12_UnsteadyFlow

1、1 2 3 4 ( )( ) 1212 QQQtVVVt= 單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加 等于同時(shí)段內(nèi)流入控制體的流體質(zhì)量 5 單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體動(dòng)量的增加等于同時(shí) 段內(nèi)凈流入控制體內(nèi)的動(dòng)量與外力沖量之和 () () () 2 120 si n V A V AllgAlAppPl tl r rrat D= -D+D+-D 抖 2 0 1 2 h pVV z lgggtgR t rr 驏 抖 += - 抖桫 22 0 12 11 1 iw h V HHdldlhh gtgR t r -=+=+ 蝌 等直徑U形管內(nèi)液面振蕩 問(wèn)題中，重力和慣性力相 互作用，導(dǎo)致管中液面振 蕩，阻力則使振幅衰

2、減。 U 形 管 內(nèi) 液 面 振 蕩 2 0 11 2 0 z 連 續(xù) 方 程 2 0 11 2 0 z () dz VVt dt = 2 2 2 w L d z zh g dt =+ 運(yùn) 動(dòng) 方 程 22 0 12 11 1 h V HHdldl gtgR t r -=+ 蝌 忽略阻力的情況 2 2 2 L d z z g dt = () 0 2 cos g zAt L vjv 驏 =+= 桫 線性阻力的情況 2 22 2 2 L d zLdz z gdtdtgD x n =+ () () 0 2 2 2 cos 2 4 4 t zA et g LD D l vj xn v xn l - =

3、+ =+ = ( ) 2 2 2 ? R e2 w L V hLV DggD xn x = 9 10 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加 等于同時(shí)段內(nèi)流入控制體的流體質(zhì)量 tt+ D t ()()AA V AtlAlA VtA Vlt tl rr rrrr 抖輊輊 +DD-D=D-+DD犏犏 甓耳 臌臌 11 () () () 2 120 si n V A V AllgAlAppPl tl r rrat D= -D+D+-D 抖 單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)流體動(dòng)量的增加等于同時(shí) 段內(nèi)凈流入控制體內(nèi)的動(dòng)量與外力沖量之和 0 11 h VVzp V gtllg

4、lgR t rr 抖抖驏 += - 桫 抖 抖 tt+ D t 12 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖驏 += - 桫 抖 抖 2 0 1 2 h pVV z lgggtgR t rr 驏 抖 += - 抖桫 22 0 12 11 1 iw h V HHdldlhh gtgR t r -=+=+ 蝌 E E i i 測(cè)壓管水頭線 hi V2/2g z p/gg hw 慣性水頭為正，水流加速 慣性水頭為負(fù)，水流減速 E E i i hw hi V2/2g z p/gg 測(cè)壓管水頭線 15 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖驏 += - 桫 抖

5、 抖 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 16 11d dpK dAA D dpE r r d 禳 镲 =镲 镲 镲 镲 镲 睚 镲 镲 镲 =镲 镲 镲鉿 () () 2 1 dAddA A dpdpdp D A KE A c rr r r d =+ =+ = 17 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖驏 += - 桫 抖 抖 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 ()() 0 AAV VA tll rr r 抖 += 抖 () 2 0 h VVcAz Vg tlAllR rt rr 抖抖 += - 抖抖 18 ()() 0 AAV VA tll

6、 rr r 抖 += 抖 () 2 0 h VVcAz Vg tlAllR rt rr 抖抖 += - 抖抖 2 0 0 h VA AA z c tlVV g V lR A r rr t r r 輊 禳 镲 禳禳镲犏 镲镲 抖 镲镲镲镲 犏 += 睚睚睚 犏 镲镲镲抖 - 镲镲镲 鉿鉿犏 镲 镲鉿 臌 19 2 0 VA c V A lr l r - = - () 1 1 VcV D KE l r d = + 20 dl Vc dt l= () d Vc dttl 抖 =+ 抖 21 ()() () 2 0 0 AA V VA tll A VVc V tlAl rr r r r 抖 += 抖

