13-信號的功率譜密度

1、第 4 章 隨機(jī)信號與線性系統(tǒng)陳明東南大學(xué)移動通信國家重點(diǎn)實驗室chenming隨機(jī)過程和隨機(jī)信號的概念隨機(jī)過程隨機(jī)信號當(dāng)用隨機(jī)過程來表示一組信號時，此時的隨機(jī)過程就被稱為隨機(jī)信號。4.1 隨機(jī)信號的功率譜密度確定性信號的頻譜信號的頻譜特性是描述信號的一個重要指標(biāo)。對于確定性信號，其Fourier變換可以反映其頻譜特性。Fourier分解的物理意義分解各種頻率成份的振動頻譜與光譜進(jìn)行對比如何反應(yīng)隨機(jī)信號的頻譜？由于隨機(jī)信號實際上是一族確定性信號，要從統(tǒng)計意義上反映其頻譜特性，需要用功率譜密度的概念。4.1.1 連續(xù)時間隨機(jī)信號的功率譜密度若是一個定義于上的連續(xù)時間隨機(jī)過程，則上的平均功率為利用

2、Fourier變換的Parseval等式，可以得到在上的平均功率為從上式可以看出，下式所定義的關(guān)于頻率的函數(shù)反映了隨機(jī)信號功率在單位頻率上的分布情況，因此定義函數(shù)為連續(xù)時間隨機(jī)過程的功率譜密度。功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)4.1 設(shè)是定義于上的連續(xù)時間隨機(jī)過程，是其功率譜密度，則有如下性質(zhì)： 功率譜密度在上的積分為信號總功率，也即。 ,也即是一個非負(fù)實函數(shù)。 實隨機(jī)信號的功率譜密度是偶函數(shù) 圖4.1 實隨機(jī)信號的功率譜密度是非負(fù)偶函數(shù)對于寬平穩(wěn)過程來說，有下列Wiener-Khinchin定理定理4.1(Wiener-Khinchin定理) 若為上的寬平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)滿足，則有證明 由功率譜密

3、度的定義式知如圖4.2所示，對積分區(qū)域作變換，則于是定理得證。對于寬平穩(wěn)過程，其功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換，因此由Fourier逆變換公式有所以，對于寬平穩(wěn)過程來講，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是互相唯一確定的關(guān)系，一個是隨機(jī)過程時域特性的反映，一個是隨機(jī)過程頻域特性的反映。此外由式(4.3)知，對于寬平穩(wěn)隨機(jī)過程來說，平均功率為若為實隨機(jī)過程，則其自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即，則例4.1 試求Poisson隨機(jī)電報過程的功率譜密度。解 由習(xí)題2B-73可知，Poisson隨機(jī)電報過程為寬平穩(wěn)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，其中是信號平均傳輸速率。由Wiener-Khinchin定理知其功率譜密

4、度為例4.2 設(shè)是定義在上的實隨機(jī)過程，其功率譜密度為。則的解析過程的功率譜密度為其中為Heavyside函數(shù)。解 由習(xí)題3B-39和例3.29知，的自相關(guān)函數(shù)為對其作Fourier變換，由知所以，解析過程沒有負(fù)功率譜密度。例4.3 試求隨機(jī)相位余弦信號的功率譜密度，其中是上的均勻分布。解 由例2.72知，為平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)為則其功率譜密度為其中，用到了常數(shù)的Fourier變換是函數(shù)的性質(zhì)。由此可見，隨機(jī)相位余弦信號的功率集中于頻點(diǎn)。例4.4(白噪聲過程) 如圖4.3所示，若寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度在任意頻點(diǎn)上是常數(shù)，即，則稱為白噪聲過程,由Wiener-Khinchin定理知其自相

