立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法講解

1、立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)： 由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 立體幾何論證題的解答中， 利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線 （或面） 是解題的常用方 法之一。 明確何時(shí)應(yīng)用判定定理， 何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理， 用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié) 論。垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直 ；基礎(chǔ)篇類(lèi)型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（ 1） 共面垂直：實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直 （只需要同學(xué)們掌握以下幾種模型）1 等腰（等邊）三角形中的中線2 菱形（正方形）的對(duì)角線互相垂直3 勾股定理中的三角形4 1:1:2 的直角梯

2、形中 5 利用相似或全等證明直角。例：在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，O 為底面 ABCD 的中心， E為CC1,求證： A1O OE（2）例1異面垂直 （利用線面垂直來(lái)證明，高考中的意圖） 在正四面體 ABCD 中，求證 AC BD如圖 ，在四 棱錐 P ABCD 中， 底面 ABCD是矩形 ，AB 3,AD 2,PA 2,PD 2 2, PAB 60 證明： AD PB ；變式 2 如圖，在邊長(zhǎng)為 2的正方形 ABCD 中，點(diǎn) E是 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) F是BC的中點(diǎn)，將 AED, DCF 分別沿 DE,DF 折起，使 A,C 兩點(diǎn)重合于 A. 求證:AD EF ；變式 3 如圖，在

3、三棱錐 P ABC 中， PAB 是等邊三角形， PAC=PBC=90 o證明： AB PC類(lèi)型二：線面垂直證明方法 1 利用線面垂直的判斷定理例 2：在正方體 ABCD A1B1C1D1中， O為底面 ABCD 的中心， E 為CC1 ,求證：A1O 平面 BDE變式 1：在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， ,求證： A1C 平面BDC1變式 2：如圖：直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90 .E為 BB1的中點(diǎn)， D 點(diǎn)在 AB 上且 DE= 3 . 求證： CD 平面 A1ABB 1；變 式 3 ： 如 圖 ， 在 四 面 體 ABCD 中 ，

4、O 、 E 分 別 是 BD 、 BC 的 中 點(diǎn) ，CA CB CD BD 2 , AB AD 2.求證： AO 平面 BCD ；EADBC， ABC 90， PA 平面 ABCD PA 3，AD 2，AB 2 3，BC 6變式 4 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 P ABCD 中，方法點(diǎn)撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式 1, 在四棱錐 P ABCD ，底面 ABCD 是正方形，側(cè)面 PAB 是等腰三角形，且面PAB 底面 ABCD ,求證： BC 面PAB變式 2：類(lèi)型 3：面面垂直的證明。 （本質(zhì)上是證明線面垂直 ）例 1 如圖，已知 AB 平面 ACD ，AD DE 2AB， F

5、 為CD的中點(diǎn) .（1） 求證： AF / 平面 BCE ；（2） 求證：平面 BCE 平面 CDE ；E例2如 圖 ， 在 四 棱 錐 P A B C中 ，PA 底 面 A B C ，DAB AD，AC CD， ABC 60， PA AB BC ， E是PC 的中點(diǎn)1）證明 CD AE ； （ 2）證明 PD 平面 ABE ；變式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形，ABC 60 ， E、F 分別是棱 CC與 BB上的點(diǎn)，且 EC=BC =2FB=2 （ 1）求證：平面 AEF平面 AACC；舉一反三1.設(shè) M 表示平面，a、b 表示直線，給出下列四個(gè)命題： a/baMbM a

6、 MbMa/b a Mb Mab a/ Mb M.ab其中正確的命題是 ( )A. B.C.D.2. 下列命題中正確的是( )A. 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面B. 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C. 若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線D. 若一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面3. 如圖所示，在正方形 ABCD 中， E、F分別是 AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、 CDF 和 BEF折起，使 A、B、C 三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 P.

7、那么，在四面 體 P DEF 中，必有( )A.DP平面 PEF B.D 4.設(shè) a、 b 是異面直線，下A.過(guò)不在 a、 b 上的一點(diǎn) B.過(guò)不在 a、 b 上的一點(diǎn) P 一定C.過(guò) a 一定可以作一個(gè)平面與 b 垂直 D.過(guò) a 一定可以作一個(gè)平面與 b 平行 5.如果直線 l,m 與平面 ,滿足:l=可列正b 都垂直F C.PM 是 作一條直線和 一個(gè)平面和面 DEF D.PF平面 DEF第 3 題圖A. 且 lm6.AB 是圓的直徑，P到 AB的距離為A.1 B.2B. 且 m ,lC.m 且 lm,m 和 m ,那么必有(D.且C 是圓周上一點(diǎn)， PC 垂直于圓所在平面，若 BC=1

8、,AC=2,PC=1，則)C. 2 553557. 有三個(gè)命題： 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行； 過(guò)平面 的一條斜線 l 有且僅有一個(gè)平面與 垂直； 異面直線 a、 b 不垂直，那么過(guò) a 的任一個(gè)平面與 b 都不垂直 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38. d 是異面直線 a、b 的公垂線，平面 、 滿足 a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A. 與必相交且交線 md 或 m 與 d 重合B. 與必相交且交線 md 但 m與 d 不重合C. 與必相交且交線 m與 d 一定不平行D.與不一定相交9. 設(shè) l、m 為直線， 為平面，且 l ，給出下列命題 若 m，則 m

