計數原理、排列組合題型與方法

1、實用標準文案 文檔 計數原理、排列組合題型與方法 基本思路：大的方向分類，類中可能有步或類 例1:架子上有不同的2個紅球，不同的3個白球，不同的4個黑球.若從中取2個不同 色的球，則取法種數為 . 解：先分類、再分步，共有取法 2X 3 + 2X 4+ 3X 4= 26種故填26. 基本思路：大的方向分步，步中可能有類或步 例1:如圖所示，使電路接通，開關不同的開閉方式有（） A. 11 種B. 20 種 C. 21 種D. 12 種 解：分兩步，第一部分接通，則可能有一個接通或者兩個都接通，有 3種可能；第二部 分接通，則可能恰有一個接通或恰有兩個接通或者都接通， 有7種可能。從而總共有3

2、7=21 種方式。 基本思路：排除法間接求解 3 例1： （2013 濟南模擬）電路如圖所示，在A，B間有四個開關, 若發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則這四個開關打開或閉合的方式有 （ ） A.3種B.8種 C.13 種D.16 種 解：各個開關打開或閉合有2種情形，故四個開關共有24種可能，其中能使電路通的情 形有：1, 4都閉合且2和3中至少有一個閉合，共有3種可能，故開關打開或閉合的不同情 形共有24-3= 13（種）.故選C. 剔除重復元素 例1： （2013-四川）從1, 3, 5, 7, 9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別記為a， b,共可得到Iga Igb的不同值的個數是（） A.

3、9 B.10 C.18 D.20 a 1339 解: lg a lg b= Ig b，而3=9，1= 3,故所求為 A5 2= 18個，故選 C. 投信問題 例1:將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有（） A.53種 B.3 5種 C.3 種 D.15 種 解：第1封信，可以投入第1個郵筒，可以投入第2個郵筒，也可以投入第3個郵筒， 共有3種投法；同理，后面的4封信也都各有3種投法.所以，5封信投入3個郵筒，不同的 投法共有35種.故選B. 例2:有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？ （不一定六名同學都能參加） （1）每人恰好參加一項，每項人數不限； （2

4、）每項限報一人，且每人至多參加一項； （3）每項限報一人，但每人參加的項目不限. 解（1）每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同選法，由分步乘法計數 原理，知共有選法36= 729（種）. （2）每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法, 第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步乘法計數原理，得共有報名方 法 6X 5X 4= 120（種）. （3）由于每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，由分步 乘法計數原理，得共有不同的報名方法63= 216（種）. 數字排列問題 例1:用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重

5、復數字的四位數 （1）可組成多少個不同的四位數？ （2）可組成多少個不同的四位偶數？ 解： 直接法：A5A3= 300;間接法：A6-A3 300. 由題意知四位數的個位上必須是偶數，同時暗含了千位不能是0，因此該四位數的個 位和千位是“特殊位置”，應優(yōu)先處理；另一方面，0既是偶數，又不能排在千位，屬“特殊 元素”，應重點對待 解法一：（直接法）0在個位的四位偶數有A5個；0不在個位時，先從2, 4中選一個放在 個位，再從余下的四個數（不包括0）中選一個放在千位，應有 a2a4a4個. 綜上所述，共有A5+a2a!a4= 156（個）. 解法二：（間接法）從這六個數字中任取四個數字組成最后一位

6、是偶數的排法，有個, 其中千位是0的有AA2個，故適合題意的數有 AA A= 156（個）. 點撥： 本例是有限制條件的排列問題，先滿足特殊元素或特殊位置的要求，再考慮其他元素或 位置，同時注意題中隱含條件0不能在首位 例2：用數字2, 3組成四位數，且數字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數共有 個（用數字作答）. 解析 數字2, 3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況： “2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C4= 4（個）四位數. “ 2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C4= 6（個）四位數. “2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C4= 4（個）四位數. 綜上所述，共可組成14個這樣的四

7、位數. 例3: （2014 武漢模擬）如果正整數M的各位數字均不為4，且各位數字之和為6，則稱 M為“幸運數”，則三位正整數中的“幸運數”共有 個. 解：不含4,且和為6的三個自然數可能為（1，2, 3），（1，5，0），（2，2，2），（3，3, 0），（6，0，0）.因此三位正整數中的“幸運數”有 A + 2A2 + 1+ A2+ 1 = 14（個）.故填14. 錯位排列 例1：將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格中，每格填一個數，則每個 方格的標號與所填數字均不相同的填法有 中. 解析 編號為1的方格內填數字2,共有3種不同填法；編號為1的方格內填數字3,共 有3種不同

8、填法；編號為1的方格內填數字4,共有3種不同填法.于是由分類加法計數 原理，得共有3+ 3+ 3= 9（種）不同的填法. 例2: （2013 成都模擬）用6個字母A, B, C, a, b, c編擬某種信號程序（大小寫有區(qū) 別）.把這6個字母全部排到如圖所示的表格中，每個字母必須使用且只使用一次，不同的排 列方式表示不同的信號，如果恰有一對字母（同一個字母的大小寫）排到同一列的上下格位置， 那么稱此信號為“微錯號”，則不同的“微錯號”總個數為（） A.432B.288C.96 D.48 解：根據題意，分3步進行：先確定排到同一列的上下格位置的一對字母，有3 種情況，將其放進表格中，有 c3=

