塑性力學第2章-理想彈塑性材料三桿桁架問題

1、塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 塑性力學塑性力學 第二章第二章 結構塑性性態(tài)的基本特征結構塑性性態(tài)的基本特征 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.1 理想彈塑性材料的三桿桁架問題理想彈塑性材料的三桿桁架問題 2.2 線性強化彈塑性材料的三桿桁架線性強化彈塑性材料的三桿桁架 2.3 幾何大變形對桁架承載能力的影響幾何大變形對桁架承載能力的影響 2.4 加載路徑對于桁架內應力和應變的影響加載路徑對于桁架內應力和應變的影響 2.5 載荷平面內的屈服曲線和極限曲線載荷平面內的屈服曲線和極限曲線 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 （a a）理想彈性）理想彈性 （b

2、 b）理想剛塑性）理想剛塑性 （c c）理想彈塑性）理想彈塑性 （d d）剛）剛- -線性強化線性強化 （e e）彈）彈- -線性強化線性強化 常用的理想化模型 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.1 理想彈塑性材料的三桿桁架問題理想彈塑性材料的三桿桁架問題 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.1 理想彈塑性材料的三桿桁架問題理想彈塑性材料的三桿桁架問題 13 NN 132 cos45NNNF 13 120 2/FA F 123 1 2 3 2 01 11 0 22lll 2

3、1 2 三根桿的兩端都是鉸連接。各桿初始的截面積均為A0，桿2的長 度為 l0 ，三桿連接處受豎直向下的力F作用，則: 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 此時此時, ,對應的外載為對應的外載為: :彈性極限載荷彈性極限載荷 ( (一一) ) 彈性階段彈性階段 2 0e l 1 0 2 0 1 * 22 2 * 22 F A F A 11 22 E E 21 2 120 2/FA 21 2 21 隨著隨著F F的增大的增大, ,第二根桿先達到屈服狀態(tài)第二根桿先達到屈服狀態(tài): : e F 2 0 2 * 22 Y F A 0 1 (1) 2 eY FA 2 0 /lE 0 / Yl E

4、 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 ( (二二) ) 約束塑性階段約束塑性階段 2Y 13 1320 ()/2/FA 當當 時時, ,第二桿已經(jīng)進入塑性變形第二桿已經(jīng)進入塑性變形, ,但是但是1 1和和3 3桿仍然桿仍然 為彈性為彈性. . e FF 1 0 ()/2 Y F A Y F 123 三根桿中有一根進入塑性后，三桿桁架變成靜定的了。三根桿中有一根進入塑性后，三桿桁架變成靜定的了。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 ( (三三) ) 塑性流動階段塑性流動階段 稱為塑性極限。稱為塑性極限。 0 0 (12) 2/ YY YY FA lE 0 0 1 (1) 2

5、/ eY eY FA lE 彈性極限：彈性極限： /2 2 Ye Ye FF 隨著隨著F的繼續(xù)增大，最終使得第的繼續(xù)增大，最終使得第1和和3桿也達到屈服。桿也達到屈服。 13Y F 123 0(1 2) YY FA 0 2/ YYl E 此時對應的外載為：此時對應的外載為： Y F Y F 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 塑性極限：塑性極限： 0 0 (12) 2/ YY YY FA lE 0 0 1 (1) 2 / eY eY FA lE 彈性極限：彈性極限： /2 2 Ye Ye FF e FF eY FFF Y FF 彈性階段彈性階段 約束塑性階段約束塑性階段 塑性流動階段

6、塑性流動階段 e F Y F 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 （四）（四） 卸載卸載 2Y e F F 11 22 / / E E 卸載服從彈性規(guī)律。卸載服從彈性規(guī)律。 Y 若加載到若加載到 后卸載，應力的后卸載，應力的 變化應該按彈性狀態(tài)的變化規(guī)律變化應該按彈性狀態(tài)的變化規(guī)律. . * eY FFF 1 0 2 0 1 * 22 2 * 22 F A F A 0 1 (1) 2 eY FA 2 0 2 * 22 F A 02 0 2 * 22 1 1 2 e Y F A F A 12 / 2 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 殘余應力殘余應力 * 0 1 * 0 2