5、關(guān)函數(shù)為若寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為其中為某個正常數(shù)，則稱為帶限白噪聲過程。該過程的平均功率為自相關(guān)函數(shù)為由上式可見，當(dāng)時，和互相正交。圖4.3 白噪聲和帶限白噪聲的功率譜密度互功率譜若和是兩個隨機(jī)過程，和隨機(jī)信號功率譜密度的定義類似，可以定義和的互功率譜密度為和Wiener-Khinchin定理的證明類似，若和為兩個聯(lián)合寬平穩(wěn)的隨機(jī)過程，且，則有式中，為和的互相關(guān)函數(shù)。此外，還可以證明互功率譜密度具有以下性質(zhì)。性質(zhì)4.2 。證明作為練習(xí)。例4.5 設(shè)和是兩個聯(lián)合寬平穩(wěn)過程，試給出的功率譜密度。解 的自相關(guān)函數(shù)為因此，的功率譜密度為在信號分析中，常常要討論兩個聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程的和，從上述表

6、達(dá)式可以看出，互相關(guān)函數(shù)及互功率譜密度的概念的引進(jìn)是必需的。例4.6 設(shè)聯(lián)合平穩(wěn)的兩個隨機(jī)過程和的互功率譜密度為則互相關(guān)函數(shù)為4.1.2 離散時間隨機(jī)信號的功率譜密度信號的頻率刻畫了信號變化的快慢，因而對于離散時間隨機(jī)過程，只有指定了離散時間的絕對時間間隔，功率譜密度才有意義。這時，離散時間隨機(jī)信號可看成連續(xù)時間隨機(jī)信號每隔時間間隔的采樣。為了討論的方便，將絕對時間間隔標(biāo)準(zhǔn)化為。和連續(xù)時間隨機(jī)過程類似，的功率譜密度定義為而和的互功率譜密度定義為由定義知，功率譜密度和互功率譜密度是周期為的函數(shù)。和連續(xù)時間隨機(jī)過程的證明完全類似可得Wiener-Khinchin定理。定理4.2 若寬平穩(wěn)，其自相關(guān)

7、函數(shù)為，且，則有若和聯(lián)合寬平穩(wěn)，互相關(guān)函數(shù)為，且，則和的互功率譜密度為例4.7(離散時間白噪聲過程) 設(shè)為離散時間隨機(jī)過程，且是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其均值為零，方差為，試求。解 離散時間隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為因此，功率譜密度為上述過程稱為離散時間白噪聲過程。例4.8 設(shè)，其中為例4.7中的離散時間白噪聲過程，試求。解 容易證明的自相關(guān)函數(shù)為因此，功率譜密度為例4.9 設(shè)，其中是要觀測的寬平穩(wěn)實隨機(jī)信號，且對任意，是一個均值為零且方差為的隨機(jī)變量；是零均值的、且平均功率為的離散時間白噪聲。此外，和相互獨(dú)立。試求的功率譜密度。解 顯然，的均值，自相關(guān)函數(shù)為所以為寬平穩(wěn)過程，因此其功率譜密度為

8、4.2 隨機(jī)信號的帶寬隨機(jī)信號所占據(jù)的頻帶寬度被稱為隨機(jī)信號的帶寬。隨機(jī)信號的帶寬反映了隨機(jī)信號的大量樣本函數(shù)在統(tǒng)計意義上所占有的頻帶寬度。在實際的信號傳輸系統(tǒng)中，被傳輸?shù)男盘柨陀^上總是占據(jù)一定的帶寬，由于頻帶資源的有限性，系統(tǒng)設(shè)計者對所有傳輸信號的帶寬必須有一個清楚的了解。由于隨機(jī)信號功率譜密度函數(shù)的多樣性，所以關(guān)于隨機(jī)信號帶寬的定義就有很多種，這里給出幾個常用的帶寬定義。雖然這些定義有所差別，但是其基本思想是給出一個帶寬，在該帶寬上分布隨機(jī)信號的主要功率。設(shè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜密度為，自相關(guān)函數(shù)為，則有如下幾種帶寬形式： 若在時的支集為，也即在區(qū)間外為零，則稱為隨機(jī)信號的絕對帶寬。 設(shè)在

