一元二次方程及根的定義

1、一元二次方程及根的定義一元二次方程及根的定義1.已知關(guān)于的方程的一個根為2，求另一個根及的值.思路點撥：從一元二次方程的解的概念入手，將根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一個根即可.解：將代入原方程，得 即 解方程，得 當時，原方程都可化為 解方程，得. 所以方程的另一個根為4，或-1.總結(jié)升華：以方程的根為載點.綜合考查解方程的問題是一個?？紗栴}，解這類問題關(guān)鍵是要抓住“根”的概念，并以此為突破口.舉一反三：【變式1】已知一元二次方程的一個根是，求代數(shù)式的值.思路點撥：抓住為方程的一個根這一關(guān)鍵，運用根的概念解題.解：因為是方程的一個根,所以,故,所以.總結(jié)升華：“方程”即是一個

2、“等式”，在“等式”中，根據(jù)題目的需要，合理地變形，是一種對代數(shù)運算綜合要求較高的能力，在這一方面注意豐富自己的經(jīng)驗.類型二、一元二次方程的解法2.用直接開平方法解下列方程：(1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0.解：(1)27x2=3 .(2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程：(1)；(2).解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故.(2)由， 得， ， ， 所以 故4.用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).解：(1)這里并且所以，所以，. (2)將原方程變形為，則，所以，所以. (3)將原方程展開并整理得，這里，并且，所以.所以.總結(jié)升華：公式法解一元二次方

3、程是解一元二次方程的一個重點，要求熟練掌握，它對我們的運算能力有較高要求，也是提高我們運算能力訓(xùn)練的好素材.5.用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3).解：(1)將原方程變形為，提取公因式，得，因為，所以所以或，故 (2)直接提取公因式，得所以或，(即故. (3)直接用平方差公式因式分解得即所以或故.舉一反三：【變式1】用適當方法解下列方程(1)2(x+3)2=x(x+3)； (2)x2-2x+2=0；(3)x2-8x=0； (4)x2+12x+32=0.解：(1)2(x+3)2=x(x+3) 2(x+3)2-x(x+3)=0 (x+3)2(x+3)-x=0 (x+3)(x+6)=0

4、x1=-3，x2=-6(2)x2-2x+2=0 這里a=1，b=-2，c=2 b2-4ac=(-2)2-412=120 x= x1=+，x2=-(3)x(x-8)=0 x1=0，x2=8(4)配方，得 x2+12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2或x+6=-2 x1=-4，x2=-8點評:要根據(jù)方程的特點靈活選用方法解方程.6.若，求的值.思路點撥：觀察，把握關(guān)鍵：換元，即把看成一個“整體”.解：由，得，所以，故或(舍去)，所以.總結(jié)升華：把某一“式子”看成一個“整體”，用換元的思想轉(zhuǎn)化為方程求解，這種轉(zhuǎn)化與化歸的意識要建立起來.類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用7.(武漢)

5、一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情況是( )A.有兩個相等的實數(shù)根; B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根; D.沒有實數(shù)根解析:因為=32-44(-2)0，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根.答案:B.8.(重慶)若關(guān)于x的一元二次方程x2+x-3m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A.m B.m C.m- D.m-思路點撥：因為該方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以應(yīng)滿足.解:由題意，得=12-41(-3m)0，解得 m-.答案:C.舉一反三：【變式1】當m為什么值時，關(guān)于x的方程有實根.思路點撥：題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分和兩種情形討論.

6、解：當即時，方程為一元一次方程，總有實根；當即時，方程有根的條件是：，解得當且時，方程有實根.綜上所述：當時，方程有實根.【變式2】若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)解，求ax+30的解集(用含a的式子表示)思路點撥：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定a的值是正、負或0因為一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范圍解：關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0沒有實數(shù)根(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+80滿足ax+30即a

7、x-3所求不等式的解集為.類型四、根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值9.(河北)若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的兩個根，則x12+x22的值是( )A. B. C. D.7思路點撥:本題解法不唯一，可先解方程求出兩根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化成含有x1+x2和x1x2的代數(shù)式，再整體代入.解:由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=，x1x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2=.答案:A.總結(jié)升華:公式之間的恒等變換要熟練掌握.類型五、一元二次方程的應(yīng)用考點講解：1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型：一元二次方程也

8、是刻畫現(xiàn)實問題的有效數(shù)學(xué)模型，通過審題弄清具體 問題中的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的關(guān)鍵2注重解法的選擇與驗根：在具體問題中要注意恰當?shù)倪x擇解法，以保證解題過程簡潔流暢，特別要 對方程的解注意檢驗，根據(jù)實際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準確性10.(陜西)在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖.如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是( )A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0 D.x2-64x-1350=0解析:在矩形掛圖的四周鑲一條寬為xcm的金

9、邊，那么掛圖的長為(80+2x)cm，寬為(50+2x)cm，由題意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.答案:B.11.(?？?某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，依題意，得(500-20x)(10+x)=6000 整理，得x2-15x50=0解這個方程，x1=5，x2=10 要使顧客得到實惠，應(yīng)取x=5答：每千克應(yīng)漲價5元總結(jié)升華：應(yīng)抓住“要使顧客得到實惠”這句話來取舍根的情況12.(深圳南山區(qū))課外植物小組準備利用