關(guān)于凸函數(shù)的研究畢業(yè)論文

1、 畢業(yè)論文關(guān)于凸函數(shù)的研究摘 要：凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)理論研究中涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定方法及其應(yīng)用，得到了凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)，給出了凸函數(shù)的幾個著名不等式（其中包括jensen不等式、hadamard不等式以及一些初級不等式）及其應(yīng)用，并討論了凸函數(shù)在微分以及畫函數(shù)圖像中的應(yīng)用關(guān)鍵詞： 凸函數(shù)；不等式；應(yīng)用；性質(zhì)the study of convex functionabstract: convex function is an important function. in mathematics theory study i

2、t involves a lot of mathematical propositions discussion and proof. this article by a convex function definition, the determination of the convex function and its application, get many of the important properties of convex functions, convex functions give several famous inequalities (including jense

3、n inequality, hadamard inequality and some elementary inequalities) and its application and discussed the convex function in the differentiation and function of the image in the application of paint.key words: convex function； inequality； application； property 目 錄第1章 緒論11.1 凸函數(shù)研究的背景11.2 凸函數(shù)研究的意義1第2章

4、 凸函數(shù)的定義及判定22.1 凸函數(shù)幾種常見定義：22.2 定義之間等價性的證明與探討42.3 凸函數(shù)的判定定理7第3章 凸函數(shù)的性質(zhì)103.1 運算性質(zhì)103.2 分析性質(zhì)123.3 其它性質(zhì)14第4章 凸函數(shù)的應(yīng)用154.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用154.1.1 凸函數(shù)基本不等式154.1.2 jensen不等式154.1.3 hadamard不等式164.1.4 凸函數(shù)在一般不等式證明中的應(yīng)用174.1.5 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用194.2 凸函數(shù)在微分中的應(yīng)用214.3 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖像上的應(yīng)用234.3.1 利用凸函數(shù)畫函數(shù)圖像的基本步驟234.3.2 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖

5、像上的實例23結(jié) 論26參考文獻(xiàn)27致 謝28第1章 緒論1.1 凸函數(shù)研究的背景在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是很重要的一種思想方法，其精髓在利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對討論的問題進(jìn)行推理和論證，進(jìn)行尋求解決問題的途徑凸函數(shù)是一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，也是函數(shù)中一種應(yīng)用比較廣泛的函數(shù)，自21世紀(jì)初建立凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一概念已在許多數(shù)學(xué)分支得到了廣泛應(yīng)用（例如在數(shù)學(xué)分析，函數(shù)論，泛函分析，最優(yōu)化理論等領(lǐng)域之中得到廣泛應(yīng)用并取得了較好效果）凸函數(shù)的概念最早見于1905年jenser的著作中它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、變分學(xué)和最優(yōu)控制等學(xué)科的理論基

6、礎(chǔ)和有力工具在函數(shù)圖形的描繪和不等式證明推導(dǎo)方面，凸函數(shù)也具有十分重要的作用1.2 凸函數(shù)研究的意義凸函數(shù)的定義最早是由jenser給出自建立了凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支中得到了廣泛應(yīng)用凸函數(shù)涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用例如在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中應(yīng)用研究方面，凸函數(shù)作為一類特殊函數(shù)在現(xiàn)代優(yōu)化學(xué)、運籌學(xué)、管理學(xué)、和工程測繪學(xué)等多個學(xué)科有著重要的意義和很好的應(yīng)用由于凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景,一些常見的不等式都可以從函數(shù)的凸性中導(dǎo)出數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對于風(fēng)險厭惡的度量，也可以表現(xiàn)為對效用函數(shù)凸性的選擇，所以研究凸

