點(diǎn)到直線的距離334兩條平行直線間的距離

1、3.3.3 點(diǎn)到直線的距離 3.3.4 兩條平行直線間的距離自學(xué)導(dǎo)引1. 了解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)方法 .2. 掌握點(diǎn)到直線距離公式 , 并能靈活應(yīng)用于求 平行線間的距離等問(wèn)題 .3. 進(jìn)一步體驗(yàn)解析幾何的基本思想 , 初步掌握用解析法研究 幾何問(wèn)題的方法 .課前熱身1.在平面直角坐標(biāo)系中 ,如果已知某點(diǎn) P的坐標(biāo)為(x 0,y 0), 直線l的方程是Ax+By+C=0, 則點(diǎn)P到直線l 的距離d=.C2. 若直線 l 的方程Ax+By+C=0中,B=0, 則A0,其方程為 x=- C , 此時(shí)點(diǎn) P(x0,y 0) 到該直A線的距離 d=;若直線l 的方程Ax+By+C=中0 ,A=0,則

2、B0,其方程為Cy=- C 此時(shí)點(diǎn) P(x0,y 0) 到該直線的距離 d=.B名師講解1.點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn) P(x0,y 0)到直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零 )的距離使用此公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn) :(1) 若給出的直線方程不是一般式 , 則應(yīng)先把方程化為 一般式, 再利用公式求距離 .(2) 若點(diǎn)P在直線上 ,點(diǎn)P到直線的距離為零 , 距離公式仍然適用 .(3) 點(diǎn)到幾種特殊直線的距離 : 點(diǎn)P(x0,y0) 到x軸的距離 d=|y0|; 點(diǎn)P(x0,y0) 到y(tǒng)軸的距離 d=|x0|; 點(diǎn)P(x0,y0) 到與x軸平行的直線 y=a的距離 d=|y0-a|; 點(diǎn)P(x0,y0)

3、 到與y軸平行的直線 x=b的距離 d=|x0-b|.2.兩平行線間的距離 (1) 求兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離 ,也可以 應(yīng)用公式 .(2) 應(yīng)用兩平行線間的距離公式 d C1 C2 時(shí), 兩直線方程必須是一般A2 B2 形式.而且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等 .(3) 當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí) ,可利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解 決. 兩直線都與 x軸垂直時(shí),l 1:x=x 1,l 2:x=x 2則d=|x 2-x 1|;兩直線都與 y軸垂直時(shí) ,l 1:y=y 1,l 2:y=y 2, 則d=|y 2-y 1|.典例剖析題型一距離公式的應(yīng)用例 1: 求過(guò)點(diǎn)M(-2,1) 且與A(-1,2),B(

4、3,0) 兩點(diǎn)距離相等的直 線方程.分析:可利用待定系數(shù)法求直線方程 ,也可用平面幾何知識(shí) ,先判斷直線 l 與直線AB的 位置關(guān)系.事實(shí)上,l AB或l 過(guò)線段AB的中點(diǎn)時(shí),都滿足題目的要求 .解:當(dāng)斜率存在時(shí) , 設(shè)直線方程為 y-1=k(x+2).即kx-y+2k+1=0. 由條件得解得 k=0或k=- 1.2故所求的直線方程為 y=1或x+2y=0.當(dāng)直線斜率不存在時(shí) , 不存在符合題意的直線 . 規(guī)律技巧 : 與定直線的距離為定值的 點(diǎn)的集合是與定直線平行的兩條平行直線 , 因此, 由點(diǎn)到直線的距離公式和求軌跡方 程的方法即可求得所求的方程 .變式訓(xùn)練 1: 求點(diǎn)P(1,2) 到下列

5、直線的距離(1) l1:y=x-3;(2) l2:y=-1;(3) y 軸(x=0).解:(1) 點(diǎn)P(1,2) 到直線 x-y-3=0 的距離為(2) 點(diǎn)P(1,2) 到直線y=-1的距離為 d=|2-(-1)|=3.(3) 點(diǎn)P(1,2) 到直線x=0的距離為 d=1.題型二平行線之間的距離解: 在直線 x+3y-4=0上選點(diǎn) P(4,0), 那么點(diǎn) P(4,0) 到直線2x+6y-9=0的距離 d就是兩條 平行線之間的距離 . 兩條平行線之間的距離規(guī)律技巧:一般地,已知兩條平行線 l 1:Ax+By+C1=0,l 2:Ax+By+C2=0(C1C2). 設(shè)P(x0,y0) 是直線 l 2

6、上的任意一點(diǎn) , 則Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2. 于是, 點(diǎn)P(x0,y 0) 到直線l 1:Ax+By+C1=0的距離就是兩平行直線 l 1與 l 2之間的距離 .應(yīng)用公式時(shí)要注意 l1?l 2中x?y的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等 .變式訓(xùn)練 2: 求下列兩條平行線之間的距離 .(1)5x-12y+2=0 與5x-12y+15=0;3(2)6x-4y+5=0 與 y= x.2題型三綜合應(yīng)用分析 :(1) 可先求出l 1與l 2的交點(diǎn),再設(shè)出點(diǎn)斜式方程求解 .也可以先 設(shè)出所求直線的直線系方程 , 利用條件確定參數(shù)的值 ,從而求得直線的方程 .(2) 解答 本題可采用數(shù)形結(jié)合 ,

