東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文

1、東北大學(xué)第九屆東軟杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽暨2011年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽校內(nèi)選拔賽參賽隊(duì)編號(hào)：（20093481）選擇題目：a b基于公路汽車(chē)側(cè)滑的公路合理性分析和改進(jìn)方案一 摘要本論文通過(guò)上網(wǎng)查找事故發(fā)生地的實(shí)際情況，結(jié)合公路設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)要求，忽略次要因素，對(duì)于問(wèn)題一，建立了基于分析汽車(chē)在彎道內(nèi)側(cè)滑的條件的公路合理性模型，計(jì)算出汽車(chē)在彎道內(nèi)行駛最容易發(fā)生事故的點(diǎn)和進(jìn)入彎道而不發(fā)生事故的最大速度。對(duì)于問(wèn)題二，設(shè)計(jì)緩和曲線(xiàn)，建立了緩和曲線(xiàn)的曲線(xiàn)方程模型，使汽車(chē)通過(guò)緩和曲線(xiàn)能從直道平滑的過(guò)渡到彎道。對(duì)于問(wèn)題一，首先，通過(guò)在google地圖上取點(diǎn)，描繪出事故多發(fā)地彎道的曲線(xiàn)形狀，將屏幕坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際

2、道路情況坐標(biāo)點(diǎn)。其次，對(duì)得到的反映實(shí)際路況的一系列坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行hermite插值處理，并將處理后的點(diǎn)擬合成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)。再次，通過(guò)分析汽車(chē)入彎后行駛時(shí)的情況得出發(fā)生側(cè)滑的條件。最后，考慮汽車(chē)在彎道上每一點(diǎn)行駛的滾動(dòng)摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計(jì)算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的進(jìn)入彎道的初始速度的值，這個(gè)值就是能順利過(guò)彎而不發(fā)生事故的速度最大值。通過(guò)計(jì)算得出進(jìn)入彎道的最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h為62.2221km/h即超過(guò)此速度后汽車(chē)在彎道內(nèi)一定會(huì)發(fā)生事故。對(duì)于問(wèn)題二，由于不要求成本最低，則假設(shè)不能改變s型彎道的形狀，依據(jù)問(wèn)題一的結(jié)論，在不改變彎

3、道形狀的前提下，通過(guò)設(shè)計(jì)緩和曲線(xiàn)使汽車(chē)安全過(guò)彎，緩和曲線(xiàn)作用主要有兩點(diǎn)，一是提示司機(jī)前方有彎，需減速至60km/h以下，二是使汽車(chē)車(chē)頭能平滑的轉(zhuǎn)動(dòng)至彎道切線(xiàn)方向，而不因?yàn)檐?chē)頭轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)快使汽車(chē)失去控制。緩和曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)通過(guò)對(duì)緩和曲線(xiàn)的要求推導(dǎo)出霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)）模型，根據(jù)要求改變道路成本最低，確定處緩和曲線(xiàn)的最小長(zhǎng)度，通過(guò)最小長(zhǎng)度確定回旋線(xiàn)的參數(shù)。求解緩和曲線(xiàn)方程式，通過(guò)轉(zhuǎn)化，近似，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)帶初值的二階微分方程的問(wèn)題，微分方程為：此微分方程無(wú)法求得解析解，因此采用計(jì)算出其在設(shè)置緩和曲線(xiàn)范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過(guò)最小二乘法對(duì)緩和曲線(xiàn)方程做擬合的方法近似計(jì)算緩和曲線(xiàn)方程。論文中圖

4、七為緩和曲線(xiàn)與彎道連接的示意圖。關(guān)鍵詞：hermite插值，最小二乘法擬合，滾動(dòng)摩擦力，緩和曲線(xiàn)，霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)），微分方程數(shù)值解， 二 問(wèn)題重述廣元市利州區(qū)寶輪鎮(zhèn)街道上，于2010年5月25日發(fā)生一起交通事故。一輛拉磚的貨車(chē)一頭撞進(jìn)路邊居民房?jī)?nèi)，司機(jī)受傷。該段道路的上段是近2公里的長(zhǎng)坡，到出事路段時(shí)，則是一段s形的急彎陡坡路?！斑@一段公路至少都有40多米寬，是寶輪的形象公路。”張建東來(lái)到寶白公路另一端說(shuō)，他家門(mén)口的公路，卻因?yàn)榻艘蛔吧秸浯髲B”，將整個(gè)道路差不多占去一半，該大廈同時(shí)將往寶輪方向行駛的車(chē)輛的視線(xiàn)完全擋住?！拔覀冋J(rèn)為這段路設(shè)計(jì)上有問(wèn)題，以前這里就是一塊平地，本來(lái)可以建成