7、函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了另外，由于凸函數(shù)理論的廣泛性，因此對于其理論的研究成果還有待進(jìn)一步的深入和推廣 第2章 凸函數(shù)的定義及判定大家都熟悉函數(shù)的圖像，它的特點是：曲線上任意兩點間的弧總在這兩點連線的下方我們可以下這樣的定義：設(shè)在上有定義，若曲線在任意兩點間的弧總位于連接該兩點的直線之下，則稱函數(shù)是凸函數(shù)上面的定義只是幾何描述性的，為了便于凸函數(shù)的應(yīng)用，用嚴(yán)格的式子分析定義凸函數(shù)是十分必要的2.1 凸函數(shù)幾種常見定義：定義2.1：設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點、和任意的總有 則稱為上的凸函數(shù)若把式中的“”變成“”，則稱為上的凹函數(shù)定義2.2：設(shè)在區(qū)間上有定義，若，總有 則稱為上的凸

8、函數(shù) 例 指數(shù)函數(shù)是上的凸函數(shù)不難驗證，恒正的函數(shù)滿足關(guān)系式:， 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，必有，再由不等式正數(shù)的幾何平均值小于它們的算術(shù)平均值，則有綜合上述可得： 因此，是上的凸函數(shù)凸函數(shù)的幾何特征 y 0 x如上圖所示，是凸函數(shù)上的兩點，它們對應(yīng)的坐標(biāo)分別為，且，那么存在，使得，于是是圖中的點，而是圖中的點，點的位置在點的上方，也就是 因此凸函數(shù)的幾何意義就是，其函數(shù)上任意兩點，之間弧段位于弦的下方定義2.3：設(shè)在區(qū)間上有定義，若，總有 則稱為上的凸函數(shù)定義2.4：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：且，有 定義2.5：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：不全為

9、零，有 定義2.6：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：， ，且，有 定義2.7：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，稱為上的凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)：， ，且，有 上述定義中的“”若改成“”，則稱為區(qū)間上的嚴(yán)格凸函數(shù)2.2 定義之間等價性的證明與探討定理2.1：定義2.2與定義2.3等價證明：“定義2.3 定義2.2”顯然成立，在式中令即得式只要證明“定義2.2 定義2.3”采用反向歸納法1）由式知：當(dāng)時式成立現(xiàn)證時成立事實上，由式有 此即式當(dāng)時成立一般地，對任意正整數(shù)，重復(fù)上面方法，應(yīng)用式次，可知 這表明式對一切皆成立 2）（證明式對成立時，必對也成立）記，則，可得假若式對成立，則有兩邊同乘以，減去

10、，最后除以，又，從而可得: 此即式對也成立證畢定理2.2：定義2.1與定義2.2、2.3等價證明：1）“定義2.1定義2.2、2.3”在式中令可得式成立，即定義2.1蘊含定義2.2，由定理2.1至定義2.2、2.3等價，故定義2.1也蘊含定義2.32）“定義2.2、2.3定義2.1”（若，式顯然成立），不妨設(shè)，先證式當(dāng)為有理數(shù)（為正整數(shù)）時成立事實上： 此即為有理數(shù)的情形得證若為無理數(shù)，則存在有理數(shù)使注意到表示的點均是區(qū)間內(nèi)部的點，由引理知在這些點處連續(xù)，從而 對于有理數(shù)，利用上面的證明有 此式中令取極限并聯(lián)系上式，有 此即式對任意無理數(shù)也成立故定義2.2,2.3也蘊含定義2.1.證畢 定理2

11、.3：定義2.1與定義2.4、2.5 等價證明:“定義2.4定義2.1”只要在式中令即得“定義2.1定義2.4”采用數(shù)學(xué)歸納法可證（定義2.4即為“不等式”）“定義2.4定義2.5”明顯，故定理2.3得證定理2.4：定義2.1與定義2.6、2.7等價證明：“定義2.1定義2.6”，且，令，則，且，又由式知： 即 此式化簡變得式故“定義2.1定義2.6”成立反之，不妨設(shè)，令，則，從而由式并化簡可得式也成立，故“定義2.6定義2.1”也成立注意到式與式只是公式的等價變形，所以“定義2.6定義2.7”成立，于是定理得證2.3 凸函數(shù)的判定定理利用凸函數(shù)的定義判別函數(shù)是否為凸函數(shù)，常常并不方便因此需要

