氣體動理論習(xí)題解答教材

1、習(xí)題8-1 設(shè)想太陽是由氫原子組成的理想氣體，其密度可當(dāng)成是均勻的。 若此理想氣體的壓強為 1.35 1014 Pa。試估計太陽的溫度。 （已知氫原子的質(zhì) 量 m = 1.67 10-27 kg，太陽半徑 R = 6.96 108 m，太陽質(zhì)量 M = 1.99 1030 kg）解：M nm VmM(4/3)R3m1.15 107Kp (4/3) R3mTnk Mk8-2 目前已可獲得 1.013 10-10 Pa 的高真空，在此壓強下溫度為 27 的 1cm3 體積內(nèi)有多少個氣體分子？10解： N nV p V 1.013 213010 6 2.45 104 /cm3kT 1.38 10 2

2、3 3008-3 容積 V1 m3 的容器內(nèi)混有 N11.0 1023 個氫氣分子和 N24.0 10 23個氧氣分子，混合氣體的溫度為400 K ，求：（ 1） 氣體分子的平動動能總和； （2）混合氣體的壓強。解：（1）33tkT（N1 N2）1.38 10 23 400 5 1023 4.14 103J2223 23 3（2）pnikT 1.38 10 23 400 5 1023 2.76 103 Pa8-4 儲有 1mol 氧氣、容積為 1 m3 的容器以 v=10 m/s 的速率運動。設(shè) 容器突然停止，其中氧氣的 80% 的機械運動動能轉(zhuǎn)化為氣體分子熱運動動 能。問氣體的溫度及壓強各升

3、高多少？（將氧氣分子視為剛性分子）解： 1mol 氧氣的質(zhì)量 M 32 10 3kg ， i 51 2 5 2由題意得 Mv 2 80% R T T 6.2 10 2K22pV RT p V R Tp R T 8.31 6.2 10 2 0.52paV8-5 一個具有活塞的容器中盛有一定量的氧氣，壓強為 1 atm。如果壓縮氣體并對它加熱，使溫度從 27 上升到 177 ，體積減少一半，則氣體 的壓強變化多少？氣體分子的平均平動動能變化多少？分子的方均根速率 變化多少？解：已知p1 1atm、 T1 300KV2 V1/2、T2 450KO2 32 10 3kg/mol根據(jù) pV RT p1V

4、1 p2V2p2 3p1 3atmT1T22 1p p2 p1 2atmt 23k T 23 1.38 1023 150 3.11 1021J8-6 溫度為 0 和 100 時理想氣體分子的平均平動動能各為多少？ 欲使分子的平均平動動能等于 1 eV，氣體的溫度需多高？解：（1） t1 3kT1 3 1.38 10 23 273.15 5.65 10 21J t1 2 1 2t2 3kT2 3 1.38 10 23 373.15 7.72 10 21J 223（2）1ev 1.6 10-19 J t kTt22t3k2 1.6 10 193 1.38 10 237729.5K8-7 一容積為

5、10 cm3的電子管，當(dāng)溫度為 300 K 時，用真空泵把管內(nèi)空氣抽成壓強為 510-4 mmHg 的高真空， 問此時（ 1）管內(nèi)有多少空氣分子？ （ 2）這些空氣分子的平均平動動能的總和是多少？（3）平均轉(zhuǎn)動動能的總和是多少？（ 4）平均動能的總和是多少？（將空氣分子視為剛性雙原子分 子， 760mmHg = 1.013105 Pa）解： 1mmHg 1.013 10 133Pa760（1）N nV pV 1.61 1014 個kT333（2）t N kT RT pV 1 10 6Jt 222（3）r N2kT RT pV 6.65 10 7Jr2（4）tr 5 pV 1.65 10 6Jt

6、 r 218-8 水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O H2 O22也就是 1mol 水蒸氣可分解成同溫度的 1mol 氫和 1/2mol 的氧。當(dāng)不計振動 自由度時，求此過程的內(nèi)能增量。解： E i RT ， 1mol255 163E RT RT RT RT22 224若水蒸氣溫度是 100時E 3 8.31 373 2325J48-9 已知在 273 K、1.0 10-2 atm時，容器內(nèi)裝有一理想氣體，其密度 為 1.24 10-2 kg/m 3。求：（ 1）方均根速率； （2）氣體的摩爾質(zhì)量，并確定 它是什么氣體； （ 3）氣體分子的平均平動動能和轉(zhuǎn)動動能各為多少？（4）容器單位體

7、積內(nèi)分子的總平動動能是多少？（5）若該氣體有 0.3 mol，其內(nèi)能是多少？解： （1） p 31 v2 v2 3p 494m/s2） v23RT3RT3RT 28g3p所以此氣體分子為 CO 或 N23（3）tkT 5.65 10 21Jt22 21r kT 3.77 10 21Jr2（4） t n3kT 3P 1.52 103Jt 2 2 5（5）E 5 RT 1701J28-10 一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強為 1.01 105 Pa，溫度為 27.0，求：1）分子數(shù)密度； （2）氧氣的密度； （3）分子的平均平動動能； （4）分子間的平均距離。 （設(shè)分子間均勻等距排列）解：（1） n kp

