轉(zhuǎn)動(dòng)慣量指導(dǎo)書

1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量指導(dǎo)書力學(xué)實(shí)驗(yàn)室2016年3月轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量【預(yù)習(xí)思考】1. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式是什么？2. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是什么？3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布的關(guān)系？4. 了解單擺中擺長(zhǎng)與周期的關(guān)系？5. 擺角對(duì)周期的影響?！緝x器照片】【原理簡(jiǎn)述】1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義構(gòu)件中各質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量單元的質(zhì)量與其到給定軸線的距離平方乘枳的總和，即J = ymr2（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電 力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。圖1電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測(cè)量微小電流（

2、檢 流計(jì)）或電量（沖擊電流計(jì)）。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形 設(shè)計(jì)上，精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式推導(dǎo)測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。本實(shí)驗(yàn)采用的 是三線擺，是通過(guò)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是無(wú)力圖像清楚、操作簡(jiǎn)便 易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可用三線擺測(cè)定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義本實(shí)驗(yàn) 的目的就是要求學(xué)生掌握用三線擺測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，并驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣屋的平行 軸定理。兩半徑分別為和R （ R八 的剛性均勻圓盤，用均勻分布的三條等長(zhǎng)/的無(wú)彈性

3、、 無(wú)質(zhì)量的細(xì)線相連，半徑為廣的圓盤在上，作為啟動(dòng)盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為廠：半徑為 F的圓盤在下，作為懸盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為R。將啟動(dòng)盤固定，則構(gòu)成一振動(dòng)系統(tǒng), 稱為三線擺（圖2）。當(dāng)施加力矩使懸盤轉(zhuǎn)過(guò)角久后，懸盤將繞中心軸OO做角簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖2如圖2所示，當(dāng)懸盤轉(zhuǎn)過(guò)&角時(shí)，懸線點(diǎn)4上升到A ,懸盤上升高度為H。則h =l2 -(R-r)2h： = I2 -(R2 + r2 一 2&cos&) = hj 一 2&(l-cos&)(3)可得：(2)H = Il k =/7.-/r-2/?r(l-cos9)3 =h-hAl- 2Rr-f os3)y(4)K當(dāng)&很小時(shí)，括號(hào)中第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于1,作

4、近似& (1-C0S&)ri =K式中，人為兩盤靜止時(shí)的垂直距離，8和H均為時(shí)間的函數(shù)。因系統(tǒng)遵從機(jī)械能守恒，則對(duì)懸盤有下式(5)hQco2+mogH + nov2 =mQgHQ(6)式中,H為懸盤轉(zhuǎn)到角e時(shí)上升的高度，H.為懸盤上升的最大高度,加0是懸盤的質(zhì)量，丿。是懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，血是懸盤轉(zhuǎn)至角6L上升至H時(shí)的角速度干,at咗懸盤的上升速度%將式(5)和式(6)分別對(duì)時(shí)間微分，經(jīng)合并整理，得心叫g(shù)Rr d 廣J oh(7)此式表明，懸盤在作角簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為因此，町知懸盤空載時(shí)繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由式（8）可以看出，振動(dòng)系統(tǒng)的周期將取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)R,廣，九和振子（懸

5、盤）的質(zhì)量 ?。及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量人（而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又與質(zhì)量和質(zhì)量分布狀況有關(guān)）。如果將質(zhì)量為“，轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為人的圓壞放在懸盤上，則新振子質(zhì)量為加。+“，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為人+人，則此新振動(dòng)系 統(tǒng)的振動(dòng)周期將發(fā)生改變： 1 = 2兀 1-口 +人）（10）V （加o+）g&若懸盤的加0、人為已知，可用比較法求得人，即聯(lián)立式（8）和式（10）求解，得:r+務(wù)簽rm沙務(wù)叫(11)測(cè)出加】、T。、7；后代入式（34-8）即可求得人。實(shí)驗(yàn)時(shí)，測(cè)出加、R、八 H及人，由（3-2-4）式求出圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量丿。在卞 盤上放上另一個(gè)質(zhì)量為7 ,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為丿（對(duì)00軸）的物體時(shí)，測(cè)出周期為7則有(12)八計(jì)嚴(yán)從（12）減去（9）得

