近幾年平面向量考點(diǎn)考題分析

1、 1.7 近幾年平面向量考點(diǎn)、考題分析【 課標(biāo)要求 】(1) 平面向量的實(shí)際背景及基本概念：了解向量的實(shí)際背景 . 理解平面向量的概念及向量相 等的含義 . 理解向量的幾何表示 .(2) 向量的線(xiàn)性運(yùn)算掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義 . 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算 及其意義，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義 . 了解向量線(xiàn)性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義 .(3) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義 . 掌握平面向量的正 交分解及其坐標(biāo)表示 . 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算. 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件 .(4) 平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理

2、意義 . 了解平面向量的數(shù)量積與 向量投影的關(guān)系 . 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 . 能運(yùn)用數(shù)量積表示 兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 .(5) 向量的應(yīng)用會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題 . 會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué) 問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題 .【 考綱分析 】平面向量的概念與性質(zhì) (共線(xiàn)、模、夾角、垂直等 )要重點(diǎn)掌握 . 在選擇、填空中要重視平面向量 的幾何運(yùn)算 , 也要重視坐標(biāo)運(yùn)算 ( 有時(shí)要自己建系 ). 要注意三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量 形式和判斷條件 . 在其它知識(shí)，如解析幾何、不等式、函數(shù)中要注意平面向量的工具作用

3、( 如平行、 垂直可轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系求解 ).【 考點(diǎn)摸排 】平面向量在各類(lèi)考試 (包括高考試題 ) 中，重點(diǎn)突出向量的工具作用主要考查平面向量的性質(zhì) 和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，緊扣平面向量的和、差、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算法則及幾何意義不 放松；對(duì)于向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)形式下的向量的線(xiàn)性運(yùn)算也頻頻出手；利用向量的工具作用，試 題中也經(jīng)常出現(xiàn)和函數(shù)、曲線(xiàn)、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合，考察綜合運(yùn)用知識(shí)能力在近幾年的高考中，小 題以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，考查了向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，數(shù)乘、數(shù)量積、共線(xiàn)問(wèn)題與軌跡問(wèn) 題大題則以向量形式為條件，綜合考查了函數(shù)、三角、數(shù)列、曲線(xiàn)等問(wèn)題 .【熱點(diǎn)解析】熱點(diǎn) 1共線(xiàn)與垂直無(wú)

4、論是高考，亦或是平時(shí)的各種類(lèi)型的測(cè)試題中，與共線(xiàn)、垂直條件的應(yīng)用相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題比比皆是 . 雖然它們出現(xiàn)的面孔不盡相同， 但主要是圍繞共線(xiàn)、 垂直條件的兩種不同表現(xiàn)形式幾何形 式和坐標(biāo)形式展開(kāi)的 . 有時(shí)也會(huì)用到共線(xiàn)另一等價(jià)形式： . 設(shè) OA . OB 不共線(xiàn)， +=1，. R， 點(diǎn) P在 AB上，則： OP = OA + OB ， 反之亦成立 .例1.(1)(2013 年新課標(biāo) I高考 )已知兩個(gè)單位向量 a、b的夾角為 600，c ta (1 t)b，若b c 0，則t (2)(2013山東高考 ) 已知向量 |AB|=3 ，| AC |=2 且其夾角為1200，若 APAB AC , 且

5、AP BC ,則實(shí)數(shù) 的值為 ( ).1解:(1) c ta (1 t)b, b c 0, bc=tab+(1-t)b2=1- t=0, 可得 t=2. 2(2) AP BC , BC AC AB , 且 APAB AC ， ( AB AC)( AC AB) 0 .2 2 7即 ( 1)AB AC AC AB 0, 解得.12例 2.(1)設(shè)點(diǎn) C 在直線(xiàn) AB 上，點(diǎn) O 在直線(xiàn) AB 外，若對(duì) xR 滿(mǎn)足， x2 OA 2x OB OC 0 則下列結(jié)論正確的是 ( ).A.點(diǎn)C在線(xiàn)段 AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上且點(diǎn) B為線(xiàn)段 AC的中點(diǎn) . B.點(diǎn) C在線(xiàn)段 AB上.C.點(diǎn) C在線(xiàn)段 AB 的反向延長(zhǎng)

