直線的方程兩條直線的位置關(guān)系線性規(guī)劃

1、要點(diǎn)重溫之直線及線性規(guī)劃1直線的傾斜角的范圍：0 ， ） ， x 軸及平行于 x 軸的直線傾斜角是 0 而不是 ； y 軸及平行于 y 軸的直線的傾斜角為 而不是沒有傾斜角 （只是斜率不存在） ；已知斜率 （的范圍）2會(huì)求傾斜角（的范圍） ，記?。寒?dāng)傾斜角是銳角時(shí)，斜率 k 與同增同減，當(dāng)是鈍角時(shí)，k 與也同增同減。斜率的求法：依據(jù)直線方程依據(jù)傾斜角依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)方向向n量（以 a =（m,n ）（m 0）為方向向量的直線的斜率為）。關(guān)注斜率在求一類分式函數(shù)值m域時(shí)的運(yùn)用。舉 例 1已知兩點(diǎn) A（1， 5）， B（3，2），直線 l 的傾斜角是直 線傾 斜角的一 半，則直線 l的斜率解析：記直

2、線，4 ），l 的傾斜角為 ，則直線3 的單位圓，如右圖：當(dāng)直線 PA與圓相切時(shí)，其斜率分別為 0 和 3，4為：3AB 的傾斜角為 2 ，其斜率 tan2 =433y=k PA ， 0 。注：這里存在一個(gè) kPA在 0 與“之間”還是“之外”的問題，原44則是其間是否有斜率不存在的情況，若有則在“之外” ，若無則在“之間” 。鞏固 1 已知直線 l ：xcosy 2 0則l傾斜角的范圍是：鞏固 2實(shí)數(shù) x,y 滿足x22y22x 2yA 3, )B0,則 xy 42的取值范圍為 C （ , 3 遷移 點(diǎn) P 是曲線 y0,4332 上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 處切線的傾斜角為3D43,0)，則 的取

3、值范圍是 A 、 0,2B、0,2C、D、32, 42“點(diǎn)斜式”是直線方程的最基本形式，是其它各種形式的源頭， 但它不能表示斜率不存在的直線； 解決“直線過定點(diǎn)” 的問題多用點(diǎn)斜式”。“斜截式” 最能體現(xiàn)直線的函數(shù)性質(zhì) （次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)是斜率） ，“斜截式”中所含的參數(shù)最少（ 2 個(gè)，而其它各種形式中都是3 個(gè)），所以用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)多設(shè)為 “斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直線?！敖鼐嗍健?最能反映直線與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系；注意：截距是坐標(biāo)而不是距離；在兩坐標(biāo)軸 上截距相等的直線斜率為 -1 或 過原點(diǎn) ；“截距式”不能表示斜率為 0、斜率不存在以及過原 點(diǎn)的直線。“兩點(diǎn)式”完全

4、可以由“點(diǎn)斜式”替代， “兩點(diǎn)式”不能表示斜率為 0 和斜率不 存在的直線，但它的變形（ “積式”）： （x2 x1）（y y1） （y2 y1）（x x1） 卻能表示所有 的直線?！耙话闶健蹦鼙硎舅械闹本€，它是直線方程的“終極”形式。舉例已知直線 l ：kx+y - k+2=0 和兩點(diǎn) A（3，0），B（0，1），下列命題正確的是 （填上所有正確命題的序號(hào)） 。 直線 l對(duì)任意實(shí)數(shù) k 恒過點(diǎn) P（1，-2）； 方程 kx+y - k+2=0 可以表示所有過點(diǎn) P（ 1， - 2）的直線； 當(dāng) k=1及 k=2 時(shí)直線 l 在坐標(biāo)軸上的截距相等；x若 0 y0 1，則直線 （x0 1）（

5、y 2） （y0 2）（x 1）與直線 AB 及直線 l都有公共點(diǎn)； 3使得直線 l 與線段 AB 有公共點(diǎn)的 k 的范圍是 -3， 1；使得直線 l與線段 AB 有公共點(diǎn)的 k的范圍是 （ ，-31 ，） 。解析：直線 l ：y +2= - k（x -1）恒過 P（1，-2），方程 kx+y - k+2=0 不能表示直線 x=1，x0當(dāng) k= -1時(shí)直線 l 在坐標(biāo)軸上的截距相反；若y0 1，則點(diǎn) M （x0,y0）在直線 AB3上（截距式） ，又點(diǎn) P（1，-2）在直線 l ，而直線 （x0 1）（y 2） （y0 2）（x 1）過點(diǎn) M， P（兩點(diǎn)式），即與直線 AB 有公共點(diǎn) M，與直