9、l；若 ml，則 m ；若 m ，則 ml；若 ml，則 m ，其中真命題的序號(hào)是( )A.B.C. D. 10. 已知直線 l平面 ，直線 m 平面 ，給出下列四個(gè)命題：若，則 lm；若 ，則 lm；若 lm，則；若 lm，則 .其中正確的命題是 ( )A.與B.與C.與 D. 與、思維激活 的同側(cè)，它們?cè)?AA 3cm，BB內(nèi)的射影分別為 A， B， 5cm， CC 4cm，則 A11. 如圖所示， ABC 是直角三角形， AB 是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面 C，如果 A B C是正三角形，且 B C的面積是.第 11 題圖第 12 題圖 A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?ABCD 滿足

10、條件 有 A1CB1D1(注 :填上你認(rèn)為正確的一種條件即可 ,不必考慮所有可能的情形 ) 13.如圖所示，在三棱錐 VABC 中，當(dāng)三條側(cè)棱 VA、VB、VC 之間滿足條件 有 VC AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)12.如圖所示 ,在直四棱柱時(shí),時(shí)，三、能力提高14. 如圖所示 ,三棱錐 V-ABC中,AH側(cè)面 VBC,且 H是 VBC 的垂心， BE 是 VC邊上的 高.(1) 求證 :VCAB;第 14 題圖(2) 若二面角 EABC的大小為 30,求 VC 與平面 ABC 所成角的大小 .15. 如圖所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分別是 AB、 PC 的中

11、點(diǎn) .(1)求證：MN平面 PAD.(2)求證： MNCD.(3) 若 PDA 45，求證： MN平面 PCD.16. 如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， 4，AD2，側(cè)棱 PB 15，PD 3 .(1) 求證： BD 平面 PAD.第 16 題圖(2) 若 PD 與底面 ABCD 成 60的角，試求二面角 PBC A的大小 . 第 15題圖a，M 是 AD 的中點(diǎn)， N 是 BD第 18 題圖17. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1= 6，M 是 CC1 的中點(diǎn)，求證： AB1 A1M18. 如圖所示，正方體

12、 ABCD ABCD的棱長(zhǎng)為 上一點(diǎn)，且 DNNB1 2，MC 與 BD 交于 P.(1) 求證： NP平面 ABCD.(2) 求平面 PNC 與平面 CCD D 所成的角 .(3)求點(diǎn) C 到平面 D MB 的距離 .第 4 課 線面垂直習(xí)題解答1. A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平 行.2. C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知 .3. A 折后 DP PE,DP PF， PEPF.4. D 過(guò) a上任一點(diǎn)作直線 b b,則 a， b確定的平面與直線 b 平行.5. A,m且 m ,則必有 ,又因?yàn)?l=則有 l ,而 m則 l m,故選 A.6. D

13、 P 作 PD AB 于 D ， 連 CD ， 則 CD AB ， AB= AC2 BC 2 5 ，CDAC BCAB2PD= PC2 CD2 1 4 3 5 .557. D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確 .8. A 顯然 與不平行 .9. D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面 垂直 .10. B ，l， lm11. 3 cm2 設(shè)正三角 AB C的邊長(zhǎng)為 a.22 2 2 2 2 AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4， 又 AC2+BC2=AB2， a2=23 2 3 2 SAB C=a cm 4212. 在直四棱柱 A1 B1C1D

14、 1 ABCD 中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?ABCD 滿足條件 ACBD(或任何能推導(dǎo)出 這個(gè)條件的其它條件，例如 ABCD 是正方形，菱形等 )時(shí) ,有 A1C B1D1(注:填上你認(rèn)為正確 的一種條件即可 ,不必考慮所有可能的情形 ).點(diǎn)評(píng)： 本題為探索性題目， 由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了 三垂線定理但答案不惟一 ,要求思維應(yīng)靈活 .13. VCVA，VCAB. 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB.14. (1)證明: H為 VBC的垂心 , VCBE,又 AH 平面 VBC, BE 為斜線 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC. (2)解:由(1)知 VC

15、 AB,VC BE, VC 平面 ABE,在平面 ABE上,作 ED AB ,又 ABVC, AB面 DEC. ABCD , EDC 為二面角 EABC 的平面角， EDC =30 ,AB 平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影為 CD. VCD 為 VC 與底面 ABC 所成角 ,又 VCAB,VC BE,VC面 ABE,VC DE, CED=90 ,故 ECD=60 ,第 15 題圖解VC與面 ABC 所成角為 60.15.證明： (1) 如圖所示，取PD 的中點(diǎn) E，連結(jié) AE， EN，則有 ENCD ABAM，11EN CD ABAM ，故 AMNE 為平行四邊形 .22MNAE

