 ，1 *(A1)2 20 ,由性質3得，(A*) 1 (A 1)* ,所以1131 0 11 1 112 1,試求伴隨矩陣A*的逆矩陣.113A的逆矩陣問題，可以根據性質此題比較常見，求 的公式求出例3已知3階矩陣A的逆矩陣為A 1* 1(A )2201 0 1此題把求A的伴隨矩陣的逆矩陣問題轉化為求

14、A的逆矩陣的伴隨矩陣問題，這樣根據性質3可以很容易的得出.2若A 1 02003 ,則求A* .5A（2）3。1一,由性質6得，A4A2丄161已知A= 0011 ,求(A*)* .2解:,由性質10知(A ) = A2A若已知1*A = 00（2A）*.由性質11可直接得(2A)224A此題考查的是數與矩陣的乘積的伴隨矩陣問題,用性質10可以很方便的得出.7設A為三階矩陣，A的特征值為1,5，7.試求行列式*A 2E因為A=1 5 735,由性質13知,A*的特征值分別為|t *35,7,5.于是 A2E的特征值為 35-2=33,7-2=5,5-2=3. 故 A* 2E33495例8求矩陣

15、A的伴隨矩陣A* .1A= 412,因a。2 0,所以A可逆,6 2 0由性質 14 知 A ( 1)31(A2 4a 5E)= 82 0.311以上在伴隨矩陣的基本性質的基礎上，較為詳細地歸納并討論了伴隨矩陣的性質；并在此基 礎上討論了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質。無論經過這多時間對所學知識的掌握和了解，可以更加進一步了解伴隨矩陣在數學中的地位和作 用，在解決復雜的數學問題時，能夠更加靈活運用它來解決實際問題其實數學知識不在于舉多少 例子，關鍵在于能夠真正理解了其內涵，并且能夠熟練地把其運用到生活中創(chuàng)造它的價值.是對于教師還是學生來說，熟練掌握了這些性質和應用，就能夠使自己對伴隨矩陣的理解和認識 更全面和更深刻。參考文獻1 徐德余等高等代數習題精編M.成都：電子科技大學出版社，1992.114.2 馮紅高等代數全程學習指導M.大連：大連理工大學出版社，2004.196.3 閻滿富、陳景林等高等代數習題匯編與解答M.天津：天津人民出版社，1994.14 劉云慶等高等代數習作課講義M.北京：北京師范大學出版社，19