12、建立一系列的便于應(yīng)用的判別法定理2.5：若函數(shù)是區(qū)間上的遞增可積函數(shù)，則變動上限積分所定義的函數(shù)是上的一個凸函數(shù)證明：設(shè)，則 由于是遞增的，故從而得，這樣，有定義2可知，是凸函數(shù)定理2.6：設(shè)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，則下述論斷相互等價：1）是區(qū)間上的凸函數(shù)；2）是區(qū)間上的增函數(shù)；3）對區(qū)間上的任意兩點，有；證明：1）2）在區(qū)間上的任意兩點，對充分小的正數(shù)，由于，則由定義2.6可知 因是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，令時可得 所以是區(qū)間上的增函數(shù)2）3）在以為端點的區(qū)間上，用拉格朗日中值定理和是區(qū)間上的增函數(shù)得： 移項后得，且當(dāng)時仍可得到相同的結(jié)論3）1）任取區(qū)間上的任意兩點,，由3）并利用與得： 分別用和乘上

13、述兩式并相加便得 是區(qū)間上的凸函數(shù)定理2.7：若在區(qū)間上存在，則在上成為凸函數(shù)的充分必要條件是：在上證明：必要性，已知為凸函數(shù)，令，并設(shè)因而，這樣就有，即用反證法，假設(shè)，由可知，存在，使得 另外，從知是的減函數(shù)但這函數(shù)當(dāng)時等于因此，這與結(jié)論矛盾，因而充分性，兩次應(yīng)用中值定理有 及 ，從而 再由 得 在上式中，令，及，得，兩式相加得故為凸函數(shù)證畢例 函數(shù)在內(nèi)是凸函數(shù)，因為定理2.8： 若在區(qū)間上存在，則在區(qū)間上是嚴(yán)格凸函數(shù)第3章 凸函數(shù)的性質(zhì)3.1 運算性質(zhì)性質(zhì)1：若函數(shù)和均為上的凸函數(shù)，則函數(shù)也為的凸函數(shù)證明：因，是凸函數(shù)，有定義可得，若對區(qū)間上任意兩點和正數(shù)總有 則 即為凸函數(shù)。性質(zhì)2：若函

14、數(shù)為上的凸函數(shù)，為正常則函數(shù)也為上的凸函數(shù)證明：因是凸函數(shù)，由定義知，若對區(qū)間上任意兩點和正數(shù)總有 在上式兩邊同時乘以正常得： 故也為凸函數(shù)。推論1：若函數(shù)和均為上的凸函數(shù)，則線性組合的函數(shù) 為上的凸函數(shù)性質(zhì)3: 若函數(shù)和均為上的凸函數(shù)，則函數(shù)為上的凸函數(shù)證明：因為，是凸函數(shù)，即對內(nèi)任意兩點和正數(shù)總有 從而有 所以為上凸函數(shù)性質(zhì)4： 若函數(shù)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，函數(shù)也是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是凸函數(shù)證明：因為函數(shù)是單調(diào)遞增的凸函數(shù)，函數(shù)也是單調(diào)遞增的凸函數(shù)故 ，又 所以 ，既證函數(shù)是凸函數(shù)性質(zhì)5：若函數(shù)與都是上的非負(fù)單調(diào)遞增的凸函數(shù)，則函數(shù)也是其上的凸函數(shù)證明：因為函數(shù)與在區(qū)間上是非負(fù)單