9、3種情況，考慮這一對字母的順序，有 A= 2種不同順序； 再分析第二對字母，其不能排到同一列的上下格位置，假設選定的一對大小寫字母為A 和a,則分析B與b： B有4種情況，b的可選位置有2個；最后一對字母放入最后兩個位 置，有A2= 2種放法則共有3X 3X 2X 4X 2X 2 = 288個“微錯號” 故選B. 選派分配問題 例1: 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派 四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工 作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 () A. 36 種B. 12 種C. 18 種D

10、. 48 種 解：根據題意分2種情況討論，若小張或小趙入選，則有選法C21C21Ab3=24; 若小張、小趙都入選，則有選法 A2A2=12，共有選法12+24=36種，故選A. 例2: 2015年開春之際，六中食堂的伙食在百升老師的帶領下進行了全面升級.某日5 名同學去食堂就餐，有米飯，花卷，包子和面條四種主食.每種主食均至少有一名同學選擇 且每人只能選擇其中一種.花卷數量不足僅夠一人食用，甲同學因腸胃不好不能吃米飯，則 不同的食物搭配方案種數為() A. 96 B . 120 C . 132 D . 240 解：分類討論：甲選花卷，則有2人選同一種主食，方法為二-=18，剩下2人選其余主食

11、， 方法為.=2,共有方法18 X 2=36種； 甲不選花卷，其余4人中1人選花卷，方法為4種，甲包子或面條，方法為2種，其余3人, 若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3 =6;若沒有人選甲選的主食，方 法為.t=6，共有 4X 2X( 6+6) =96種， 故共有36+96=132種，故選：C. 分堆與分配問題 例1:現(xiàn)有6本不同的書： (1) 甲、乙、丙三人每人兩本，有多少種不同的分配方法？ (2) 分成三堆，每堆2本，有多少種分堆方法？ (3) 分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？ (4) 分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少

12、種不同的分配方法？ (5) 甲、乙、丙三人中，一人分 4本，另兩人每人分1本，有多少種不同的分配方法？ 解：(1)在6本書中，先取2本給甲，再從剩下的4本書中取2本給乙，最后兩本給丙， 共有90(種)分配方法； C2C2 (2) 6本書平均分成3堆，用上述分法重了 A倍，故共有 飛 =15(種)分堆方法； (3) 從6本書中，先取1本作為一堆，再在剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為 一堆，共有CCIC 60(種)分堆方法； 在 的分堆中，甲、乙、丙三人任取一堆，共有C6c5c3a3=360(種)分配方法. （5）先分堆、再分配，共有 CCC1 A = 90（種）分配方法. 點撥: 平均分

13、配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆數的全排列分堆到位相當于分堆 后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數為: 平均分堆到指定位置 堆數的階乘 .對于分堆與分 配問題應注意：處理分配問題要注意先分堆再分配被分配的元素是不同的（像“名額” 等則是相同元素，不適用），位置也應是不同的（如不同的“盒子”）.分堆時要注意是否均 勻如6分成（2，2，2）為均勻分組，分成（1，2, 3）為非均勻分組，分成（4，1，1）為部分均 勻分組 例2： 4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內 （1）恰有1個盒不放球，共有多少種放法？ （2）恰有2個盒不放球，共有多少種放法？ 解：（1）為保證“恰有

14、1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉化為“ 4 個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有多少種放法？ ”即把 4個球分成2，1，1的三 組，然后進行全排列，共有 C 而后，對三組學生全排三 所學校，即進行全排列，有 A3種依分步乘法計數原理，共有 N= CA3二36（種）. 4、在某種信息傳輸過程中，用 4個數字的一個排列（數字允許重復）表示一個信息，不同 排列表示不同信息，若所用數字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應位置上的數字 相同的信息個數為（ ） A. 10 B . 11 C . 12 D . 15 解析 與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息包括三

15、類： 第一類：與信息0110有兩個對應位置上的數字相同有 CU 6（個）; 第二類：與信息0110有一個對應位置上的數字相同有4（個）; 第三類：與信息0110沒有一個對應位置上的數字相同有 6= 1（個）; 故與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息有6 + 4+ 1 = 11（個）. 答案 B 5、將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，上海交通大學，浙江大學等三所大學就 讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數為（）種. A. 240 B. 180 C. 150 D. 540 解：當5名學生分成2, 2, 1或3, 1, 1兩種形式， _1 當5名學生分成2, 2, 1時，共