6、線(xiàn)上且點(diǎn) A為線(xiàn)段 BC的中點(diǎn). D.以上情況均有可能 (2) D 是 ABC的邊 BC 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，記 AD AB (1 )AC. 若關(guān)于 x 的方程：2sin2x- ( +1)sinx+1=0 在 0,2 )上恰有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ( ).A. -2. B. -2 或 2 2 2. C. 2 2 1. D. 1， 0. 又由于 0、 都不是原方程的解， 1 2sin x 1 ， sin xsin x令 t=sinx ，則 =2t 1 1,t ( 1,0) (0,1) ，由于 0，我們只需要考查“雙鉤函數(shù)”在第三象限的一支，可得當(dāng) b0) 的左、ab右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左頂點(diǎn)

7、為 A，若| F1F2| 2，橢圓的離心1率為 e2.(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2) 若 P 是橢圓上的任意一點(diǎn)，求PF1 PA的取值范圍；(3) 已知直線(xiàn) l ：y kx m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N( 均不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn))， AHMN，垂足為H且 AH2MHHN，求證：直線(xiàn) l 恒過(guò)定點(diǎn)22解:(1) 由已知得 c=1，a=2，b= 3 . 所求橢圓的方程為 x2 y2 1.432(2) 由(1) 得A(-2 ，0),F 1(-1,0) ，設(shè)P(x 0，y0)， PF1 PA ( 1 x0)( 2 x0) y02 x0 3x0 5.4 -2 x02, PF1PA的取值范圍為 0 ，12

8、.(3)y kx m 2 23x3 y4yk2x 1m2 0, (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0,由0得 4k2+3m2. 設(shè) M(x 1，y1)，N(x 2，y2).則 x1 x28km3 4k2,x1x224m2 123 4k 2AM AN (AH HM ) (AHHN)AH2AHHNHMAHHMHN0， (x12)(x22)y1y20，即 (1k2)x1x2(2km)(x1x2)4m20， 4k216km7m20，k21m或 k 72m，均適合當(dāng) k12m時(shí)，直線(xiàn)過(guò) A 點(diǎn)，舍去當(dāng) k27m 時(shí)，直線(xiàn) y kx 72k 過(guò)定點(diǎn) 72，0 .1例 10.（2013 浙江高考

9、）P0是 ABC的邊 AB上一定點(diǎn) ,滿(mǎn)足 P0BAB ,且對(duì)于邊 AB 上任一點(diǎn) P,4恒有 PB PC P0B P0C . 則（ ）.A. ABC 900 .B. BAC 900C. AB ACD. AC BC解：如圖1.7 5. 設(shè) AB=4 ，C(a，b)，P(x，0)則 BP0=1，A(2，0)，B(2 ，0)，P0(1，0)恒有2x）（ax）a1 恒成立 .=(1，0)， =(2 x， 0)， =(ax，b)，=(a1，22整理可得 x2(a+2)x+a+1 0恒成立 , =(a+2) 2 4(a+1) 0, 2即=a20, a=0，即 C 在 AB 的垂直平分線(xiàn)上， AC=BC.

10、 故 ABC 為等腰三角形 ,應(yīng)選 D.例 11.（2011 福建高考 ） 設(shè) V 是全體平面向量構(gòu)成的集合 ，若映射 f :V R 滿(mǎn)足：對(duì)任意向量a(x1,y1)V,b(x2,y2)V ,以及任意R，均有 f( a (1)b)f (a)(1) f (b)則稱(chēng)映射 f 具有性質(zhì) P. 現(xiàn)給出如下映射： f1:V R, f1(m) x y,m (x, y) V; f2 :V R, f2(m) x2 y,m (x, y) V; f3:V R, f3(m) x y 1,m (x,y) V. 其中，具有性質(zhì) P 的映射的序號(hào)為 .( 寫(xiě)出所有具有性質(zhì) P 的映射的序號(hào) ).解：由題意知 a (1)b

11、(x1,y1)(1)(x2, y2)(x1(1)x2,y1(1)y2),對(duì)于：f1( a (1 ) b)x1 (1 )x2 y1 (1 )y2,而f1( a)(1) f( b)(x1y1)(1)(x2y2 )x1(1)x2y1(1)y2 ,f1( a (1 )b)f1(a) (1 ) f1(b). 故中映射具有性質(zhì) P.對(duì)于：f2( a (1 )b) x1 (1 )x22y1 (1 )y2 ，而 f2(a)+(1- ) f2(b) (x12 y1) (1 )(x22 y2) x12 (1 )x22 y1 (1 )y2，f2( a (1 )b) f2(a) (1 ) f2(b) ，故中映射不具有

12、性質(zhì) P.對(duì)于：f3( a (1 )b)x1 (1 )x2y1 (1 )y2 1，而 f3(a)(1)f3(b)(x1 y1 1) (1 )(x2 y2 1) x1 (1)x2y1(1 )y2 1.f3( a(1)b)f3(a) (1 )f3(b) .故中映射具有性質(zhì)P.具有性質(zhì) P 的映射的序號(hào)為例 12.(2011 福建高考 )已知函數(shù) f(x) ex x.對(duì)于曲 線(xiàn) y=f (x)上橫坐標(biāo) 成等差數(shù)列的三 個(gè)點(diǎn)A,B,C ，給出以下判斷： ABC一定是鈍角三角形 . ABC可能是直角三角形 . ABC可能是等腰三角形 . ABC不可能是等腰三角形 . 其中 ，正確的判斷是 ( ).A.