15、調(diào)遞增則 且和有 又因為函數(shù)與在區(qū)間上是凸函數(shù) 所以 ， 又因為，將上述兩式與相乘得 既證 在區(qū)間上是凸函數(shù)性質(zhì)6：若函數(shù)為區(qū)間上的凹函數(shù)，則函數(shù)為區(qū)間上的凸函數(shù)，反之不真證明：要證為區(qū)間上的凸函數(shù)，即證明任意，有，因為，為凹函數(shù)故有 所以： 只需證明： ， 由于，故成立，結(jié)論得證3.2 分析性質(zhì)性質(zhì)7：若函數(shù)是定義在區(qū)間上的凸函數(shù)，則在內(nèi)的任意有限閉子區(qū)間上有界 證明：設(shè)是內(nèi)的任意有限閉子區(qū)間，則對，存在，使得，由凸函數(shù)的定義知：因此在上有上界，設(shè)其上界是 再證在上有下界： 對任意的，令，則 所以，記 綜合上述， 性質(zhì)8：若函數(shù)是定義在區(qū)間上的凸函數(shù)，則對任意的，且，有 證明：令，則，由的凸

16、性可知 從而有 即 所以 性質(zhì)9：若函數(shù)是定義在區(qū)間上的凸函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)連續(xù)證明：對任意的，都存在閉區(qū)間，使得，令，由性質(zhì)8知：當(dāng)，有當(dāng)，有因而有 再由性質(zhì)7可知，上式右端是有下界變量因此，當(dāng)時，有，所以在點連續(xù)，由的任意性可知，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)3.3 其它性質(zhì)性質(zhì)10：若函數(shù)是定義在區(qū)間上的凸函數(shù)，則有： 1） 函數(shù) 在內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)與，且2）與都是的不減函數(shù)性質(zhì)11：設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的嚴(yán)格下凸函數(shù)，若有是的極小值點，則是在上唯一的極小值點性質(zhì)12：是上二階可導(dǎo)的凸函數(shù)，是上任一子區(qū)間，是區(qū)間上任一點，則第4章 凸函數(shù)的應(yīng)用4.1 凸函數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用在許多證明題中，我們常常遇到一些

17、不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)來證明可以非常簡潔、巧妙證明不等式是凸函數(shù)的一個重要應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù)4.1.1 凸函數(shù)基本不等式設(shè)是內(nèi)的凸函數(shù)，則對內(nèi)的任意一組值，必有不等式： 當(dāng)僅當(dāng)時等號成立4.1.2 jensen不等式j(luò)ensen不等式是凸函數(shù)的一個重要性質(zhì)，利用其證明一些重要不等式可以更簡捷jensen不等式 設(shè)是內(nèi)的凸函數(shù)，則對內(nèi)的，且不全為零，有 當(dāng)僅當(dāng)時等號成立jensen不等式的積分形式 設(shè)是內(nèi)的凸函數(shù)，而與是上的連續(xù)函數(shù)，則成立 例1 若為上的正連續(xù)函數(shù)，則 證明：考慮到函數(shù)是凹函數(shù)，為上的正連續(xù)函數(shù)當(dāng)設(shè)根據(jù)jensen不等式的積分形式

18、立得： 整理可得: 例2 若，則 證明：設(shè)，因，故是凸函數(shù)由jensen不等式有： 兩邊同乘以立得： 4.1.3 hadamard不等式設(shè)是區(qū)間上的凸函數(shù)，則對于，有 證明：由于是區(qū)間上的凸函數(shù)，所以存在且當(dāng)時，故 即 ： 又因 ： 令，得： 故：從而： 作變換，則有 從而 綜合以上可知： 4.1.4 凸函數(shù)在一般不等式證明中的應(yīng)用例1 設(shè)，為正數(shù)，且，證明證明：令 則因此，在上是凸函數(shù)，則有 即 故 例2 證明不等式，其中，均為正數(shù)證明：設(shè)，由于的一階和二階導(dǎo)數(shù) ，可見，在時為嚴(yán)格凸函數(shù)，根據(jù)jensen不等式有： 從而 即 又因為 ，所以 例3 設(shè)，證明證明：先將原不等式化為，因為為上的凸