16、有G2G2A3=90種結果， 當5名學生分成3, 1, 1時，共有G3A3=60種結果， 根據分類計數原理知共有 90+60=150故選：C 則正反依次相對有12121212, 21212121兩種；有兩枚反面 相對有 21121212, 21211212, 21212112;共 5 種擺法，故選 B 7、我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架殲-15飛機準備 著艦.如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有 （） A. 12B. 18C. 24D. 48 解：把甲、乙看作1個元素和戊全排列，調整甲、乙，共有種方法，再把丙、丁 插入到剛才“兩

17、個”元素排列產生的 3個空位種，有.種方法，由分步計算原理可得總的方 法種數為:廠. v=24 故選C 8、某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入 4名學生，要安排到該年級的兩個班級且 每班安排2名，則不同的安排方案種數為（） A. 60B. 90C. 120D. 180 解：把新轉來的4名學生平均分兩組，每組2人，分法有種，把這兩組人安排 Aq 2 到6個班中的某2個中去，有A種方法，故不同的安排種數為-AQc，故選答案B. 2 9、如圖，A、B、C、D為四個村莊，要修筑三條公路，將這四個村 莊連起來，則不同的修筑方法共有（） A. 8 種 B . 12 種 C. 16 種 D . 20 種

18、 10、平面內有4個紅點，6個藍點，其中只有一個紅點和兩個藍點共線，其余任意三點不共 線，過這十個點中的任意兩點所確定的直線中，至少過一紅點的直線的條數是（）C A. 27 B . 28 C . 29 D . 30 11、已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成 一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，貝U不同的排法共有（） A. 48 種 B . 72 種 C . 78 種 D . 84 種 解析：由題意知先使五個人的全排列，共有 A5種結果.去掉相同顏色衣服的人相鄰的情況， 穿藍色相鄰和穿黃色相鄰兩種情況穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是A5- A2A22

19、A3- 2A2A2A2=48，故選 A . 12、 兩個三口之家，共4個大人，2個小孩，約定星期日乘“奧迪”、“捷達”兩輛轎車結伴 郊游，每輛車最多只能乘坐4人，其中兩個小孩不能獨坐一輛車，則不同的乘車方法種數是 （ ） A . 40 B . 48 C . 60 D . 68 解：只需選出乘坐奧迪車的人員，剩余的可乘坐捷達. 若奧迪車上沒有小孩，則有-廠=10種； 若有一個小孩，則有-:（ +.+.）=28種； 若有兩個小孩，則有 ：+ ；=10種. 故不同的乘車方法種數為10+28+10=48種. 故選：B. 13、 現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，

20、要求 取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為（） A. 232 B . 252 C . 472 D . 484 解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有 一.:種取法， 兩種紅色卡片，共有- -1種取法， 故所求的取法共有；.-=560- 16-72=472 故選C. 14、如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇.要求每一個區(qū)域只涂 一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）C A. 24 種B . 48 種 C . 72 種 D . 96 種 15、給四面體ABCD的六條棱分別涂上紅，黃，藍，綠四種顏色中的一種，使得

21、有公共頂點 的棱所涂的顏色互不相同，則不同的涂色方法共有 （） A . 96B. 144 C. 240D. 360 解析：先從紅，黃，藍，綠四種顏色中選一種，有c；種，排列種數有a4,故不同的涂色方法 共有CIA； =96，故選A. 16、某人根據自己愛好，希望從W,X,Y,Z中選2個不同字母，從026,8中選3個不同數 字編擬車牌號，要求前3位是數字，后兩位是字母，且數字 2不能排在首位，字母Z和數字 2不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有 （A） 198 個（B） 180 個（C） 216 個（D） 234 個 解析：不選2時，有A3a4 = 72種, 選2,不選Z時，有c2c；A；a2=72

22、種， 選2,選Z時，2在數字的中間，有a2c2c3 = 36種，當2在數字的第三位時，a2a1 =18種， 根據分類計數原理，共有72+72+36+18=198故選：A 17、將紅、黑、藍、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球 和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數為（） A. 18 B . 24 C . 30 D . 36 解：將4個小球放入3個不同的盒子， 先在4個小球中任取2個作為1組，再將其與其他2個小球對應3個盒子， 共有G2A3=36種情況， 若紅球和藍球放到同一個盒子，則黑、黃球放進其余的盒子里，有Ab3=6種情況， 則紅球和藍球不放到同一個盒子的放法種數為36- 6=30種；故選C. 18、如圖所示2 2方格，在每一個方格中填入一個數字，數字可以是 1、2、3中的任何一 個,允許重復.若填入A方格的數字大于B方格的數字，則不同的填法共有 中（用 數字作答）. * 解：若A方格填3,則排法有2 32種，若A方格填2,則排法有1 32種，所以不同的填法 有27種. 19、把13個相同的球全部放入編號為1、2、3的三個盒內，要求盒內的球數不小于盒號數， 則不同的放入方法種數為（）A A. 36 B. 45C. 66D.78 20、 用直線y二m和直線y二x將區(qū)域x2 y2豈2分成若干塊?，F(xiàn)在用5種不同的顏色給這 若干塊