11.5_函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用

1、 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 1 函數(shù)值的近似計算函數(shù)值的近似計算 積分的近似計算積分的近似計算 歐拉歐拉(Euler)公式公式 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 求極限求極限 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式函數(shù)的冪級數(shù)展開式 的應用的應用 第第11 11章章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 2 一、求極限一、求極限 有些未定式的極限有些未定式的極限 可以將極限過程中的主要、可以將極限過程中的主要、 例例 求求 3 0 sin lim x xx x 0 0 解解 3 0 sin lim x xx x , 0 x因為因為

2、所以將所以將sinx展開為展開為x = 0的冪級數(shù)的冪級數(shù). 這種方法的優(yōu)點是這種方法的優(yōu)點是: 次要成份表示得非常清楚次要成份表示得非常清楚. 可以用冪級數(shù)方法求出可以用冪級數(shù)方法求出. 2 0 ! 5 1 ! 3 1 limx x . 6 1 ! 3 1 3 53 0 ! 5 1 ! 3 1 lim x xxxx x ),( x )!12( )1( ! 5! 3 sin 1253 n xxx xx n n 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 3 由此例可看出由此例可看出: 這里這里, . ! 5 1 ! 3 1 53 xx 這個高階無窮小不能與分子的這個高階無窮小不

3、能與分子的 第一項第一項x 抵消抵消, 但如果將但如果將 sinx用用x代換代換, 這顯然是錯誤的這顯然是錯誤的. 在求極限時在求極限時, 的無窮小不能用其等價無窮小代換的無窮小不能用其等價無窮小代換. 為什么加、為什么加、 sinx與其等價無窮小與其等價無窮小x相差高階無窮小相差高階無窮小 減項減項 它在極限中是起作用的它在極限中是起作用的. 小也略去了小也略去了, 則相當于將這個起作用的高階無窮則相當于將這個起作用的高階無窮 3 0 sin lim x xx x 3 53 0 ! 5 1 ! 3 1 lim x xxxx x 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 4

4、二、函數(shù)值的近似計算二、函數(shù)值的近似計算 用函數(shù)的冪級數(shù)展開式用函數(shù)的冪級數(shù)展開式, 常用方法常用方法 1. 若余項是交錯級數(shù)若余項是交錯級數(shù), 2. 若不是交錯級數(shù)若不是交錯級數(shù), 可以在展開式有效可以在展開式有效 的區(qū)間內(nèi)計算函數(shù)的近似值的區(qū)間內(nèi)計算函數(shù)的近似值, 而且可達到預先指而且可達到預先指 定的精度要求定的精度要求. 使之使之 成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù)成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù), 和和. 從而求出其從而求出其 則放大余和中的各項則放大余和中的各項, 則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決; 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 5 解解, !

5、1 ! 2 1 1e 2 nx x n xx因為因為 , 1 x令令, ! 1 ! 2 1 11e n 得得 余和余和: : ) )2)(3( 1 2 1 1( )!1( 1 nnnn )!1( 1 n ! 1 nn 5 10! nn 1 1 1 1 )!1( 1 n n )!3( 1 )!2( 1 )!1( 1 nnn rn 1( 1 1 n 2 )1( 1 n 5 10 ) 例例 計算計算e的近似值的近似值, 使其誤差不超過使其誤差不超過10- -5. 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 6 322560!88 而而 e .71828. 2 5 10 ! 8 1 !

6、 3 1 ! 2 1 11 用級數(shù)作近似計算時用級數(shù)作近似計算時, 這樣估計誤差這樣估計誤差, 常將其余和放大常將其余和放大 為幾何級數(shù)為幾何級數(shù). 因此計算量要小一些因此計算量要小一些. 在一般情況下在一般情況下, 泰勒公式比用拉格朗日估計誤差的精度更好泰勒公式比用拉格朗日估計誤差的精度更好, 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 7 例例 解解 20 sin9sin 0 3 ) 20 ( 6 1 20 5 2 ) 20 ( !5 1 r 5 )2 . 0( 120 1 300000 1 5 10 000646. 0157079. 09sin 0 156433. 0 其