7、 (1)/20 (1)0 Y e Y e F F F F 若將若將 全部卸除全部卸除: * F * 2YY ee FF FF 12 / 2 * FF 2Y 1 0 ()/2 Y F A 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 殘余應變殘余應變 * 0 1 (1)/20 Y e F F 0* 0 1 1 (1)/20 Y e F EFE * 000 111100 2(1)0 Y e F lll FE * 00 1 22 (1)0 e e F F 00 21 20 桿桿1中的殘余應力為中的殘余應力為 因為因為 ,桿桿1仍然為彈性仍然為彈性,其卸載也為彈性其卸載也為彈性,則則: * eY FF

8、F 桿桿1的位移的位移: 桁架的位移桁架的位移: 在低碳鋼的拉伸試驗中在低碳鋼的拉伸試驗中, ,經(jīng)過屈服階段卸載后的殘余應變就是塑經(jīng)過屈服階段卸載后的殘余應變就是塑 性應變性應變; ;而對本章中的靜不定結構并非如此而對本章中的靜不定結構并非如此, ,桿桿1 1中的殘余應變?yōu)橹械臍堄鄳優(yōu)?彈性應變彈性應變. . 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 重復加載重復加載 若在卸載完畢后再重復加載若在卸載完畢后再重復加載,由于從由于從 卸載到零的過程是彈卸載到零的過程是彈 性的性的,從零再加載到從零再加載到 仍然是彈性過程仍然是彈性過程. * F * F 0 2 0 0 2Y 初始狀態(tài)初始狀

9、態(tài):桿桿2的彈性范圍的彈性范圍 整個桁架結構的彈性范圍也擴大了整個桁架結構的彈性范圍也擴大了 因此因此,在結構內部產(chǎn)生某種在結構內部產(chǎn)生某種有利的有利的殘余應力狀態(tài)可以擴大結殘余應力狀態(tài)可以擴大結 構的彈性范圍。如工程中的預應力法等。構的彈性范圍。如工程中的預應力法等。 此外，本節(jié)中的材料為理想彈塑性材料，沒有強化效應，此外，本節(jié)中的材料為理想彈塑性材料，沒有強化效應， 卸載后能出現(xiàn)彈性范圍擴大效應，是挖掘結構的承載能力。卸載后能出現(xiàn)彈性范圍擴大效應，是挖掘結構的承載能力。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 卸載后重復加載擴大彈性范圍卸載后重復加載擴大彈性范圍 所挖掘出來的是結構的

10、承載能所挖掘出來的是結構的承載能 力，而不是材料的承載能力。力，而不是材料的承載能力。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.2 線性強化彈塑性材料的三桿桁架線性強化彈塑性材料的三桿桁架 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.2 線性強化彈塑性材料的三桿桁架線性強化彈塑性材料的三桿桁架 jjY j Y YpjjY E E E 當 當 三根桿的兩端都是鉸連接。各桿初始的截面積均為A0，桿2的長 度為 l0 ，三桿連接處受豎直向下的力F作用，則: 假設材料是彈假設材料是彈-線性強化的線性強化的 強化模量是強化模量是Ep 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 jjY

11、j Y YpjjY E E E 當 當 e FF （1）當）當 時，桁架處于彈性階段，上一節(jié)中得到的結時，桁架處于彈性階段，上一節(jié)中得到的結 果仍然適用。果仍然適用。 （2）當）當 時，桿時，桿2進入塑性強化階段。進入塑性強化階段。 22 Y Yp E E e FF 11 E 桿桿1仍然為彈性：仍然為彈性： 120 2/FA 21 2 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 p 0 1 p 1 1 2 2 Y E F AE E E pp 0 2 p 1/2 1 2 Y EE F E AE E E （3）當）當F進一步增大，桿進一步增大，桿1也進入塑性：也進入塑性： 1Y 3Y 1 Y E

12、 21 2 2 Y E 22 Y Yp E E Y Yp E E 0 21 p Y E A E 121020 2NN2FAA 此時的外載為：此時的外載為： 0(1 2) YY FA 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 0 21 p Y E FA E 0(1 2) YY FA 1.041 Y F F 0.1 p E E 1 1 21 p Y E F FE 外載比較分析：外載比較分析： 線性強化彈塑性線性強化彈塑性: 理想彈塑性理想彈塑性: 當當 由此可見由此可見,考慮材料強化所得到的考慮材料強化所得到的F與理想彈塑性桁架的塑性極與理想彈塑性桁架的塑性極 限載荷差別不大限載荷差別不大.

