行列式的計算畢業(yè)論文

1、行列式的計算摘要：行列式是研究許多學(xué)科的重要工具，因此行列式的計算是大家共同關(guān)注的問題本文介紹了幾種 特殊而且行之有效的行列式的計算方法.關(guān)鍵詞：范徳蒙行列式；降階法；升階法；遞推法；數(shù)學(xué)歸納法；代數(shù)余子式的訃算；拉普拉斯左 理展開符號說明：/; 表示第i行Cj表示第j列M,表示行列式元素知的余子式每表示行列式元素勺的代數(shù)余子式kr, + r.表示第i行的k倍加到第j行kq + 5 表示第i列的k倍加到第j列The Calculation of the DeterminantMA Zhi-e(College of Mathematics and Statistics, Northwest No

2、rmal University,Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract： The determinant is an important tool to study many disciplines, so the calculation of the determinant is a commonly concerned problem. Several particular and effective methods of calculating the determinant are introduced in this paper.Key words

3、: Vandermonde determinant; reducing order method; ascending order method; recursive methods; mathematical induction; calculation of algebraic complement; method of Laplace expansion;16引言使用行列式按行（列）展開，可以將行列式寫成低一階的行列式的代數(shù)和，從而將行列 式降一階.但是，山于展開式是”項代數(shù)和，因此計算量任很大，可以考慮一些減少計算量的 方法，并且選擇最佳訃算方法.行列式是研究許多學(xué)科的重要工具，因此行

4、列式的計算是大 家共同關(guān)注的問題.課本中只介紹了兒種計算方法，本文主要介紹兒種特殊而且行之有效 的行列式的計算方法，具有針對性.一、化行列式為三角行列式/f 1匹7j2 J00使用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角行列式1 1111 20 .0例1.1計算行列式q =1 03 .01 00n箭形行列式111可化為箭形的行列式xa2 5ax2他qa2qa2冷例1.2計算階行列式9 =(a;= 町166x2-a2=口(兀-4)r-1禺一5-1-1箭形行列式%一00(X. HqJ = 2,n)0兀3_&3011X”x+( j)dfax-a朮;為口（兀如r-Ifl(兀-4)i-1行（列）和相等的行列式例1.

5、3 計算戸階行列式$ =xx + (n-l)a a aX + (/7-l)6/ x a = x + (n_l)a1aa1xa x + (n-)a a x1 a xx-a 相鄰行（列）元素差1的行列式以數(shù)字l,2n為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素相差1的”階行列式可如下計16算：自第一行（列）開始，前行（列）減去后行（列），或自第“行（列）開始，后行（列）減去 前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式.例L 4.1 計算階行列式Q =列，其中例1.4.2計算川階行列式。二12377-1n234n1345 12”一1n1/?-377-2n12n-272-1012n-2n-111 111

6、01 一 3n-2-1-11 1121072-4n-3一嚴(yán)-1-1-1 111-1.2.-.71-177-2H-3”一4 01-1一1-1 -11”一1n-2H-3 10一1n-2n-3 10一100 00一1-20 00-1-2-2 00二23 口 -1-2-2 -20/? -12舁一32/?-4 nn 1=(_1廠 2 _1)2 =123n 1n111 11-/7111 1 n 1111 -7Z1111-7?1 11161-7?1-n1-H1-77n(n + )21-/?-n1-7?=(嚴(yán)7-2.3.-. /H(77 + l)-21-/1-11-77-/7=T (n+1)/23“2-11n

7、-lh-2(f-2)n(n-0 n +1十1)=,嚴(yán)二、利用范德蒙行列式結(jié)果計算當(dāng)行列式各行（列）都是某元素的不同次幕的形式，使用行列式的性質(zhì)將行列式整理 成范德蒙行列式.16例2計算行列式Q =X”*解考慮” + 1階范德蒙行列式1X；11 I1州X2 兀X222 俎X /I-2/|-2h-2丿一2無花八x”X7 /i-lw n-i2 H-!H-1州x2兀X /I H丿rX2 x”A/W =/i+i=（冊）（兀）（俎）n （兀-勺）1/；!顯然Q就是輔助行列式“兀）中元索嚴(yán)的余子式叫卻，即DK=M.,r+l = （-1）n+，+1 A“.”嚴(yán)-A“.n+而Fll/（x）的表達(dá)式知,-嚴(yán)的系數(shù)

8、為A“”+=-（召+兀2+T”）YI （兀一形） IS jirIi2=t7j.V + Cl-fX + + 6/f_|X + Clnh 00例5. 2b計算階行列式Dn = b解將$中第n列元素表示成兩數(shù)之和，然后拆成兩個行列式相加，即0aa a + 0b0a a + 02 =bb0.a + 0 b b bd+(-d)0aa a0tia 0b0a ab0a 0=bh0 .a+b b0 0b bbah bb-a將上式等號右邊第一個行列式從第二行起，每一行的(-1)倍加到上一行，將第二個行列式按第農(nóng)列展開,得,ba000-ba.0D產(chǎn)00-b.0 -心bbba16將上式等號右邊第一個行列式按第幵列展

9、開，得2=(-礦-噸1山字母d與啲對稱性顯然有D”=W-bD_聯(lián)立得，冋+叫嚴(yán)心)1Dll+bDn_1=h(-a)n-1當(dāng)“陰,可解得D” =(_1)”S(嚴(yán)+(/憐+ .譏嚴(yán)+戻-2),當(dāng)2/刪，易算出必(n-l)an六、數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)已知一個“階行列式的結(jié)果，要證明其等式對于任意的自然數(shù)都成立，常使用數(shù)學(xué)歸納法證明.如果未知“階行列式的結(jié)果，也可以先計算當(dāng)“ = 1,2,3時的行列式值，推導(dǎo)出階行列式的結(jié)果，然后使用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性.這種方法通常用在證明階行列式的等于某個值的題口中.1 + d1 i111 + i1例6證明。嚴(yán)=叩2綣1+工丄11 1 +如1-ia+bDll_i= b,l-ln+b(b,-1a_x+bDn_1) = bn-ian+blt-a_b2Dn_2=尸何+%+.+勺)+曠0=曠 a+% + +。2)+燈+”)=戻“ b +土務(wù)/-I16參考文獻(xiàn)1 徐仲線性代數(shù)典型題分析解集.2版.四北工業(yè)大學(xué)岀版社,19972 趙慧斌，髙旅瑞.線性代數(shù)專題分析與解題指導(dǎo).北京大學(xué)出版社,2007, 83 張?zhí)鞆?，蔣曉蕓.線性代數(shù)習(xí)題精選精解.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2009, 12【4】上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)習(xí)題與精解.2版.上海交通大學(xué)出版社，2004, 6【5】劉書陽，王中良編.線性代