6、到被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量丿為:八珞恤。）宀/】(13)在理論上，對(duì)于質(zhì)量為加八外直徑分別為、D的均勻圓環(huán)，通過(guò)其中心垂直軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J = -m（d驗(yàn)證平行軸定理。 研究高度H與周期T的關(guān)系？ 研究質(zhì)量分布與周期T的關(guān)系？ 研究轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)周期的影響？5. 研究不規(guī)則物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量? + D2）o而對(duì)于質(zhì)量為加、直徑為D。的圓盤，相對(duì)于中心軸的8轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0=|/r/0Djo【拓展實(shí)驗(yàn)】【思考題】1. 扭轉(zhuǎn)角C1的大小對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無(wú)影響？若有影響，能否進(jìn)行修正？2. 三線擺在擺動(dòng)中受到空氣阻尼，振幅越來(lái)越小，它的周期如何變化？請(qǐng)觀察實(shí)驗(yàn), 并說(shuō)出理論根據(jù)。3. 加上待測(cè)物體后，三線擺的周期

7、是否一定比空盤的周期犬？為什么？4. 在本實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式中的R是否就是下圓盤的半徑？它的值如何測(cè) 量？5. 當(dāng)待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小得多時(shí)，為什么不適宜用三線擺測(cè) 量？6. 用三線擺測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，為什么必須保持下盤水平？7. 在測(cè)量過(guò)程中，如果卞盤出現(xiàn)晃動(dòng)對(duì)周期的測(cè)量有影響么？如有影響，應(yīng)該如何避 免？8. 測(cè)屋圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，若圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與下盤轉(zhuǎn)軸不重合，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)呆有何影響？9. 三線擺放上待測(cè)物后，其擺動(dòng)周期是否一定比空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期人？為什么？10. 三線擺經(jīng)什么位置計(jì)時(shí)誤差較??？為什么？11. 如何利用三線擺測(cè)定任意形狀的物體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？12. 檢

8、驗(yàn)平行軸定理時(shí)，為什么要對(duì)稱的放兩個(gè)小圓柱體？只放置一個(gè)小圓柱體行不 行？13. 實(shí)驗(yàn)中誤差來(lái)源有哪些？如何克服？14. 比較兩種方法求人的優(yōu)劣？15. 在測(cè)量圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，圓柱體上有一細(xì)絲，注意其作用?！咀⒁馐马?xiàng)】1. 注意儀器的水平調(diào)節(jié)：2. 注意霍爾開(kāi)關(guān)的安裝：3. 注意預(yù)置次數(shù)與周期的關(guān)系:4. 注意正確啟動(dòng)三線擺?！緮?shù)據(jù)表格】1. 周期地測(cè)定表1周期與質(zhì)量測(cè)量項(xiàng)目懸盤質(zhì)M Af0 =圓環(huán)質(zhì)雖M=預(yù)設(shè)次數(shù)202010個(gè)周1期的總2時(shí)間t3(s)45平均時(shí)間(s)平均周期(S)2. 幾何參數(shù)1 (cm )表2幾何參數(shù)及其間距離測(cè)量項(xiàng)目2HD外abr=b3次數(shù)1測(cè)測(cè)測(cè)測(cè)2測(cè)測(cè)測(cè)測(cè)3測(cè)測(cè)

