高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：為使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實(shí)效談起

1、讓問(wèn)題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體為使高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實(shí)效談起【摘 要】 數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。問(wèn)起于題，疑源于思，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程。本文從高考復(fù)習(xí)中運(yùn)用一題多解，激活學(xué)生思維的靈活性；運(yùn)用聯(lián)想和想象，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；變換思考角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性；注重題后反思，培養(yǎng)思維的批判性等四個(gè)方面；并結(jié)合教學(xué)中的案例闡述讓問(wèn)題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體，從而使高考復(fù)習(xí)更有實(shí)效?！娟P(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué) 問(wèn)題 思維 復(fù)習(xí) 有效大家知道，對(duì)于高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，不僅要特別關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和整體性，更要重視知識(shí)之間的聯(lián)系和思維過(guò)程。然而，在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)存在著許多誤區(qū)：過(guò)

2、于重視陳述性知識(shí)，忽視程序性知識(shí)；過(guò)于重視題目的講解，即一講到底的滿(mǎn)堂灌，忽視學(xué)生的思維體驗(yàn)；過(guò)于重視檢測(cè)，忽視講評(píng)，尤其第二、三輪復(fù)習(xí)中存在著練得多，講評(píng)得少；過(guò)于重視類(lèi)型歸納，忽視條理思路，雖有一定的長(zhǎng)處，但容易使學(xué)生思維僵化，不利于發(fā)展學(xué)生解決新問(wèn)題的能力。那么，在高三復(fù)習(xí)中，如何使數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)更有實(shí)效？這是我們一線(xiàn)教師所要思考的一個(gè)重要課題。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，筆者認(rèn)為，問(wèn)起于題，疑源于思；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過(guò)程的教學(xué)，上述教學(xué)誤區(qū)缺乏對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是制約高三復(fù)習(xí)質(zhì)量的瓶頸。以問(wèn)題為起點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，重視學(xué)生思維的

3、培養(yǎng)，激活學(xué)生的思維，既能達(dá)到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解與感悟，又有利于改變學(xué)生只愿做題，還善于思考、總結(jié)、變通的現(xiàn)象，也能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，因此，為使高三復(fù)習(xí)更有實(shí)效，筆者認(rèn)為“讓問(wèn)題成為激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的載體”是一種好方法，下面談?wù)勛约旱捏w會(huì)，以期同行教正。1 運(yùn)用一題多解、多變與多用，激活學(xué)生思維的靈活性思維的靈活性是指能隨機(jī)應(yīng)變，觸類(lèi)旁通，不局限于某一方面，不受消極定勢(shì)的束縛。在例題教學(xué)中，運(yùn)用一題多解、一題多變、一題多用，這不僅從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑，使學(xué)生思維始終趨于動(dòng)的狀態(tài)，有助于培養(yǎng)思維的靈活性，從而更好的達(dá)到提高解題的機(jī)智。例1 在三角變換的復(fù)習(xí)中，首先采用下

4、題（蔡小雄老師整理）與學(xué)生探討一題多解：（08浙江高考第8題）若，則（ ）abcd思路1：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得，可得的值，再由商式求得；這是一種常規(guī)思路的解法；思路2：由，比較得出的值；思路3：兩邊平方得到齊次方程，再化為的方程，從而求得的值；思路4：運(yùn)用對(duì)偶式，兩式平方相加，即得；思路5：運(yùn)用輔助角公式將，轉(zhuǎn)化為,其中，得,則;思路6：由，則，代入已知得，則此直線(xiàn)與單位圓相切，且切點(diǎn)為，故；思路7：將條件轉(zhuǎn)化向量問(wèn)題：,則，則得共線(xiàn)，于是，得；思路8：由柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故；思路9：，注意到，故，得.通過(guò)上述多種解法，可使學(xué)生思維始終處于一種“應(yīng)該再?gòu)牧硪粋€(gè)角度來(lái)思考問(wèn)題