8、T 2.44 1025/m32）3p2 3pv3RTPRT31.297kg/m 333） t kT 6.21 10 21J t214） d3d 3.45 10 9mn8-11 設(shè)容器內(nèi)盛有質(zhì)量為 M1和 M 2的兩種不同的單原子理想氣體，此混合氣體處在平衡態(tài)時內(nèi)能相等，均為E ，若容器體積為 V 。試求：（ 1）兩種氣體分子平均速率 v1 與 v2 之比；（ 2）混合氣體的壓強。解：（1）3M121RT32M22RTM1 1M 2 28RTpnikT N1kT N2 kT 2N1kT 22E 4Ei V V V V 3 3V有內(nèi)能為 6.75 102 J的剛性雙原-3 38-12 在容積為 2

9、.0 10-3 m3的容器中， 子分子理想氣體。 （1）求氣體的壓強； （ 2）設(shè)分子總數(shù)為 5.4 1022 個，求分 子的平均平動動能及氣體的溫度。解：（ 1） E i RT i pV p 2E 1.35 105pa2 2 iV2）pVNk531.35 105 2 10 322 235.4 1022 1.38 10 23362.3Kt 3kT 7.5 10 21Jt28-13 已知 f（v） 是速率分布函數(shù)，說明以下各式的物理意義：p（1） f（v）dv；（2）Nf （v）dv；（3） f（v）dv 解：（1） v v dv范圍內(nèi)的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比；（2） v v dv范圍內(nèi)的粒子

10、數(shù)3）速率小于 vp 的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的百分比8-14 圖中 I、 II 兩條曲線是兩種不同氣體（氫氣和氧氣）在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。試由圖中數(shù)據(jù)求：（ 1）氫氣分子和氧氣分子的最概然速率；（ 2）兩種氣體所處的溫度。解：（ 1）由習(xí)題 8-14 圖可知： （vp）H 2 2000m/s12 2 3 vp5002 32 10 32R 2 8.31(vp)O2 41(vp)H2 500m/s481.3K8-15 在容積為 3.0 10-2 m3 的容器中裝有 2.0 10-2 kg 氣體，容器內(nèi)氣體的壓強為 5.06 104 Pa，求氣體分子的最概然速率。解：由 pV M RTRT

11、pVM389.6m/s的微粒懸浮在27的液體中，觀察到懸浮粒子的方均根速率為 1.4 cm/s，假設(shè)粒子服從麥克斯韋速率分布函數(shù)，求阿伏伽德羅常數(shù)。解：3RTmNA? NA 3RT 6.15 1023 /molA2mvc (v0 v 0)8-17 有 N 個粒子，其速率分布函數(shù)為 f (v)00 (v v0)1）作速率分布曲線； （2）由 v0 求常數(shù) c；（3）求粒子平均速率。v01解：（ 2） cdv 1 c0v0v0v0v0（3）vvf（v）dvcv00028-18 有 N 個粒子，其速率分布曲線如圖所示， 當(dāng)v 2v0時 f（v） 0 。求：（1）常數(shù) a；（2）速率大于 v0 和小于

12、v0 的粒子數(shù)；（3）求粒子平均速率。解：（1）由速率分布函數(shù)的歸一化條件可得v0 av0 a 1 a3v02） v v0 時：1N1av012013Nv v0 時：N2N N123N3) f (v)kv 23v0 2 a 3v0 02 v v v0v0 v 2v0v v0v vf (v)dvv000vf (v)dv0vf (v)dvv0 2 22 v dv0 3v022v0 2112 vdv 11v0v0 3v098-19 質(zhì)點離開地球引力作用所需的逃逸速率為 v 2gr ，其中 r 為地球半徑。（ 1）若使氫氣分子和氧氣分子的平均速率分別與逃逸速率相等，它們各自應(yīng)有多高的溫度； （ 2）說

13、明大氣層中為什么氫氣比氧氣要少。（取r=6.40 106 m)解：（ 1）由題意知 v8RT2grT 2grT 8R又 O2 32 10 kg/molH2 2 10 k g / mol54TO2 1.9 105KTH 2 1.18 104K（2）根據(jù)上述分析， 當(dāng)溫度相同時， 氫氣的平均速率比氧氣的要大 （約 為 4 倍），因此達到逃逸速率的氫氣分子比氧氣分子多。按大爆炸理論，宇 宙在形成過程中經(jīng)歷了一個極高溫過程。 在地球形成的初期， 雖然溫度已大 大降低， 但溫度值還是很高。 因而， 在氣體分子產(chǎn)生過程中就開始有分子逃 逸地球， 其中氫氣分子比氧氣分子更易逃逸。 另外， 雖然目前的大氣層溫