9、測(cè)測(cè)平均值【參考數(shù)據(jù)處理】1 計(jì)算各量的平均值，填入表中。2. 計(jì)算R、F的值，填入表2中。3. 計(jì)算d的值，填入表3中。4懸盤空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：實(shí)驗(yàn)值:xl.38132479.0x 107 x9.794x 7.286x10 x 3.906xl024x3.142 x48.08x102= 1.343x103.w2理論值:9 11JQ =-M0D； =-x479.0x10_3x(14.811x102)2 =1313x103/CW72 88絕對(duì)誤差：AJ= J-J； = 1343x105-1313x10-3 = 0.03x1 O3結(jié)果表示：Jo =JoA7 = (1.34+0.03) x IO-3

10、Kg.in2相對(duì)誤差：齊咄罟黑如0% = 2.2%總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：7+嚴(yán)5. 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：4刊(479.0 + 201.3)x ICT x9.794x 7.286x 10 x 3.906x lO4x3.142 x48.08x10-21x1.4302.046x10-3.圓壞轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Jm, = 71 - 7o = 2.046 X IO3 -1.343 X IO-3 = 0.703 X10-3 Kg.nr理論值：jAn=-Ml(D + D) = -x201.3x 10-3 x(11.382 x 10-2)2 + (12.101 x 10_2)2) 8 8=0.6944 x KTKg屛絕對(duì)誤差：A/

11、Wj = 7jWj -= 0.703x 10-3-0.6944xIO-3 = 0.009x 10一Kg.用結(jié)果表示：JMi =7.W1+A/Wj = (0.703+0.009) x 10-3 Kg.m2相對(duì)誤差：X1OO%=QQQ9X1Q- xlOO% = 1.3%0.703 xlO36. 平行軸定理的驗(yàn)證總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:了 _(M + 2Mjg& 嚴(yán)2 _4亍 H 1(479.0 + 200.7) x IO3 x 9.794x 7.286xl02 x 3.906xW2,.=；x 1.428 F4x3.142 x48.08x102_ 1.895x1018.96xl.42812 = 2.038 xl

12、Og./?2一個(gè)圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:-(/2-Jo) = -(2.O38xlO-31.343 x 10一)= 0.348 x 1 O3 Kg.m2理論值:1“ ，丄IX 1 1AA 1A-3 z2.552x10-2 . 1AA - 1A-3 z10.402xW2 . J M2 = M 2rM = xl00.4xl0 x( y +100.4x10 x(廣2 2=0.08173x 107 + 0.2716x10- = 0.3533xl0-3 Kg.m2相對(duì)誤差：Er =X1OO% =xl00% =0.348x1030.3533x1()7翫荷xl00%= 1.5%由此可知：在誤差圍，可以認(rèn)為JjW; =

13、jMt既平行軸定理成立?！局R(shí)拓展】對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計(jì) 算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以 直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不 均勻的物體只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣屋，因而實(shí)驗(yàn)方法就顯得 更為重要。Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。其數(shù)值為J=L mi*ri2,式中mi 表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。求和號(hào)（或積分號(hào)）遍及整個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和 轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的

14、轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的人小）無(wú)關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛 體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣屋，一般用實(shí)驗(yàn)法測(cè) 定。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中。描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體 對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于該剛體對(duì)同此軸平行并通過(guò)質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上該剛體 的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項(xiàng)恒人于零，因此剛體繞過(guò)質(zhì)量中 心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的最小者。垂直軸定理還有垂直軸定理：垂直軸定理一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面與垂直軸相交 的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。表達(dá)式:Iz=

15、Ix+Iy剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑K,其 公式為I二ML2,式中M為剛體質(zhì)量：I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)2M,在SI單位制中，它的單位是kgm2。剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量量描述。慣量量是二階對(duì)稱量，它完整 地刻畫出剛體繞通過(guò)該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：先說(shuō)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來(lái)，先從動(dòng)能說(shuō)起大家都知道動(dòng)能E二（l/2）m/2,而且動(dòng)能的 實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)（選定一個(gè)參考系）運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量，（P勢(shì)能 實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的人小）。E二（l/2）mv2（v2 為 v 的 2 次方）把v二wr代入上式6是角速度，r是半