5、沒(méi)有坡的道路，現(xiàn)在卻是原沒(méi)有坡的拱了個(gè)坡，沒(méi)有彎的造了個(gè)彎?！备浇用裾f(shuō)，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線(xiàn)，駛過(guò)此路段的車(chē)輛車(chē)速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來(lái)不及剎車(chē)。汽車(chē)行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車(chē)速達(dá)到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車(chē)。遇到紅綠燈后剎車(chē)已經(jīng)來(lái)不及了。在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計(jì)符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型：(1) 說(shuō)明道路設(shè)計(jì)是否合理；(2) 如道路設(shè)計(jì)不合理需要如何修改設(shè)計(jì)在最小成本的情況下得到最大改善。三 模型假設(shè)1. 汽車(chē)在下坡時(shí)不知道前方有急彎。汽車(chē)在不知情情況下沿下坡路段一直加速。2. 當(dāng)汽車(chē)發(fā)現(xiàn)紅綠燈時(shí)立即剎車(chē)

6、減速，并開(kāi)始過(guò)彎。汽車(chē)進(jìn)入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線(xiàn)方向進(jìn)入彎道的。3. 汽車(chē)的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑。4. 假設(shè)汽車(chē)發(fā)生的事故只有側(cè)滑而沒(méi)有側(cè)翻的情況，即當(dāng)失去平衡時(shí)汽車(chē)四輪沒(méi)有離開(kāi)地面。5. 認(rèn)為只要側(cè)滑就為發(fā)生事故。四 問(wèn)題分析 通過(guò)查閱google地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶?shí)際情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段為一個(gè)直道下坡之后接一個(gè)s型彎道如下圖所示：s型彎道直道山珍大廈圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖結(jié)合google地圖中的地形和照片中的路口實(shí)際情況，分析事故發(fā)生的原因可以推斷，汽車(chē)行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車(chē)速達(dá)到較大的值，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下

7、，不會(huì)減速剎車(chē)。遇到紅綠燈后汽車(chē)剎車(chē)過(guò)彎，但已經(jīng)來(lái)不及將速度降低到正常過(guò)彎的情況。由于離心力的作用，導(dǎo)致汽車(chē)失去控制，發(fā)生事故。分析道路設(shè)計(jì)是否合理即可轉(zhuǎn)化為分析汽車(chē)以一定速度從坡道上行駛下來(lái)后不發(fā)生事故的最大速度的問(wèn)題。改良公路線(xiàn)型使汽車(chē)能平滑入彎。第一步，通過(guò)取點(diǎn)將入彎段得公路彎道曲線(xiàn)離散化，用hermite插值對(duì)所取離散的點(diǎn)進(jìn)行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得公路曲線(xiàn)的函數(shù)。第二步，結(jié)合第一步所得的函數(shù)，計(jì)算在入彎處的函數(shù)在此點(diǎn)的曲率半徑，結(jié)合牛頓力學(xué)進(jìn)行分析，得出實(shí)際允許的最大速度，與實(shí)際情況比較得出公路設(shè)計(jì)是否合理第三步，以汽車(chē)在彎道路段不發(fā)生側(cè)滑為原則，對(duì)以上兩步求得的結(jié)

8、果進(jìn)行優(yōu)化分析，結(jié)合公路設(shè)計(jì)中的緩和曲線(xiàn)，盡可能大的增大最大速度，權(quán)衡成本與速度最優(yōu)得出結(jié)論。五 符號(hào)說(shuō)明符號(hào)含義在地圖上取得一系列的點(diǎn)汽車(chē)行駛到彎道處得曲線(xiàn)方程汽車(chē)駛?cè)霃澋罆r(shí)，彎道的起點(diǎn)彎道在處開(kāi)始到處結(jié)束，汽車(chē)入彎時(shí)在的曲率半徑，在彎道中行駛在處得曲率半徑汽車(chē)的質(zhì)量，汽車(chē)入彎時(shí)的速度，汽車(chē)行駛到時(shí)的速度 汽車(chē)的滾動(dòng)摩擦系數(shù)汽車(chē)的橫向附著力系數(shù)路面超高，即公路平面與水平面夾角剎車(chē)后滑行，從剎車(chē)點(diǎn)到的路程。緩和曲線(xiàn)的方程。緩和曲線(xiàn)的起始點(diǎn)。點(diǎn)處距開(kāi)始處距離。緩和曲線(xiàn)段行駛的平均速度。緩和曲線(xiàn)上行駛的離心加速度變化率為l緩和曲線(xiàn)的總長(zhǎng)度。直線(xiàn)段得斜率，即入彎點(diǎn)的彎道斜率緩和曲線(xiàn)上點(diǎn)處得曲率半徑六