6、線 l 有公共點(diǎn) P；直線 l 與線段 AB 有公 共點(diǎn)，不宜先解方程組再解不等式組（麻煩） ，數(shù)形結(jié)合易見，直線 l 應(yīng)在直線 PA到 PB 之 間，而其間有斜率不存在的位置，故命題正確。遷移 對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線( m+2 )x- (2m-1)y - (3m - 4)=0 和橢圓1恒有公共點(diǎn)，鞏固已知圓 C：x2+（y- 2 ）2=1，則在坐標(biāo)軸上的截距相等且與圓相切的直線有條？則 m 的取值范圍是3. “到角”的范圍：（ 0， ），“到角公式”就是兩角差的正切公式，多用于解決與角平分線有關(guān)的問題；“夾角”的范圍：（0， 。兩直線 l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C 2

7、=0 平行、垂直的條件有 “比”和“積”兩種形式（重合只有“比式”），如：l1 l 2A1A2+B 1B2=0，若 l1、l2 不重合，則 l1l2A 1B2=A2B1；判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)要特別注意斜率不存在及斜率為 0 的情形。舉例 1直線 l1：x=1 到直線 l 2 ： 2x+y+1=0 的角是： （ ）1A arctan2,B arctan2C- arctan21D arctan(- )解析：記直線 l1 到 l2 的角為 ，直線 l2 的傾斜角為 ，作圖可見 = - ，tan =-cot1 2 2 21= ,故選 B 。2舉例 2已知 P（x0,y0）是直線 l ：f（x,y）=0

8、 外一點(diǎn)，則直線 f（x,y）+f （x0,y0）=0與直線 l 的 位置關(guān)系是 ；設(shè) a、 b、c分別是 ABC中角A、B、C的對(duì)邊，則直線 :xsin A ay c 0 與直線 bx ysinB sinC 0的位置關(guān)系是。解析：方程 f（x,y）=0 與 f（x,y）+f （x0,y0）=0 兩變量的系數(shù)完全相同，而 f（x0,y0） 0，即 常數(shù)項(xiàng)不同，故平行；由正弦定理知：bsin A asinB 0 ，故垂直。鞏固已知直線 l 1的方程為 y=x，直線 l2的方程為 y=ax+b（a,b為實(shí)數(shù) ），當(dāng)直線 l1與 l2夾角的范圍為 0，) 時(shí)， a 的取值范圍是：12A.( 3 ,1

9、)(1, 3 ) ，B.(0，1) ， C.( 3 , 3 ) ， D.(1, 3 ) 33遷移直線 x a2y 1 0與直線 a2 1x by 3 0互相垂直， a,b R,則|ab |的最小 值是： A 1 B2 C4 D5 （ ） 4點(diǎn)到直線的距離公式在求三角形的面積、判斷直線與圓的位置關(guān)系、求圓的弦長(zhǎng)、解決 與圓錐曲線的第二定義有關(guān)的問題等場(chǎng)合均有運(yùn)用， 推導(dǎo)兩平行線間的距離公式也是它的一個(gè)運(yùn)用。 舉例 已知 5x 12y 60，則 x2 y2 的最小值是 :A. 60B. 13C. 13 D. 113512解析：x2 y2 表示直線 l ：5x 12y 60 上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其

10、最小值即原點(diǎn)到直線的距離，選 A 。注：此題若代入消元、配方求最值則很麻煩。鞏固直線 l過點(diǎn)（ 1， 0），且被兩平行直線 3x+y-6=0 和 3x+y+3=0 所截得的線段長(zhǎng)為 9， 則直線 l 的方程為。遷移 若動(dòng)點(diǎn) P（x,y ）滿足|x+2y-3|= （x 1）2 （y 2）2，則 P點(diǎn)的軌跡是：A 圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線提高若 a、b、c 為實(shí)數(shù)，恒存在實(shí)數(shù) x,y, 使得 ay-bx=c （x a）2 （y b）2 0, 則a、b、2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c 滿足 : A.c a +b B.c a+b C.c 0(a0) 所 表 示 的 區(qū) 域 為