13、塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 線性強化材料進入塑性后應力線性強化材料進入塑性后應力 仍然隨應變增長仍然隨應變增長,F并不是承載并不是承載 極限極限;而理想彈塑性材料進入而理想彈塑性材料進入 塑性流動后不能繼續(xù)承載塑性流動后不能繼續(xù)承載. 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.3 幾何大變形對桁架承載能力的影響幾何大變形對桁架承載能力的影響 123 0 / l 2 2 100 lll 200 1lll 前面章節(jié)采用了以下假定：前面章節(jié)采用了以下假定： （1）小變形的假定）小變形的假定 （2）平衡方程建立在結構的初始幾何上）平衡方程建立在結構的初始幾何上 （3）桿截面不

14、發(fā)生變化）桿截面不發(fā)生變化 實際上：實際上： 2 0 1 21 2 l 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2 110 11 ln/2ln(1) 22 ll 220 ln/ln(1)ll 1,2,3 jYPjj E 2 10010 1 2/ 1 2 AAllA 220 / 1AlA 桿的對數(shù)應變：桿的對數(shù)應變： 大變形的情況下，可將彈性變形忽略，采用剛大變形的情況下，可將彈性變形忽略，采用剛-線性強化材料模型。線性強化材料模型。 Y 塑性變形體積不變塑性變形體積不變,則則: 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 變形后變形后,桿桿1與桿與桿2的夾角為的夾角為: 2 21 1

15、cos/1/2 1 2 ll 在變形后的結構上建立平衡方程在變形后的結構上建立平衡方程: 1122 2cosFAA 1122 2cos YPYP FAEAE 2 00 2 2 1 1ln 1 2 11ln(1) 2 11 11 12 1 22 YP FAA E 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2 00 2 2 1 1ln 1 2 11ln(1) 2 11 11 12 1 22 YP FAA E 當當 時，雖然有材料強化和時，雖然有材料強化和 變小兩個因素使桁架在變小兩個因素使桁架在 較較 小時力小時力 F 提高，但隨著桿件截面積縮小，提高，但隨著桿件截面積縮小， 值隨著值隨著 的

16、增大而減的增大而減 小，變成不穩(wěn)定結構。當小，變成不穩(wěn)定結構。當 時也有類似的變化趨勢。時也有類似的變化趨勢。 /1 PY E F /8 PY E 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 小結：幾何大變形對結構承載能力可能產(chǎn)生重要的影響。一旦結構小結：幾何大變形對結構承載能力可能產(chǎn)生重要的影響。一旦結構 進入塑性流動階段（理想彈塑性材料）或者自由塑性變形階段（強進入塑性流動階段（理想彈塑性材料）或者自由塑性變形階段（強 化材料），幾何大變形對于結構的彈塑性來說，一般不可忽略，甚化材料），幾何大變形對于結構的彈塑性來說，一般不可忽略，甚 至是一個起決定性作用的因素。至是一個起決定性作用的因

17、素。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.4 加載路徑對于桁架內應力和應變的影響加載路徑對于桁架內應力和應變的影響 y F x Q 彈性狀態(tài)下彈性狀態(tài)下：應力應變滿足線性關系，可以疊加， 因此不受加載路徑的影響。 區(qū)別：區(qū)別： 彈塑性狀態(tài)下彈塑性狀態(tài)下：應力應變是非線性關系，而且有 加載卸載的區(qū)別，應力應變不是一一對應的關系， 不同的變形路徑得到不同的結果。 考慮：節(jié)點同時受水平力考慮：節(jié)點同時受水平力Q和豎直力和豎直力F作用作用 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.4 加載路徑對于桁架內應力和應變的影響加載路徑對于桁架內應力和應變的影響 y F x Q (1) (

18、1) (2) A B Q F （1）非比例加載）非比例加載 （2）比例加載）比例加載 先施加F至極限載荷 ，同時保持Q=0；保持豎直位移不變的情況 下，Q逐步增大，至新的塑性狀態(tài)。 Y F Q和F同時加載，整個過程 ，直至（1）的塑性狀態(tài)。 :1:2F Q 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 （1）非比例加載）非比例加載 0(1 2) YY FA 從從O到到A點點 123Y 0 2/ 0 yYY x lE y F x Q (1) (1) A B Q F Y F 0 極限載荷極限載荷: 桿內應力桿內應力: 節(jié)點位移節(jié)點位移: 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2130 13