9、 模型建立6.1 原始數(shù)據(jù)的取得和處理6.1.1 對(duì)所取的點(diǎn)進(jìn)行hermite插值用google地圖中的點(diǎn)在屏幕上的坐標(biāo)得到在題目描述路段的道路曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)并將通過(guò)比例尺轉(zhuǎn)化為橫縱坐標(biāo)都為m的點(diǎn)設(shè)為。以水平東西方向?yàn)閤軸，以水平南北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，。在中對(duì)事故發(fā)生路段著重取點(diǎn)增大取點(diǎn)的密集程度，提高準(zhǔn)確性。對(duì)取得的一組點(diǎn)中的事故發(fā)生路段的點(diǎn)設(shè)為，設(shè)其中有若干組點(diǎn)進(jìn)行hermite插值，得到更加密集的一組點(diǎn)，使曲線(xiàn)更加平滑。6.1.2 最小二乘法擬合由于hermite插值得到的插值多項(xiàng)式一階可導(dǎo)但二階不一定可導(dǎo)，而求曲線(xiàn)的曲率時(shí)必須用到函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)值，因此，對(duì)hermite求得的

10、更密集的點(diǎn)用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合成一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，設(shè)用最小二乘法擬合求得彎道曲線(xiàn)的方程為，并求得汽車(chē)在處入彎。6.2 公路彎道設(shè)計(jì)合理性分析公路設(shè)計(jì)的合理性可由入彎不發(fā)生側(cè)滑的最大速度衡量，即容許通過(guò)該路段不發(fā)生事故車(chē)輛的最大速度。通過(guò)動(dòng)力學(xué)理論分析可求得此最大速度。6.2.1彎道曲線(xiàn)中的曲率半徑道路曲線(xiàn)的方程為，則曲線(xiàn)上點(diǎn)的的曲率半徑為： (1)在點(diǎn)的曲率半徑為6.2.2 汽車(chē)不發(fā)生側(cè)滑時(shí)速度條件模型 輪胎在路面上出現(xiàn)橫向滑移時(shí)的附著系數(shù)稱(chēng)為橫滑附著系數(shù)設(shè)其為。汽車(chē)通過(guò)彎道時(shí)，在未使用制動(dòng)的條件下，不出現(xiàn)側(cè)滑的條件是離心力不大于橫向附著力與汽車(chē)重力在路面平行方向的分力之和。汽車(chē)離心力可表

11、示為 (2)公示中m為汽車(chē)的質(zhì)量，v為汽車(chē)過(guò)彎的速度。汽車(chē)的橫向附著力可表示為： (3)由于公路設(shè)計(jì)時(shí)路面都不會(huì)是平整的，路面與水平面之間都有很小的夾角，設(shè)路面與水平面之間的夾角即路面超高為，因此重力在路面方向的分力為： (4)在很小時(shí)由于，即則可以用近似的代替，即上式可化為： (5)要使汽車(chē)入彎后不出現(xiàn)側(cè)滑的情況須有： (6)由以上各式可解得： (7)6.2.3 剎車(chē)之后速度變化模型剎車(chē)之后，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作不做功，汽車(chē)依靠原有動(dòng)能在路上滑行，摩擦力最大可取滑動(dòng)摩擦力，不發(fā)生側(cè)滑時(shí)取滾動(dòng)摩擦力為。設(shè)滑到處時(shí)汽車(chē)速度為，在此處彎道的曲率半徑為。由剎車(chē)后汽車(chē)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。從處入彎到達(dá)處汽車(chē)劃過(guò)距

12、離由弧長(zhǎng)公示可得： (8) 汽車(chē)行駛到處時(shí)的速度滿(mǎn)足關(guān)系式： (9)判斷公路設(shè)計(jì)是否合理即判斷在彎道曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)上是否都有 (10)由以上各式帶入化簡(jiǎn)可得： (11)在曲線(xiàn)的每一點(diǎn)都要滿(mǎn)足上式，因此應(yīng)滿(mǎn)足： (12)將上式作為評(píng)判公路是否合理的標(biāo)準(zhǔn)。6.3 緩和曲線(xiàn)道路改善模型 在不改變彎道形狀的情況下，使道路狀態(tài)改善，在彎道上發(fā)生事故的事故率降低，只有降低入彎時(shí)的速度才能達(dá)到目的，在6.2的出的結(jié)論基礎(chǔ)上，在坡道和彎道間加入緩和曲線(xiàn)，緩和曲線(xiàn)能提醒司機(jī)前方有彎道，提醒司機(jī)減速。經(jīng)分析該段道路容易發(fā)生事故的主要原因就是司機(jī)不能提前知道事故路段是一個(gè)s型彎道，即彎道曲線(xiàn)的曲率半徑變化過(guò)快，車(chē)通