7、誤差不超過其誤差不超過 .10 5 ,9sin ! 3 sin 0 3 的的近近似似值值計計算算利利用用 x xx 并估計誤差并估計誤差. 5 ) 20 4 ( 120 1 ),( x )!12( )1( ! 5! 3 sin 1253 n xxx xx n n 是交錯級數(shù)是交錯級數(shù) 所以所以 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 8 三、積分的近似計算三、積分的近似計算 有些初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)有些初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù) 故其定積分就不能用牛頓故其定積分就不能用牛頓-萊布尼茨萊布尼茨 但如果這些函數(shù)在積分區(qū)間上能但如果這些函數(shù)在積分區(qū)間上能 表示表示,

8、 公式計算公式計算. 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù), 性質(zhì)來計算這些定積分性質(zhì)來計算這些定積分. 則可利用冪級數(shù)逐項積分則可利用冪級數(shù)逐項積分 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 9 例例 .10,d sin 4 1 0 精精確確到到的的近近似似值值計計算算x x x 642 !7 1 ! 5 1 ! 3 1 1 sin xxx x x 解解 ),( x !77 1 ! 55 1 ! 33 1 1 收斂的交錯級數(shù)收斂的交錯級數(shù) 被積函數(shù)被積函數(shù) x xsin 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示. 由于由于x = 0是是 x xsin 的可去間斷點的可去間斷

9、點, 故定義故定義 0 sin x x x 這樣這樣被積函數(shù)在被積函數(shù)在0,1上上連續(xù)連續(xù). 展開展開, sin x x 得得 1 0 xd 1 0 xd , 1 sin lim 0 x x x 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 10 第四項第四項 30000 1 !77 1 ,10 4 取前三項作為積分的近似值取前三項作為積分的近似值, 得得 ! 55 1 ! 33 1 1d sin 1 0 x x x .9461. 0 例例.10,d sin 4 1 0 精精確確到到的的近近似似值值計計算算x x x ! 77 1 ! 55 1 ! 33 1 1d sin 1 0

10、 x x x 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 11 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù) )1()i()i()i( 2211 nn vuvuvu ), 3 , 2 , 1(, nvu nn 其中其中 四、歐拉四、歐拉(Euler)公式公式 為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 若若, 1 n n uu , 1 n n vv 則稱級數(shù)則稱級數(shù))( 1 n n n ivu 收斂收斂,且其和為且其和為.ivu 復數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念復數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念 若若 222 2 2 2 2 1 2 1nn vuvuvu收斂收斂, 則則, 1 n n u 1n n v 絕對收斂絕對收斂, 稱復

11、數(shù)項級數(shù)稱復數(shù)項級數(shù)(1)絕對收斂絕對收斂. Euler(1707 1783)是瑞士數(shù)學家、物理學家是瑞士數(shù)學家、物理學家 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 12 ),( ! 2 1e 2 n xx x n x ),( )!12( )1( ! 5! 3 sin 12 1 53 n xxx xx n n ),( )!2( )1( ! 4! 2 1cos 242 n xxx x n n nx x n xx)i ( ! 1 )i ( ! 2 1 i1e 2i xxsinicos xcos xsin ) )!2( )1( ! 2 1 1( 2 2 n x x n n ) )!

12、12( )1( ! 3 1 ( i 12 3 n x xx n n 三個基本展開式三個基本展開式 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 13 xx x sinicosei i2 ee sin 2 ee cos ii ii xx xx x x xx x sinicose i 揭示了三角函數(shù)和復變量指數(shù)函數(shù)之間的揭示了三角函數(shù)和復變量指數(shù)函數(shù)之間的 )sini(cosee i yy xyx 歐拉歐拉(Euler)公式公式 一種關(guān)系一種關(guān)系. 因為因為 又因為又因為 所以所以 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 14 歐拉公式的證明歐拉公式的證明 求極限

13、求極限 (求未定式的極限求未定式的極限) 五、小結(jié)五、小結(jié) 積分的近似計算積分的近似計算 函數(shù)值的近似計算函數(shù)值的近似計算 11.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 15 思考題思考題 計算計算.)1(sincos 1 lim 3 4 2222 6 0 xxxx x x 解解 因為因為 xx 22 sincos n n n x n 2 0 )4( )!2( )1( 8 1 8 1 )!2( )1( ! 4! 2 1cos 242 n xxx x n n n n n x n 2 1 1 )4( )!2(8 )1( ! 68 4 ! 48 4 6644 2 xx x 642 45 32 3 4 xxx 又又 3 4 22 )1(x