9、時在取得最大值，則稱為隨機(jī)信號的等效噪聲帶寬，如圖4.4所示。 若，則稱為隨機(jī)信號的去相關(guān)時間，稱為隨機(jī)信號的有效帶寬。 設(shè)在取得最大值，若且則稱為隨機(jī)信號的 3dB帶寬，如圖4.5所示。 設(shè)為功率譜密度的歸一化函數(shù)，稱為的均方頻率，稱為隨機(jī)信號的均方根(rms)帶寬。 若則稱為隨機(jī)信號的功率帶寬。 設(shè)在取得最大值，是在上的最大的一個零點(diǎn)，是在上的最小的一個零點(diǎn)，稱為隨機(jī)信號的零點(diǎn)到零點(diǎn)帶寬。在實際應(yīng)用中，常用功率譜密度的帶寬給隨機(jī)信號分類，如下面的帶限隨機(jī)信號、帶通隨機(jī)信號等；此外，有些噪聲也用功率譜密度給予分類，如白噪聲、有色噪聲等。例4.10 試確定下列數(shù)據(jù)信號的帶寬 式中，是一個獨(dú)立同

10、分布的隨機(jī)變量序列，等概率地取或；是寬度為的矩形脈沖函數(shù)。圖4.6給出了該數(shù)據(jù)信號的一個樣本函數(shù)。由隨機(jī)信號功率譜密度的定義知，的功率譜密度為展開上式，考慮到得到令，在時有所以圖4.7畫出了數(shù)據(jù)信號的功率譜密度，可以看出信號的功率主要分布在一個窄的頻帶內(nèi)，零到零點(diǎn)帶寬為。 4.3 帶限和帶通隨機(jī)信號4.3.1 帶限隨機(jī)信號圖4.8 帶限隨機(jī)信號的功率譜密度隨機(jī)信號的功率譜密度在點(diǎn)不為零，且其支集包含于零點(diǎn)的一個鄰域內(nèi)，則稱隨機(jī)信號為帶限隨機(jī)信號或基帶隨機(jī)信號，如圖4.8所示。定理4.3 (Nyquist抽樣定理) 若是帶限為的帶限過程，則有 式中，稱為Nyquist抽樣間隔。證明 Nyquis

11、t抽樣定理可看作是帶限隨機(jī)過程在下列正交函數(shù)系下的正交分解，即確當(dāng)選取參數(shù)，可以使展開系數(shù)剛好是帶限過程的采樣。先驗證函數(shù)系的正交性。設(shè)為的Fourier變換， 查表知，有式中，為單位方波：由Parseval等式知所以因此，由隨機(jī)過程正交分解系數(shù)的確定和Parseval等式知式中，是的Fourier變換。代入得 因為的帶限是，所以在外的均方為零。若，則上述均方積分的上、下限可以拓展為，而積分值為在的取樣，也即，即有式成立。證畢。由證明可見，采樣定理實際上是將帶限隨機(jī)信號在一組正交函數(shù)下分解。性質(zhì)4.3 若是帶限為的實帶限過程，則有上式表明帶限過程是均方連續(xù)的，且均方變化有一致的界。上式也表明，

12、若帶限過程均方可導(dǎo)，則其均方導(dǎo)數(shù)有一致的界。證明 實平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)是實的偶函數(shù)，且因此從而知性質(zhì)的結(jié)論成立。4.3.2 帶通隨機(jī)信號若隨機(jī)過程的功率譜密度的支集包含于頻帶則稱為帶通隨機(jī)信號或窄帶隨機(jī)信號(見圖4.9)。其中頻率稱為載波頻率。圖4.9 帶通隨機(jī)信號的功率譜密度性質(zhì)4.4 任何一個帶通隨機(jī)信號可以表示如下，即式中，表示一個復(fù)數(shù)的實部，叫作的復(fù)包絡(luò)，。此外，帶通過程還有如下兩個等價表示，也即其中式中，、和都是帶限為的基帶隨機(jī)信號。證明 對隨機(jī)信號在區(qū)間上進(jìn)行Fourier級數(shù)正交展開，可以得到式中，是隨機(jī)變量序列。因為是實隨機(jī)過程，因此，所以因為是帶通信號，的二階矩在附近為零，