19、0 ()2 ()2 F A Q A 03 02 01 2)( 2)( l l l xy y xy 312 應力關系應力關系 應變關系 當保持豎直位移不變情況下當保持豎直位移不變情況下,增加增加Q,此時此時F 將有相應的改變將有相應的改變. 用用 和和 表示表示F和和Q的改變量的改變量.FQ y F x Q 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 說明說明:第第1桿繼續(xù)伸長，第桿繼續(xù)伸長，第2桿長度不變，第桿長度不變，第3桿卸載桿卸載 02 0 033 21 lEE x 03 03 20 20 F A Q A FQ 2 從從A到到B點點(施加施加Q) 10 () 20 yx l 0 y 0

20、 xx 保持豎直位移不變保持豎直位移不變,故故:施加施加Q, 故故: 20 0 y l 30 () 20 yx l Y 2130 130 ()2 ()2 F A Q A F Q 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 B點狀態(tài)點狀態(tài) 施加施加Q后的變形過程后的變形過程:第第1桿繼續(xù)伸長，第桿繼續(xù)伸長，第2桿長度不變，第桿長度不變，第3桿卸載桿卸載 當當 , 使使 時時, 第第3桿進入反向桿進入反向(壓縮壓縮)屈服屈服,整整 個桁架再次進入塑性流動屈服，個桁架再次進入塑性流動屈服，Q停止增加，此時外載為停止增加，此時外載為: 3 2 Y 3Y N1 1 N2 Q F 123YY N1 N1

21、 N1 3 N3 N3 N3 2 N2 N2 N2 0 x F 13 cos45cos450NNQ 0 Y F 123 cos45cos450NNNF 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 00 2 YY QAFA YY E 0 x F 13 cos45cos450NNQ 0 Y F 123 cos45cos450NNNF 10Y NA 20Y NA 30Y NA 0 2/ yYYl E 330 20 x EEl 3 2 Y 0 4/2 xYY lE 123 3,2, YYY 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 (2) 比例加載比例加載 :1:2F Q (1) (1) (2)

22、 A B Q F Y F 0 2130 130 ()2 ()2 F A F A 213 從零開始加載從零開始加載,在彈性范圍內在彈性范圍內: 213 1 0 2 (2)0 212 F A 2 0 2 *0 12 F A 3 0 2 (2)0 212 F A 三者之中三者之中 最大最大,隨著外載隨著外載 增大增大,桿桿1先進入塑性狀態(tài)先進入塑性狀態(tài). 1 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 1 0 2 (2) 212 F A 2 0 22 2 * 1223 2 e Y F A 3 0 222 2 21223 2 e Y F A 1Y 當當 時，由時，由 0 2 12 23 2 eY F

23、A 1Y 2 23 2 yY 2 12 23 2 xY 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 繼續(xù)加載 20 30 (12) 2 F A F A 桿1進入塑性狀態(tài). 1 0 2QF 當 222 e Y 0 2 23 2 Y FA 0eY FFFA 0 22 YY QFAQ 22 22 23 2 e YY 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 123YY B點狀態(tài) 232 yYxY 123 2, YYY 0 2/ YYYY ElE 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 比例加載 非比例加載 123 ,2 3,2, yYxY YYY 123 2,32 2, yYxY YYY

24、 00 2 YY QAFA 比例加載和非比例加載相同點比例加載和非比例加載相同點: 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 2.5 載荷平面內的屈服曲線和極限曲線載荷平面內的屈服曲線和極限曲線 (1) (1) (2) A B Q F Y F 0 載荷空間載荷空間:以結構上作用的各獨立外載以結構上作用的各獨立外載 作為坐標軸形成的空間作為坐標軸形成的空間 載荷平面內的屈服曲線載荷平面內的屈服曲線 1 0 12 (2 ) 212 FQ A 2 0 2 * 12 F A 3 0 12 (2 ) 212 FQ A 載荷空間內的一點載荷空間內的一點 載荷空間內的一組曲線載荷空間內的一組曲線 塑性力