11、直 線 ax+by+c=0 的 右 側(cè) ， 不 等 式 舉例 已知 x,y 滿足約束條件：2x-y 0,x+y-2 0,6x+3y 18,且 z=ax+y(a0) 取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個(gè) , 求 a 的值。解析：要使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，令 ax+y=0 并平移使之與過24點(diǎn) C( , )(可行域中最左側(cè)的點(diǎn))的邊界33ax+by+c0) 所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ ax+by+c=0 的左側(cè)； a 0 時(shí)情況相反。 也可以說： 不 等 式 ax+by+c0(b0) 所 表 示 的 區(qū) 域 為 直 線 ax+by+c=0 的 上 方 ， 不 等 式 ax+by+c0) 所表示的區(qū)

12、域?yàn)橹本€ ax+by+c=0 的下方； b 0 時(shí)情況相反。目標(biāo)函數(shù) z=mx+ny(m0) 在“可行域” D 內(nèi)的最值：令 mx+ny=0, 在“可行域” D 內(nèi)平移直線 mx+ny=0 使之位于最左側(cè)，此時(shí) z 取得最小值 ; 位于最右側(cè)，此時(shí) z 取得最大值 ;m0), 也可以說：在“可行域” D 內(nèi)平移直線 mx+ny=0 使之 位于最下方，此時(shí) z 取得最小值 ; 位于最上方，此時(shí) z 取得最大值 ;n0，只能和 AC 重合， a=1舉例 2已知點(diǎn) P(3,-1)和 Q(- 1,2)，直線 l ： ax+2y- 1=0 與線段 PQ有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取 值范圍為：A.1a3B.a

13、1 或 a3C.a1D.a 3解析：本題可參照“ 3舉例 ”的做法，確定直線 l 的斜率的范圍。現(xiàn)在用不等式所表 示的區(qū)域解決：直線 l與線段 PQ有公共點(diǎn)即點(diǎn) P、Q在直線 l的兩側(cè)或在直線 l 上，記：f (x,y)= ax+2y -1,則 f(3,- 1)f( - 1,2) 0,解得： a1或a3，選 B?！?舉例”也可照此 辦理。 鞏固 1 已知 x,y 滿足約束條件： 2x-y 0,x+y-2 0,6x+3y 18, 且 z=ax+y 取得最大值的 最優(yōu)解恰為( 3 ,3 )，則 a 的取值范圍是 。2 鞏固 2 點(diǎn)(-2，t )在直線 2x-3y+6=0 的上方，則 t 的取值范圍

14、是 。遷移 雙曲線 x2-y2=1右支上一點(diǎn) P(a,b)到直線 y=x 的距離為 2 ，則 a+b 的值是 ( ) 111 11A. - B. C. - 或 D.2 或222 227關(guān)注“線性規(guī)劃”問題的各種“變式” ：“可行域”由不等式和方程共同確定(為線段 或射線)，“約束條件”由二次方程的“區(qū)間根”間接提供，“約束條件”非線性， 舉例 實(shí)系數(shù)方程 x2b 2 的取值范圍是1解析：x2ax 2b目標(biāo)函數(shù)非線性，如： (斜率)， (x a)2 (y b)2 (距離)等。 ybf (x) = x2a 2b 04ax 2b 0的一個(gè)根大于 0 且小于 1，另一個(gè)根大于 1且小于 2，f (0)

15、 f (1) f (2)b 2 1 記 A(1，2)，線段 PA的斜率為 kPA ，kPA = ,1 。a 1 4 鞏固 若 x,y 滿足 :x+y-3 0,x-y+1=0,3x-y-5 0, 設(shè) y=kx, 則 k 的取值范圍是 2 2 2 提高 已知不等式 ax2+bx+a0) 的解集是空集，則 a2+b2-2b 的取值范圍是簡(jiǎn)答391鞏固 10, 3 , ) ，鞏固 2A ，遷移 B；2、鞏固3，遷移(9,9) (9, )；4 4 23、鞏固C ， 遷移B ； 4、 鞏固4x+3y - 4=0或 x=1；遷移將條件變形為：22(x 1)2 (y 2)2|x 2y 3|5 ，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知P點(diǎn)軌跡為雙曲線； 提高 將條件變形為： ay bx (x a)2 (y b)2 ，問題轉(zhuǎn)化為：直線 ay bx cr 和圓 c(x a)2 (y b) 2r2 的公共點(diǎn)，于是有：|ab ba cr |2 2 2 即： c2 a2+b2；25、鞏固 10 ，遷移 A；6、鞏固 1