13、特別的概率為。此外，對任意，有因此有式(0.3)，且因為是帶通隨機(jī)信號，其功率譜密度分布在頻率附近，對滿足的那些，F(xiàn)ourier展開系數(shù)以概率不為零，而對其他，以概率為零。所以的功率譜密度包含在內(nèi)。將用復(fù)函數(shù)的形式表示，則得式(0.5)。式(0.5)又被稱為帶通過程的雙調(diào)幅式表示。 關(guān)于雙調(diào)幅式過程有以下定理。定理4.4 設(shè)和為兩個聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，式(0.5)表示的雙調(diào)幅式過程為寬平穩(wěn)過程的充分必要條件如下：。此外，當(dāng)式(0.5)表示的雙調(diào)幅式過程寬平穩(wěn)時，其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為 證明 由知道，要使為常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時。此外，計算可得顯然，要使只和時移有關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)和聯(lián)合寬平穩(wěn)，且

14、此時， 性質(zhì)4.5 設(shè)某寬平穩(wěn)隨機(jī)過程具有式(0.5)的雙調(diào)幅式表示，且和是帶寬為的帶限寬平穩(wěn)過程，且其聯(lián)合帶寬亦為，也即的支集包含于。若則為帶通過程。證明 對式(0.13)作Fourier變換有因為、和的支集都包含于，因此的支集包含于,所以為帶通過程。為了得到雙調(diào)幅式隨機(jī)信號的解析過程表達(dá)式，需要證明下列引理。引理4.1 設(shè)實隨機(jī)過程功率譜密度的支集包含于區(qū)間，為正常數(shù)，若，則其中表示Hilbert變換。證明 由Hilbert變換的定義知考慮到的Fourier變換為 (參見Error! Reference source not found.)，對上式兩端作Fourier變換得式中，是的Fou

15、rier變換。對上式兩端繼續(xù)作Fourier逆變換得同理可證。由引理4.1可得到雙調(diào)幅帶通過程式(0.5)的解析過程的表達(dá)式。性質(zhì)4.6 雙調(diào)幅帶通過程式(0.5)的解析過程具有如下表達(dá)證明 由引理4.1知之Hilbert 變換為因此，其解析過程為例4.11 設(shè)有實寬平穩(wěn)過程，設(shè)為任意給定正常數(shù)，則稱為實寬平穩(wěn)過程的Rice表示，其中分別稱為的同相分量和正交分量。值得注意的是，當(dāng)選定不同的，則有不同的Rice表示。在實際應(yīng)用中，可以針對不同的準(zhǔn)則，選定最佳的。試證明的Rice表示的復(fù)包絡(luò)的平均變化率最小的充要條件是這里為的均方導(dǎo)數(shù)。證明 令為的解析過程，也即則有因此對上式作Fourier變換有。又因為導(dǎo)算子的傳遞函數(shù)為，所以所以因此，要使最小，當(dāng)且僅當(dāng)，也即又由解析過程的性質(zhì)知，從而有式(0.18)成立。一般來說，帶通過程是由對帶限過程進(jìn)行調(diào)制得到的。 設(shè)有雙調(diào)幅式過程、為隨機(jī)過程；為上的均勻分布；、為常數(shù)。當(dāng)隨機(jī)過程為帶限隨機(jī)信號，為常數(shù)，則稱為調(diào)幅過程；當(dāng)為非零常數(shù)，為隨機(jī)信號時，稱為調(diào)相過程；當(dāng)為非零常數(shù)，為隨機(jī)信號