7、抖 += 抖 () () ()() () () 2 0 0 dAAA V VcVA dtlll A dVVVc VcV dtllAl rrr r r r 抖 -+= 抖 抖 -+= 抖 22 ()() () 2 0 0 dAA V cA dtll A dVVc c dtlAl rr r r r += 抖 += 抖 m m () 0 dA cdV Adtdt r r = ()0 d VfA dt r 輊 = 臌 () 0 0 VfAr 輊 + 犏 臌 () 1 fAr 輊 犏 臌 ()() 0 01 0VVAAArrr= cV? 24 有 壓 管 道 流 動(dòng) 的 流 量突變 流速突變 由于流動(dòng)的

8、慣 性，造成壓強(qiáng) 大幅波動(dòng) 水擊現(xiàn)象的大致描述： 流體的壓縮性和管道 的彈性使波動(dòng)在管道 中以有限的速度傳播 p 閥門突然關(guān)閉。導(dǎo)致一個(gè)壓強(qiáng)增加、流體密度增加、道斷面 積增加、減流速的過(guò)程從閥門向上游傳播，這就是水擊波。 單位時(shí)間水擊波通過(guò)的流體域的動(dòng)量增量為 cAv， 受力為 Ap，（略去高階小量）。根據(jù)動(dòng)量定律 水 擊 波 的 壓 強(qiáng) 增 值 ct s v p c p = -cv 水 擊 波 的 傳 播 速 度 單位時(shí)間水擊波通過(guò)的流體域中質(zhì)量增量為 cA+cA，因流速增量造成 的流出該區(qū)域的質(zhì)量流量為Av，由質(zhì)量守恒原理，v = -c(/+A/A)， 即 p = c2(/+A/A)，寫成

9、極限形式有 ct s v p c 1 11 1 1 c ddA dpA dp D KE r r r r d = 驏 + 桫 = 驏 + 桫 0 /1 1 11 Kc c D KD KD EEKE r r ddd = 驏 + + 桫 水中聲波速度（約為1435 m/s） 若忽略管壁的彈性，則 c = c0 水 擊 現(xiàn) 象 的 分 析 L B A 階段時(shí)段 速度 變化 流速方向 壓強(qiáng)變化 水擊波 傳播方向 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 液體狀態(tài) 0tL/cv00水庫(kù)閥門增高p閥門水庫(kù) 減速增壓壓縮 (a) B A L v0 c h h0 v = - v0 p = cv0 h = cv0/g 全管原壓 強(qiáng)水頭h0 v=

10、0 B A L h= cv0/g h0 v=0 時(shí)刻全管速度 全管壓強(qiáng) 水頭 水擊波 到達(dá) 液體狀態(tài) t=L/c v=0 h0+hB點(diǎn) 壓縮 B A L h= cv0/g h0 v=0 由于B點(diǎn)壓強(qiáng)水頭保持為常數(shù)h0 ，水擊波到達(dá)B點(diǎn)后無(wú)法再向上 游傳播，壓差h轉(zhuǎn)化為流向水庫(kù)的流速v0而形成一個(gè)減速（速度 以水庫(kù)流向閥門為正）減壓的過(guò)程，由B傳向A，水擊波反向， 并由增壓波變?yōu)闇p壓波。在減壓波傳播過(guò)程中，管壁和液體密 度復(fù)原，提供流向水庫(kù)的水量。 時(shí)刻 t=L/c 階段時(shí)段 速度 變化 流速方向 壓強(qiáng)變化 水擊波 傳播方向 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 液體狀態(tài) B A L v0 c h0 h = cv0/g v

11、=0 L/ct2L/c0 -v0閥門水庫(kù) 恢復(fù)原狀 水庫(kù)閥門 減速減壓恢復(fù)原狀 (b) B A L h0 時(shí)刻全管速度 全管壓強(qiáng) 水頭 水擊波 到達(dá) 液體狀態(tài) t=2L/cv= -v0 h0A點(diǎn) 復(fù)原 v0 B A L h0 由于閥門已經(jīng)關(guān)閉，減速減壓的水擊波到達(dá)A點(diǎn)后無(wú)法再繼 續(xù)向前傳播。因?yàn)楦鶕?jù)連續(xù)方程，A點(diǎn)流速必須為零，若A點(diǎn) 處也要形成流向水庫(kù)的流速，則液體沒有補(bǔ)充的來(lái)源。而此 時(shí)管中其它斷面上的流速卻是 -v0 ，于是在 t=2L/c 時(shí)刻，在A 點(diǎn)形成增速、減壓、減密度、減斷面面積的水擊波，由A傳 向B，水擊波反向，但減壓波仍轉(zhuǎn)為減壓波。 時(shí)刻 t=2L/c v0 階段時(shí)段 速度