16、. AE 平面 PAD ，MN 平面 PAD， MN 平面 PAD.(2) PA平面 ABCD， PAAB.又 ADAB， AB平面 PAD. ABAE，即 AB MN.又 CDAB， MNCD.(3) PA平面 ABCD ， PAAD . 又 PDA45， E為 PD 的中點(diǎn). AEPD，即 MNPD.又 MNCD ， MN 平面 PCD.16.如圖 (1)證：由已知 AB 4，AD， BAD 60， 故 BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-224 1 12.第 16 題圖解2 又 AB2AD2+BD2， ABD 是直角三角形， ADB 90，即 AD BD .在 PDB 中

17、，PD 3，PB 15 ，BD 12， PB2PD2+BD2，故得 PD BD .又 PDADD， BD 平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD， BD 平面 ABCD. 平面 PAD平面 ABCD .作 PEAD 于 E， 又 PE 平面 PAD ， PE平面 ABCD ， PDE 是 PD 與底面 ABCD 所成的角 . PDE 60， PEPDsin60 3 3 3 .22 作 EF BC 于 F，連 PF，則 PF BF， PFE 是二面角 PBCA 的平面角 .又 EFBD 12 ，在 RtPEF 中，3PE 2 3tanPFEEF 2 3 4故二面角 PBCA 的大小為arcta

18、n 3417. 連結(jié) AC1，AC 3MC1 622 CC1C1 A1 Rt ACC 1Rt MC1A1， AC1C= MA1C1， A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1M AC1,又 ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又 B1C1A1C1， B1C1平面 AC1M. 由三垂線定理知 AB1 A1M.點(diǎn)評(píng)： 要證 AB1A1M，因 B1C1平面 AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M 一定會(huì)成立18.(1) 證明：在正方形 ABCD 中， MPD CPB，且 MD 1BC，2 DPPB MD BC12.又已知 DNNB 12， 由平行截割定

19、理的逆定理得 NPDD ，又 DD 平面 ABCD， NP 平面 ABCD.(2) NPDD CC， NP、CC在同一平面內(nèi)， CC為平面 NPC 與平面 CCDD 所成二面角的棱 . 又由 CC平面 ABCD ，得 CC CD，CCCM， MCD 為該二面角的平面角 .在 Rt MCD 中可知 MCD arctan 1 ，即為所求二面角的大小 .2a2 6(3) 由已知棱長(zhǎng)為 a可得，等腰 MBC面積 S1a2 ，等腰 MBD 面積 S2 46 a2 ，設(shè)所求距離為 h，三棱錐 D 即為三棱錐 CDMB 的高 .11BCM 體積為 S1 DDS2h ，33S1 a6ha.S23空間中的計(jì)算基

20、礎(chǔ)技能篇 類(lèi)型一：點(diǎn)到面的距離方法 1：直接法 把點(diǎn)在面上的射影查出來(lái)，然后在直角三角形中計(jì)算 例 1 ：在正四面體 ABCD 中，邊長(zhǎng)為 a，求點(diǎn) A 到面 BCD 的距離。變式 1 在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長(zhǎng)為 a,側(cè)棱長(zhǎng)為 b.求頂點(diǎn) V 到 底面 ABCD 的距離。變式 2在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長(zhǎng)為 a,側(cè)棱長(zhǎng)為 b.求頂點(diǎn) A 到底 面 VCD 的距離。方法 2：等體積法求距離 - 在同一個(gè)三棱錐中利用體積不變?cè)?，通過(guò)轉(zhuǎn)換不同 的底和高來(lái)達(dá)到目的。例2 已知在三棱錐 VABC 中， VA,VB,VC 兩兩垂直， VA=VB=3 ，V

21、C=4，求 點(diǎn)V 到面 ABC 的距離。變式 1：如圖所示的多面體是由底面為 ABCD 的長(zhǎng)方體被截面 AEC1F 所截而得到的，其 中 AB 4,BC 2,CC1 3,BE 1（ 1）求 BF 的長(zhǎng)；（ 2）求點(diǎn) C 到平面 AEC1F 的距離變式 2 如圖，在四棱錐 O ABCD 中，底面 ABCD 是四邊長(zhǎng)為 1 的菱形， ABC4OA 面 ABCD , OA 2 ,求點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離_O_D例 3 如圖，在四棱錐 O ABCD 中，底面 ABCD 是四邊長(zhǎng)為 1的菱形， ABC, OA4面 ABCD , OA 2 ,M 為 OC 的中點(diǎn)，求 AM 和點(diǎn) A 到直線 OC 的距離_O舉一反三1正三棱錐 P-ABC高為 2，側(cè)棱與底面所成角為 45 ，則點(diǎn) A 到側(cè)面 PBC 的距離是A 4 5B 6 5 C 6 D 4 6已知正三棱柱 ABC A1 B1C1的底面邊長(zhǎng)為 1，高為 8，一質(zhì)點(diǎn)自 A 點(diǎn) 沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá) A1 點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為2如圖，出發(fā)，A10B20 C 30 D40二、填空題：3太陽(yáng)光照射高為3 m的竹竿時(shí)，它在水平地面上的射影為 1m，同時(shí)，照射地面上一圓球時(shí)，如圖所示，其影子的長(zhǎng)度 AB等于 3 3 cm,則該球的體積為 4若一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)