25、學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 1Y 2Y 3Y 當各桿中的應力分別滿足上式當各桿中的應力分別滿足上式,則桁架處于彈性狀態(tài)則桁架處于彈性狀態(tài).而上式中有而上式中有 任何一個取等號時任何一個取等號時,桁架就開始屈服桁架就開始屈服. 初始彈性極限曲線初始彈性極限曲線:桁架初始彈性范圍的邊界桁架初始彈性范圍的邊界 00 12 (2)1 2 1 2 YY FQ AA 0 2 *1 12 Y F A 00 12 (2)1 2 1 2 YY FQ AA 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 極限曲線極限曲線 對于理想彈塑性材料的三桿桁架對于理想彈塑性材料的三桿桁架,當三根桿中有兩根達到屈服

26、當三根桿中有兩根達到屈服, 桁架就會變成機構桁架就會變成機構,在外載不變的情況下發(fā)生無限制的塑性流動在外載不變的情況下發(fā)生無限制的塑性流動. 12Y (1) 當當由平衡方程可得由平衡方程可得: 2130 130 ()2 ()2 F A Q A 30 30 ()2 ()2 YY Y F A Q A 0 3 0 12 12 Y Y Y FQ A Q A 0 1 121 Y Q A 0 20 Y Q A 限制條件 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 13YY (2) 當當由平衡方程可得由平衡方程可得: 2130 130 ()2 ()2 F A Q A 20 0 2 Y F A Q A 0

27、11 Y F A 只要載荷狀態(tài)達到這個六邊只要載荷狀態(tài)達到這個六邊 形上的某一點，桁架便處于形上的某一點，桁架便處于 塑性極限狀態(tài)。塑性極限狀態(tài)。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 后繼屈服曲線后繼屈服曲線 當載荷加載到初始屈服曲線之外當載荷加載到初始屈服曲線之外,但仍然在極限曲線范圍之內但仍然在極限曲線范圍之內 時時,卸載再加載卸載再加載. 0Q 0Y FA 1 112 2 00 13 2 212 Y 0 2 2 1 12 Y 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 00 13 2 212 Y 0 2 2 1 12 Y 0 11 0 12 (2 ) 212 FQ A 0 2

28、2 0 2 * 12 F A 0 33 0 12 (2 ) 212 FQ A 后繼彈性極限曲線后繼彈性極限曲線 或后繼屈服曲線或后繼屈服曲線 1Y 2Y 3Y 再加載再加載 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 張量概念及其基本運算張量概念及其基本運算 1 1、張量概念、張量概念 張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介張量分析是研究固體力學、流體力學及連續(xù)介 質力學的重要數(shù)學工具質力學的重要數(shù)學工具 。 張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。張量分析具有高度概括、形式簡潔的特點。 所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為物理恒量。所有與坐標系選取無關的量，統(tǒng)稱為物理恒量。 在一定單位制下，只

29、需指明其大小即足以被說明在一定單位制下，只需指明其大小即足以被說明 的物理量，統(tǒng)稱為標量。例如溫度、質量、功等。的物理量，統(tǒng)稱為標量。例如溫度、質量、功等。 在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向在一定單位制下，除指明其大小還應指出其方向 的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。的物理量，稱為矢量。例如速度、加速度等。 絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需絕對標量只需一個量就可確定，而絕對矢量則需 三個分量來確定。三個分量來確定。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 若我們以若我們以r表示維度，以表示維度，以n表示冪次，則關于三維表示冪次，則關于三維 空間，描述一切物理恒量

30、的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表 示成：示成： M = 3n 現(xiàn)令現(xiàn)令 n 為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物為這些物理量的階次，并統(tǒng)一稱這些物 理量為張量。理量為張量。 當當n=0時，零階張量，時，零階張量，M = 1，標量；，標量； 當當n=1時，一階張量，時，一階張量，M = 3，矢量；，矢量； 、 、 、 當取當取n時，時，n階張量，階張量，M = 3n。 塑性力學第2章-理想彈塑性材料三 桿桁架問題 在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表在張量的討論中，都采用下標字母符號，來表 示和區(qū)別該張量的所有分量。示和區(qū)別該張量的所有分量。 不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標不重復出現(xiàn)的下標符號稱為自由標號。自由標 號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數(shù)號在其方程內只羅列不求和。以自由標號的數(shù) 量確定張量的階次。量確定張量的階次。 重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱重復出現(xiàn)，且只能重復出現(xiàn)一次的下標符號稱 為啞標號或假標號。啞標號在其方程內先羅列，為啞標號或假標號。啞標號在其方程