19、函數(shù)，故當(dāng)，時，有令，則 而 所以 即 這道題目用初等知識比較困難，但通過構(gòu)造凸函數(shù)巧妙地令，更可能方便的得證4.1.5 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算數(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于均方根平均值而證明數(shù)學(xué)歸納法，其實，這些不等式可以在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明注釋：算術(shù)平均值： 幾何平均值： 均方根平均值： 調(diào)和平均值： 例1 設(shè)，證明：證明：設(shè)，有，從而，函數(shù)在是嚴(yán)格凸函數(shù)，取， 有 即 即 取 ， 同樣方法，有 于是，有 例2 證明，有 上式稱為算術(shù)平均不大于次平均，特別地，當(dāng)時，得到算術(shù)平均值不大于均方根平均值證明：考察函數(shù)，由于有，所以

20、為凸函數(shù)從而 ，有 在上式中，令即得 例3 若，且，求證：不等式 證明：從所求證的不等式的形式來看，不容易直接找到合適的凸函數(shù)，因此，可對它進(jìn)行一定的變形不妨在不等式兩邊同取自然對數(shù)，則有 由此很容易找到合適的凸函數(shù)，考察函數(shù)，因為因此函數(shù)在時為凸函數(shù)，又有， ，所以 于是 即 特別地，當(dāng)，時，此不等式就是前面例1的結(jié)果，即平均值不等式4.2 凸函數(shù)在微分中的應(yīng)用我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和lipschitz性質(zhì)例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)，試證：在上任一閉子區(qū)間上有界證明: 設(shè)為任一閉子區(qū)間：1）（證明在上有上界），取，因為凸函數(shù)，所以其中，故在上有上界2）（證明在上有下界）記為

21、的中點，則，有關(guān)于的對稱點，因為凸函數(shù)，所以從而， 即為在上的下界例2 設(shè)函數(shù)為區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)，試證：在上的任一內(nèi)區(qū)間上滿足lipschitz條件證明：要證明在區(qū)間上滿足條件，即要證明：，使得 有 因為，故可取充分小，使得與此，若，取由凸性，（其中分別表示在上的上下界），從而 若，可取，由的凸性，有，從而由此可得成立若，則式明顯成立，這就證明了式對一切皆成立，因此式當(dāng)與互換位置也成立，故有，令，則式也獲證例3 設(shè)函數(shù)為區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)，并且有界，試證極限與存在證明：設(shè)時，為內(nèi)的任意三點，根據(jù)的凸性，當(dāng)遞增時也遞增又因為根據(jù)單調(diào)有界原理，有極限 從而亦存在類似可證的存在4.3 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖像上

22、的應(yīng)用4.3.1 利用凸函數(shù)畫函數(shù)圖像的基本步驟1）、考察自身：確定定義域，討論其大范圍特性（奇偶、對稱與周期性）尋求的零點、不連續(xù)點以及漸近線2）、考察和：尋求穩(wěn)定點以及導(dǎo)數(shù)不存在的點，判定的符號，用以確定的增減區(qū)間與極值點（同時計算極值）尋求的零點二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，判定的符號，用以確定圖形的凸性區(qū)域和拐點3）、列表并畫圖4.3.2 凸函數(shù)在畫函數(shù)圖像上的實例例1 作曲線的圖形解： 1）因在處無定義，且有 即直線是該曲線的垂直漸近線，直線是該曲線的水平漸近線：且2）令，有及使導(dǎo)數(shù)無意義3）列表、畫圖 1 2 3 + - - - 0 + + + + + + + + + 0 - 0 y x 曲

23、線的圖形例2 作由方程或給出的曲線圖形解：1）考察函數(shù)本身，可知它具有周期性，周期為從而只需討論從變到即可此時的取值范圍為且有：時；時；時；時；曲線無漸近線2）對其求一階、二階導(dǎo)數(shù)得：在時，且有；使無意義3）列表、畫圖 - + - + + + - - y x 方程的曲線圖形 結(jié) 論 本文對凸函數(shù)這一概念給出了不同形式的定義，對凸函數(shù)幾種定義的等價性給予證明，并給出了凸函數(shù)的性質(zhì)，探討了幾種凸函數(shù)的判定方法，并給出了有關(guān)凸函數(shù)的簡單應(yīng)用：應(yīng)用凸函數(shù)的概念性質(zhì)來證明幾個重要且常用的不等式及凸函數(shù)的在證明不等式中的應(yīng)用，運用它解題顯得巧妙、簡練利用凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及判定定理證明不等式，關(guān)鍵是尋找合