5、”的動(dòng)的狀態(tài)。在這些證法中，匯聚了大量信息，從而拓寬了思維的領(lǐng)域，有效地訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性。趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上述命題的結(jié)構(gòu)，還可進(jìn)行一題多變和一題多用處理，通過(guò)這些方式的處理，學(xué)生思維的靈活性會(huì)進(jìn)一步得到訓(xùn)練。事實(shí)上。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)題，但卻“借題發(fā)揮”，從三角函數(shù)的基本關(guān)系式，輔助角公式，直線(xiàn)與圓，向量，自選模塊中的柯西不等式，導(dǎo)數(shù)的極值等了不同的出發(fā)點(diǎn)和角度，從一種途徑轉(zhuǎn)向另一種途徑來(lái)尋求問(wèn)題的答案，這樣的復(fù)習(xí)才有效，既拓寬了解題思路，又增強(qiáng)知識(shí)間的相互聯(lián)系，使各知識(shí)渾然一體，培養(yǎng)了學(xué)生不孤立的看待問(wèn)題，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)方法間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，讓學(xué)生在平凡中領(lǐng)悟不平凡，重視基礎(chǔ)題，

6、學(xué)會(huì)從多角度思考解題的方法和靈活的思維方式。高考復(fù)習(xí)的靈魂就在于深入挖掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)上大做文章，使好題、妙題生輝，充分例題功能的最大化。2.運(yùn)用聯(lián)想和推廣，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。思維的獨(dú)創(chuàng)性是指完成思維活動(dòng)的內(nèi)容、途徑和方法的自立程度，并通過(guò)獨(dú)立思考創(chuàng)造出有一定新穎的成份，表現(xiàn)為思維不循常規(guī)，不拘常法，不落俗套，尋求變異，勇于創(chuàng)新。它又常以廣泛的聯(lián)想、推廣、引伸及轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)。高三的例題教學(xué)中，有不少例題往往是某一問(wèn)題的特例，教學(xué)時(shí)，積極引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，對(duì)這些特例作適當(dāng)?shù)囊?、推廣，探索創(chuàng)造，尋找一般規(guī)律，有利于思維獨(dú)創(chuàng)性品質(zhì)的培養(yǎng)。例如 縱觀近幾年的浙江高考向量題，它的問(wèn)題不僅能

7、通過(guò)“數(shù)”的運(yùn)算，也可結(jié)合圖形解決，在利用圖形的方法中，通過(guò)構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，既增加問(wèn)題的直觀性，又可利用幾何性質(zhì)，省去一些計(jì)算，使問(wèn)題能更準(zhǔn)、快、活的得到解決，這就是形的方法，體現(xiàn)了向量形的神韻。為了讓學(xué)生掌握形的方法，設(shè)計(jì)一組題鏈，使學(xué)生由淺入深學(xué)會(huì)通過(guò)題目中的條件構(gòu)造符合的圖形：(1) 若不共線(xiàn),由能聯(lián)想到的圖形是 .(2)若不共線(xiàn),滿(mǎn)足,則由能聯(lián)想到的圖形是 .(3) 若三個(gè)不共線(xiàn)向量滿(mǎn)足且,則由三個(gè)不共線(xiàn)向量能聯(lián)想到的圖形是 .(4)若不共線(xiàn),由能聯(lián)想到的圖形是 .(5)若滿(mǎn)足且,由此能聯(lián)想到的圖形是 .(6)若,且滿(mǎn)足,由此聯(lián)想到的圖形是 .(7)若滿(mǎn)足且,由此能聯(lián)想到的圖形是 .通