12、變化 流速方向 壓強(qiáng)變化 水擊波 傳播方向 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 液體狀態(tài) B A L v0 c h0 h = cv0/g v=0 2L/ct3L/c-v00閥門水庫(kù) 減低p 閥門水庫(kù) 增速減壓膨脹 (c) B A L h= cv0/g h0 v=0 時(shí)刻全管速度 全管壓強(qiáng) 水頭 水擊波 到達(dá) 液體狀態(tài) t=3L/c v=0 h0 - hB點(diǎn) 膨脹 B A L h= cv0/g h0 v=0 時(shí)刻 t=3L/c 由于B點(diǎn)壓強(qiáng)水頭保持為常數(shù)h0 ，水擊波到達(dá)B點(diǎn)后無(wú)法再向 上游傳播，壓差-h轉(zhuǎn)化為流向閥門的流速v0而形成一個(gè)增速 （速度以水庫(kù)流向閥門為正）增壓的過(guò)程，由B傳向A，水擊 波反向，并由減壓波變?yōu)?/p>

13、增壓波。在增壓波傳播過(guò)程中，管 壁和液體密度復(fù)原，吸納從水庫(kù)進(jìn)入的水量。 階段時(shí)段 速度 變化 流速方向 壓強(qiáng)變化 水擊波 傳播方向 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 液體狀態(tài) B A L v0 c h0 h = cv0/g v=0 3L/ct4L/c0 v0水庫(kù)閥門 恢復(fù)原狀 水庫(kù)閥門 增速增壓 恢復(fù)原狀 (d) B A L h0 時(shí)刻全管速度 全管壓強(qiáng) 水頭 水擊波 到達(dá) 液體狀態(tài) t=4L/cv= v0 h0A點(diǎn) 復(fù)原 v0 等 同 于 閥 門 突 然 關(guān) 閉 瞬 時(shí) 狀 態(tài) 階段時(shí)段 速度 變化 流速方向 壓強(qiáng)變化 水擊波 傳播方向 運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 液體狀態(tài) 0tL/c L/ct2L/c 2L/ct3L/c 3L/

14、ct4L/c v00 0 -v0 -v00 0 v0 水庫(kù)閥門 閥門水庫(kù) 水庫(kù)閥門 閥門水庫(kù) 增高p 恢復(fù)原狀 減低p 恢復(fù)原狀 閥門水庫(kù) 水庫(kù)閥門 閥門水庫(kù) 水庫(kù)閥門 減速增壓 減速減壓 增速減壓 增速增壓 壓縮 膨脹 恢復(fù)原狀 恢復(fù)原狀 (a) (b) (c) (d) 任意斷面水擊增壓隨時(shí)間的變化規(guī)律 A 斷 面 p ct/L123456789 10 11 12 任意斷面 p 123456789 10 11 12 ct/L x/ L A斷面實(shí)際增壓 p 123456t /L/c789 10 11 12 將 2L/c 稱為水擊的相長(zhǎng)，從閥門A處開始的水擊波傳到上 游B處，經(jīng)負(fù)反射回來(lái)的減壓波又傳到A處，所須時(shí)間為相 長(zhǎng)?？梢婇y門A處持續(xù)壓力最大增值的時(shí)間最長(zhǎng)，為一個(gè) 相長(zhǎng)。如果逐漸關(guān)閉閥門，那么將會(huì)有一系列水擊波在不 同的時(shí)刻由A處出發(fā)，假如經(jīng)過(guò)一個(gè)相長(zhǎng)之后，閥門尚未 完全關(guān)閉