24、適的凸函數(shù)，若不能直接找出，則可以對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到證明不等式的目的；此外，本文還研究了凸函數(shù)在微分以及畫函數(shù)圖像中的應(yīng)用參考文獻(xiàn)1 白景華 凸函數(shù)的性質(zhì)、等價定義及應(yīng)用j 開封大學(xué)學(xué)報，20032 段 峰 凸函數(shù)的定義和性質(zhì)j 和田師范?？茖W(xué)院學(xué)報，20083 裴禮文 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法m 北京:高等教育出版社 20064 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析：上冊m 北京：高等教育出版社 20015 周雪艷、張喜善 凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用j 山西財經(jīng)大學(xué)學(xué)報，20066 張彥紅 凸函數(shù)在不等式中的證明j 甘肅河西學(xué)院學(xué)報 20107 尚亞東、游淑軍 凸函數(shù)及其在

25、不等式證明中的應(yīng)用j 廣州大學(xué)學(xué)報 20058 mi zhou, yong wang, xiaolan liu, qiang bai. properties of d-properly. prequasiinvex functionsj. jourmal university. 20099 hehua jiao. to study prequasi-invex functions by applying nearlyconvexityj. joumai of jilin normal university. 2007. 10 shenglan he, wu zhou, xiaoming ji.

26、 a class of b-semipreinvex functionsj. journal of southwest university for nationalities. 2005 11 史樹中 凸分析m：上?？萍汲霭嫔?199012 土 飛 凸函數(shù)等價性討論j 廣西師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版 2003.13 趙 丹 凸函數(shù)等義的等價性證明j 樂山師范學(xué)報 2008.14 古小敏 對凸函數(shù)定義之間等價性的進(jìn)一步研究j 重慶工商大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版 200915 林銀河 凸函數(shù)的等價描述與jensen不等式j(luò) 麗水師范專科學(xué)院學(xué)報 2001 16 張 勇 凹凸函數(shù)定義探討j 牡丹江教育學(xué)院

27、學(xué)報 2009 17 皺自德 凸函數(shù)及應(yīng)用j 廣州廣播電視大學(xué)學(xué)報 2008 18 蒲義書、陳露 凸函數(shù)概述j 高等數(shù)學(xué)研究 2006 19 曹良干 凸函數(shù)的定義及應(yīng)用j 阜陽師范學(xué)院學(xué)報 1994致 謝從開始進(jìn)入論文的開課到論文的順利完成，整整經(jīng)歷了三個多月的時間在這幾個月里，有很多老師、同學(xué)、朋友給了我無數(shù)的幫助，在這里我真心的謝謝他們！首先感謝理學(xué)院四年來對我的培養(yǎng)，是我們的老師教會了我學(xué)習(xí)方法、鍛煉了我思考的能力，指明了我未來奮斗的方向，是我進(jìn)一步明確了人生目標(biāo)其次，我要感謝我的指導(dǎo)老師李富民老師，他嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；李老師循循善誘的教導(dǎo)和一絲不茍的思

28、路給予我無盡的啟示在撰寫整個論文的過程中，李老師為我們思考到每一個細(xì)節(jié)，尤其是在開題報告和畢業(yè)論文的擬定修改上，李老師更是不厭其煩的為我們做好每一步的細(xì)心教導(dǎo)對此，我表示衷心的感謝！沒有李老師，我的論文也不可能這么順利的完成最后，我要感謝每一位給過我?guī)椭睦蠋熀屯瑢W(xué)，在我撰寫論文的過程當(dāng)中同樣給了我大量有益的建議，在此向他們表示衷心地感謝，感謝他們對我的支持和幫助精品資料*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum

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