8、過(guò)前面的鋪墊，讓學(xué)生理解和感悟?qū)ふ蚁蛄勘澈蟮膱D形的方法和技巧，激發(fā)了學(xué)生探究向量問(wèn)題的強(qiáng)烈興趣。相互討論中運(yùn)用形的方法，較快地解決了近5年的浙江高考向量題。再如：（07浙江高考）若非零向量，滿(mǎn)足，則（ c ）a b c d（圖1）（圖2）（圖3）（08浙江高考）已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿(mǎn)足，則的最大值是（ c ）（圖2）a b c d（圖3）（圖1） 如圖1，由圓的最長(zhǎng)的弦是直徑，的最大值是還可在此題目探究：1：若,其余條件保持不變呢?如上圖2；2:若不垂直呢? 若,，如上圖3.這一組題目，針對(duì)性地滲透數(shù)形結(jié)合基本數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、類(lèi)比歸納的能力，把衡量

9、學(xué)生數(shù)學(xué)思維與能力的重要標(biāo)準(zhǔn)之一的數(shù)形思想完美結(jié)合，在教學(xué)中凸顯得淋漓盡致，而且體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的創(chuàng)造性。3.變換思考角度，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性思維的廣闊性是指思維發(fā)揮作用的范圍廣闊程度。在例題教學(xué)中，常以原題作為思維的出發(fā)點(diǎn)，將條件或目標(biāo)加以變換，通過(guò)分析條件的實(shí)質(zhì)以及條件之間的相互聯(lián)系，讓學(xué)生通過(guò)比較，產(chǎn)生思維上的認(rèn)知沖突，從而訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件能力，可以培養(yǎng)思維的廣闊性。例如，在一組“形似質(zhì)相異”的排列組合問(wèn)題鏈：五人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的方法？1甲不站兩端；2甲、乙不相鄰；3甲、乙必須相鄰；4甲、乙之間間隔兩人；5甲不站左端乙不站右端；6甲、乙、丙三人從

10、左到右從高到低排列這一組問(wèn)題中，讓學(xué)生通過(guò)比較、對(duì)比來(lái)訓(xùn)練在排列問(wèn)題中的“特殊元素”與“特殊位置”，“相鄰問(wèn)題”與“不相鄰問(wèn)題”，“定序”與“不定序”，“正面情況多”與“反面考慮”所采用的各種針對(duì)性策略，總結(jié)出排列問(wèn)題的八大基本方法-“加減乘除，捆插隔化”。再如，學(xué)生常對(duì)審題中的細(xì)節(jié)不重視，又在線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求目標(biāo)函數(shù)范圍問(wèn)題的轉(zhuǎn)化比較薄弱，故復(fù)習(xí)中選了一組題目讓學(xué)生去理解、感悟：已知,求的取值范圍.1.改變定點(diǎn)如：求；2.改變范圍如：；等；3.設(shè)置隱含條件如：求的取值范圍；求的取值范圍等；4.改變目標(biāo)函數(shù)：如；區(qū)域面積等； 5.改變可行域：如不等式組表示的平面區(qū)域；拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸

11、近線(xiàn)所圍成的區(qū)域等.6.增加變量，改變問(wèn)題方式如：僅在點(diǎn)取最大值時(shí)的范圍；待添加的隱藏文字內(nèi)容3設(shè)為實(shí)數(shù)，若，求的取值范圍； 若，且當(dāng)時(shí)，恒有，求點(diǎn)所形成的平面區(qū)域的面積等在放手讓學(xué)生做題中，讓學(xué)生感悟到“題目會(huì)說(shuō)話(huà)”，要讓題目說(shuō)話(huà)就是審題，它是解題的一個(gè)重要步驟，通過(guò)審題，收集信息，熟悉題目并深入思考，就會(huì)找到解題的入口，不忽視任何一個(gè)細(xì)節(jié)。高考復(fù)習(xí)忌在“就題論題”，這就好比是“戴著鐐銬在跳舞”，讓學(xué)生處理由淺入深的不同角度問(wèn)題，雙基訓(xùn)練更加落實(shí)，在認(rèn)知沖突中思維更嚴(yán)密。 4.注重題后反思，培養(yǎng)思維的批判性思維的批判性是思維活動(dòng)中的獨(dú)立分析和批判的程度。它主要表現(xiàn)為有自己的獨(dú)立見(jiàn)解，敢于懷疑