14、度 不可能達到上述計算結(jié)果中逃逸速率所需的溫度， 但由麥克斯韋分子速率分 布曲線可知，在任一溫度下，總有一些氣體分子的運動速率大于逃逸速率。 從分布曲線也可知道在相同溫度下氫氣分子能達到逃逸速率的可能性大于 氧氣分子。 8-20 試求上升到什么高度時大氣壓強減至地面的75%？設(shè)空氣溫度為 0，空氣的摩爾質(zhì)量為 0.0289 kg/mol 。解：由 p p0 exp（ gz） z RT ln p0RT g pp0 3 z 230m4p48-21 （ 1）求氮氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞次數(shù)和平均自由程；（ 2）若溫度不變，氣壓降低到 1.33 10-4 Pa，平均碰撞次數(shù)又為多少？平均自由程 為多少

15、？（設(shè)分子有效直徑為 10-10 m）v 1 kT解： 8.38 10 7mZ 2 d 2n2 d 2pZ v/ 5.42 108 次/s8-22 真空管的線度為 10-2 m，真空度為 1.33 10-3 Pa，設(shè)空氣分子有效 直徑為 310-10 m ，求 27時單位體積內(nèi)的空氣分子數(shù)、平均自由程和平均 碰撞頻率。解：17 33.21 1017 /m3p 1.33 10 323kT 1.38 10 23 30012 d2nkT2 d2 p當(dāng)容器足夠大時，10取 d 3 10 10 m代入可得 7.8m 10 2m （真空管線度）所以空氣分子間實際不會發(fā)生碰撞，而只能與管壁碰撞，因此平均自由

16、程就是真空管的線度，即10 2 mZ v/ 1 8RT 469 21 10 24.69 104/s8-23 在氣體放電管中， 電子不斷與氣體分子碰撞。 因電子速率遠(yuǎn)大于 氣體分子的平均速率， 所以可以認(rèn)為氣體分子不動。 設(shè)氣體分子有效直徑為d ，電子的“有效直徑”比起氣體分子來可以忽略不計，求：（ 1）電子與氣體分子的碰撞截面； （ 2）電子與氣體分子碰撞的平均自由程。 （氣體分子數(shù) 密度為 n ）解：（1）（d de ）2d2 2 42）veve 其中 u 為電子相對于分子的平均相對速率Z nu由于 vev分子 ，所以 u ve142n d n8-24 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氦氣（ He）的內(nèi)摩擦系

17、數(shù) = 1.89 10-5 Pas，求：（ 1）在此狀態(tài)下氦原子的平均自由程； （ 2）氦原子半徑。解：標(biāo)況： p 1.01 105pa、T 273.15KHe 4 10 3 kg/mol1)1nmv1 v33p RT0.18kg/m38RT 1202m/s代入得 2.62 10 7m1 kT2 d2n2 d 2 pkT2p2 20 2 d2 3.2 10 20 m2d 1.79 10 10 m 8-25 熱水瓶膽的兩壁間距L = 4 10-3 m ，其間充滿溫度為 27的氮氣，氮分子的有效直徑為 d = 3.1 10-10 m，問瓶膽兩壁間的壓強降低到多大數(shù)值以下時，氮的熱傳導(dǎo)系數(shù)才會比它在

18、一個大氣壓下的數(shù)值小？解：熱傳導(dǎo)系數(shù)1KcV v3V由于 nm ，1m2 ，所以 2 與壓強無關(guān)，即熱2 d2n2 d2然而在抽真空的容器中當(dāng)壓強降到一定程度時，傳導(dǎo)系數(shù)與壓強無關(guān)。平均自由程 會大于容器本身的線度，這時取為容器的線度不變，當(dāng)真空度10進一步提高時，因 不變，所以 p 時， ，則 K ，于是熱傳導(dǎo)系數(shù)就小于一個大氣壓下的數(shù)值了。因此當(dāng)kT2L 時傳導(dǎo)系數(shù)開始發(fā)生變化。2 d 2pkT p 2 d2kT1.38 10 23 3002 d2L2 (3.1 10 10)2 4 10 32.42pa8-26 由范德瓦耳斯方程 (p a V2)(V b) RT ，證明氣體在臨界狀態(tài)下溫度 Tk、壓強 pk及體積 Vk 為Tk 26bR并且在理論上有如下的關(guān)系8a ， pk27ab2 ，Vk 3bpkVk 3kTk8提示：由范德瓦耳斯方程可寫出V 的三次方程，對于臨界點，以 Tk 、pk數(shù)據(jù)代入后對 V 求解，應(yīng)得三重根的解?；蛴?ddVpk