13、.B. . C. . D. .解：設(shè)這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1 x2 x3)， x2 x1 x3 x2 ，BA (x1 x2,y1 y2 ), BC (x3 x2,y3 y2 ) ，由于 f(x) ex x為 R上的增函數(shù)，所以，BA BC 0，故 B為鈍角，所以成立， 不成立，若為等腰三角形， 只有可能是 |BA| |BC|，x1 x3此時(shí)有 y2 y1 y3 y2 ，即 2ex2 ex1 ex3 2e 2 ，與 x2 x1 x3 x2 矛盾，故正確選 B.習(xí)題 1.721.在 ABC 中，邊 AC 1，AB 2，A，過(guò) A 作AP BC

14、于P，且 AP AB AC，則32.(2014 四川高考 )平面向量 a (1,2) ，b (4, 2) ，c ma b( m R)，且 c與 a的夾角等于 c與 b 的夾角，則 m ( ).A. 2.B.C.1.D.2.3.(2014 大綱高考 ) 若向量 a,b滿(mǎn)足：1, a b a, 2a b b, 則 b ( ).A.2.B. 2 .C.1.D.4.(2014 天津高考 )已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2， BAD=1200，點(diǎn) E,F 分別在邊 BC，DC上，2BE lBC,DF mDC.若 AE AF 1,CE CF .則 l+m=( ).3561 A.2B.C.D.5.(2011a

15、b 2， a 2b 江西高考 ) 已知23712a b -2，則 a與 b的夾角為6.(2012天津高考)已知正ABC 中，AB=2，點(diǎn) P,Q 滿(mǎn) 足 AP AB, AQ (1 ) AC,R若,A.B.C.1 10 . D.-32 2227. 在直角 ABC 中, BCA 900 ,CA CB 1，P為AB 邊上的點(diǎn)AP AB ,若 CP AB PA PB .則 的取值范圍是 ( ).1,1 .B. 2 2,1. C. 1,12.D. 1.D.2 ,1 22.B. 2 ,1. C. 2, 222A.8.若平面向量 a，b滿(mǎn)足： |2 a- b| 3.則 ab的最小值是.a1,a2,a3,a4

16、,a5;以 D為起點(diǎn) ,其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為,其中i,j,k 1,2,3,4,5 ,r,s,t 1,2,3,4,5 .9. (2013 上海高考 )在邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形 ABCDEF中,記以 A 為起點(diǎn) ,其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 d1,d2,d3,d4,d5 . 若 m,M 分別為(ai aj ak) (dr ds dt )的最小值、最大值則 m,M 滿(mǎn)足 ( ).A. m 0,M 0 .B. m 0,M 0.C. m 0,M 0. D. m 0,M 0.10. (2013 江蘇高考 )已知 a (cos ,sin )，b(cos ,sin ) , 0 .(1) 若|a b| 2

17、,求證: a b;(2) 設(shè)c (0,1) ,若a b c,求 , 的值.答案：001.解： AB AC 2 1 cos1200 1， AP BC ， AP BC 0 ， 即 ( AB AC) (AC AB) 0， ()AB AC AB2AB20，聯(lián)立得：22 5 10107 ，即 ，故填 .57 7 4949575即 40，5 ， P,B,C 三點(diǎn)共線(xiàn)， 1，22.D.3.B. 4.C. 5. 3 .6.A. BQ=AQ AB =(1 )AC AB ， CP= AP - AC= AB AC，又BQ CP= 3，且|AB|=|AC|=2，=600， AB AC=|AB|AC|cos600=2，(1 )AC AB( AB AC)=又在等邊三角形中：AC.AB=2，AC =4，AB =4 ，22| AB|2 +( 21)AB AC+(1 )|AC |2 = 3，22 3 1所以 4 +2( 2 1)+4(1 )= ，解得 = .227.B. 建系后用坐標(biāo)運(yùn)算 .9. 由|2a- b| 3,4a2+b2 9+4ab, 又 4a2+b24|a