12、，有較高的辨誤能力。在解題教學(xué)中，我們教師要有針對(duì)性地抓住具有普遍意義的典型錯(cuò)誤，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，進(jìn)行錯(cuò)解辨析，提高學(xué)生的辨別和推理能力，從而達(dá)到培養(yǎng)思維批判性的目的。事實(shí)上，教的真諦在于導(dǎo)，學(xué)的成功在于悟。課堂教學(xué)的根本在于啟發(fā)學(xué)生如何去想，讓學(xué)生用內(nèi)心創(chuàng)造與體驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)，平時(shí)訓(xùn)練中，讓學(xué)生掌握知識(shí)，提高分析和解決問(wèn)題能力，在概括歸納中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和方法，在反思中提升能力。然而在實(shí)踐中，許多學(xué)生不重視解題后的反思，往往只是草草完成老師布置的作業(yè)，對(duì)問(wèn)題淺嘗輒止，題做了不少，卻收獲甚微。針對(duì)這一情況借鑒了高考復(fù)習(xí)課中的案例：給出問(wèn)題：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于a、b兩點(diǎn)，求證：“如果直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

13、那么”是真命題。 讓學(xué)生獨(dú)立思考，自行完成，并將一同學(xué)的解題抄在黑板：解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，則.又由得，則.,故命題得證。在解決后反思，該解法有什么問(wèn)題？讓學(xué)生歸納：?jiǎn)栴}1：所設(shè)直線(xiàn)的方程不全面遺漏了斜率不存在時(shí)直線(xiàn)的方程為,此時(shí)也滿(mǎn)足題意；問(wèn)題2：在兩次消元后得到的方程中運(yùn)用韋達(dá)定理都沒(méi)考慮條件，需說(shuō)明；問(wèn)題3：字母,表示什么意義均未提及，需另設(shè)，繼續(xù)反思，作何改進(jìn)？1.沒(méi)必要進(jìn)行兩次消元，由可得； 2.在解析幾何中設(shè)直線(xiàn)方程常常對(duì)斜率存在或不存在進(jìn)行，而本題中可知直線(xiàn)的斜率顯然不為0，故可設(shè)避免討論；同時(shí)還可總結(jié)形成解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的核心方法-運(yùn)用韋達(dá)定理，常用步驟是：設(shè)、聯(lián)、消

14、、判、定。再繼續(xù)反思，能否自己編擬問(wèn)題，如從命題的逆命題、否命題、逆否命題的真假判斷，或從問(wèn)題的一般性出發(fā)等：1.逆命題是：設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于a、b兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)；2. 直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于a、b兩點(diǎn)，若，則弦過(guò)定點(diǎn)反之成立；3. 若拋物線(xiàn)c：的一條動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)，則為定值； 4還可以讓學(xué)生了解更一般的情況：已知ab為拋物線(xiàn)c：的一條動(dòng)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)a、b兩點(diǎn)位于x軸的兩側(cè)時(shí)，ab弦過(guò)定點(diǎn)）；當(dāng)a、b兩點(diǎn)位于x軸的同側(cè)時(shí)，ab弦過(guò)定點(diǎn)這在一組問(wèn)題中，師生互動(dòng)，相互交流，一起彌補(bǔ)三個(gè)解題漏洞和缺陷，在完善、規(guī)范學(xué)生的解法后，教師及時(shí)點(diǎn)出這類(lèi)問(wèn)題通常有著“設(shè)、聯(lián)、消、判、定”五個(gè)基本步驟，這樣就讓學(xué)生在實(shí)踐中有了很強(qiáng)的針對(duì)性和操作性。還充分考慮到思維的循序漸進(jìn)，使通過(guò)做題的學(xué)生都能體會(huì)到其中蘊(yùn)含的規(guī)律，結(jié)合學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)上給出方向編擬題目，在解題中提高，在聯(lián)系中發(fā)展，在總結(jié)中提升。高三復(fù)習(xí)不僅要讓學(xué)生獲得