7、分析出點(diǎn)A到直線l的最大值 ,然后應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求 出.解:(1) 方法1:由 2x y-5 0, 得交點(diǎn)B(2,1).x -2y 0 當(dāng)直線斜率存在時(shí) ,設(shè)l的方程為 y-1=k(x-2), 即kx-y+1-2k=0. 解得: k 4 l的方程為y-1= 4 (x-2),33 即4x-3y-5=0.方法2: 設(shè)經(jīng)過(guò)已知直線交點(diǎn)的直線系方程為 :(2x+y-5)+ (x-2y)=0, 即(2+ )x+(1-2 )y-5=0.即22-5 +2=0,1解得=2或=1.2l 的方程為 4x-3y-5=0 或 x=2.2x y -5 0(2) 由 2x y -5 0 ,解得交點(diǎn) B(2,1).

8、x -2y 0 過(guò)點(diǎn)B任意作直線l, 設(shè)d為A到直線l的距離,則d|AB|( 僅當(dāng)l AB時(shí)等號(hào)成立 ), d的最大值為 |AB|= 10 .規(guī)律技巧:在(1) 的方法1中易忽略直線斜率不存在的情況 ,即易丟掉解 x=2.方法2可 避開(kāi)討論 , 直接求得兩個(gè)解 .變式訓(xùn)練 3:若已知 A(7,8),B(10,4),C(2,-4),求 ABC的面積. 易錯(cuò)探究 例4:求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2) 且到原點(diǎn)的距離等于 1的直線方程 .錯(cuò)解: 所求直線過(guò)點(diǎn) A(1,2), 可設(shè)直線方程 y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0. 原點(diǎn)到此直線的距離為 1,錯(cuò)因分析 :本題出錯(cuò)的根本原因在于思維不嚴(yán)密

9、, 當(dāng)用待定系統(tǒng)法確定直線斜率時(shí) 一定要對(duì)斜率是否存在的情況進(jìn)行討論 , 否則容易犯解析不全的錯(cuò)誤 .(2) 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn) A(1,2) 且與x軸不垂直時(shí) , 由題意可設(shè)直線方程 y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0,又由原點(diǎn)到此直線距離等于 1,即3x-4y+5=0.綜上所述 , 所求直線方程為 x=1或3x-4y+5=0.技能演練1.原點(diǎn)到直線 3x-4y-26=0 的距離是( )基礎(chǔ)強(qiáng)化答案:B2.若點(diǎn)P(3,a) 到直線x+y-4=0的距離為 1,則a的值為(答案:D3. 已知直線 3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行 , 則它們之間的距離是 ( )解析:在直線3x+

10、2y-3=0上取一點(diǎn) (1,0), 則點(diǎn)(1,0) 到直線6x+my+1=0的距離,就為所 求. 由兩直線平行得 3m-12=0,m=4兩平行線間的距離為答案:D4. 點(diǎn)P(x,y) 在直線 x+y-4=0上, 則x2+y2的最小值是 ( )解析:由x2+y2的實(shí)際意義可知,它代表直線 x+y-4=0 上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方 , 它的最小值即為原點(diǎn)到該直線的距離的平方 . (x 2 y2)min ( 4 )2 8.2答案 :A5. 到直線3x-4y-1=0的距離為2的直線方程為 ( )A. 3x-4y-11=0B. 3x-4y+9=0C. 3x-4y-11=0 或 3x-4y+9=0D. 3

11、x-4y+11=0 或3x-4y-9=0k1解析:設(shè)所求直線方程為 3x-4y+k=0, 由題意得2 |k+1|=10, k=9或32 42k=-11.故所求方程為 3x-4y+9=0 或3x-4y-11=0.答案:C6. 直線7x+3y-21=0上到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ( )A.3 B.2C.1 D.0解析:設(shè)直線7x+3y-21=0上到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)為 P(x0,y 0)yx依題意有 :|x 0|=|y 0|, 即y0=x0又 7x0+3y0-21=0, 顯然 0 0 和7x0 3y0 -21 0y0 x07x 0 3y0 -21 0都有解, 故直線上有兩個(gè)點(diǎn)適合題意 .答

12、案:B7. 過(guò)點(diǎn) A(2,1) 的所有直線中 , 距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的直線方程為 .解析:當(dāng)過(guò)點(diǎn)A(2,1) 的直線與OA垂直時(shí),原點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn) ,所以斜率k=-2,直線 方程為 y-1=-2(x-2), 即2x+y-5=08. 兩平行線 3x+4y+5=0與6x+ay+30=0間的距離為 d, 則 a+d=.15 5解析: 由兩直線平行知 ,a=8, d2 a+d=10.5能力提升 9. 兩條平行線分別過(guò)點(diǎn) P(-2,-2),Q(1,3), 它們之間的距離為 d,如果這兩條直線各自繞點(diǎn) P,Q旋轉(zhuǎn)并保持平行 , 則d的取值范圍是 .解 析 : 當(dāng) 這 兩 條直 線 l1,l2 與 直 線 PQ垂 直時(shí) ,d 達(dá) 到 最大 值 , 此 時(shí) d=|PQ|= 1 2 2 3 2 2 34 . 又l1, l2保持平行 ,不能重合 . 0d 3410.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,在平面上求一點(diǎn) P,使|PA| 2+|PB| 2|+|PC| 2最小,并求 此最小值.解:以BC所在直線為