13、過(guò)在坡道和彎道曲線(xiàn)之間加入一條緩和曲線(xiàn)可解決此問(wèn)題。緩和曲線(xiàn)是設(shè)置在直線(xiàn)與圓曲線(xiàn)之間或大圓曲線(xiàn)與小圓曲線(xiàn)之間過(guò)渡的線(xiàn)型，是道路平面線(xiàn)型要素之一。在加入緩和曲線(xiàn)后，汽車(chē)行駛至緩和曲線(xiàn)范圍時(shí)開(kāi)始減速。讓司機(jī)有足夠的時(shí)間調(diào)整車(chē)頭方向，使汽車(chē)平滑入彎。6.3.1 緩和曲線(xiàn)的曲線(xiàn)方程模型此處的緩和曲線(xiàn)應(yīng)為在一條直線(xiàn)與圓曲線(xiàn)之間的過(guò)渡，在理想狀態(tài)下此緩和曲線(xiàn)應(yīng)滿(mǎn)足如下性質(zhì)：1.在緩和曲線(xiàn)開(kāi)始處，曲率半徑應(yīng)與直線(xiàn)曲率半徑一致，均為無(wú)窮大。2.在緩和曲線(xiàn)結(jié)束處，曲率半徑應(yīng)與彎道曲線(xiàn)的曲率半徑相同。3.以緩和曲線(xiàn)開(kāi)始處為參照點(diǎn)，在曲線(xiàn)任意點(diǎn)處曲線(xiàn)的曲率半徑都與對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)長(zhǎng)成反比例。由以上性質(zhì)建立緩和曲線(xiàn)方程模型

14、，設(shè)緩和曲線(xiàn)從處開(kāi)始至處結(jié)束，為緩和曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)距處距離為，曲率半徑為。緩和曲線(xiàn)總長(zhǎng)為。在曲線(xiàn)任意點(diǎn)曲率半徑與對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)長(zhǎng)成反比例： (13)為使上式滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。必須找出一個(gè)待定的比例系數(shù)，為推導(dǎo)上的便利，由于和都為正數(shù)因此選比例系數(shù)為。上式可化為： (14)此公式即為緩和曲線(xiàn)公式，滿(mǎn)足此條件的螺旋線(xiàn)稱(chēng)為霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)）。用此作為公路直線(xiàn)段與彎道段的過(guò)渡曲線(xiàn)可滿(mǎn)足平滑過(guò)渡的要求。6.3.2霍爾布魯克螺線(xiàn)（回旋線(xiàn)）中參數(shù)的確定以上推導(dǎo)得出的霍爾布魯克螺線(xiàn)方程中緩和曲線(xiàn)總長(zhǎng)為是未知量，即緩和曲線(xiàn)的初始位置是未知的?；魻柌剪斂寺菥€(xiàn)的參數(shù)未知，可根據(jù)6.2中擬合出的緩和曲線(xiàn)終點(diǎn)的曲率

15、半徑等于彎道起始點(diǎn)的曲率半徑得出與的函數(shù)關(guān)系如下： (15)分析上述函數(shù)式，必須引入其他因素來(lái)確定緩和曲線(xiàn)長(zhǎng)度的值從而確定出螺線(xiàn)中的參數(shù)。緩和曲線(xiàn)的長(zhǎng)度應(yīng)盡可能的小，從而降低修改公路的成本，緩和曲線(xiàn)的最小長(zhǎng)度可綜合旅客過(guò)彎時(shí)的舒適程度和緩和曲線(xiàn)段行駛時(shí)間長(zhǎng)短確定。（1）根據(jù)旅客的舒適程度確定旅客的舒適程度是有離心加速度的變化率決定的，設(shè)在緩和曲線(xiàn)上行駛的離心加速度變化率為，進(jìn)入彎道時(shí)的離心加速度為，緩和曲線(xiàn)上行駛平均速度為，緩和曲線(xiàn)上行駛的時(shí)間為，則： (16) (17)綜合確定的取值 (18)這a的取值即可確定：。（2）行駛時(shí)間不宜過(guò)短確定緩和曲線(xiàn)上行駛的時(shí)間為，緩和曲線(xiàn)上行駛平均速度為，則

16、有，由此可得出螺線(xiàn)參數(shù)a的取值： (19)綜合以上兩點(diǎn)，可由（1）先計(jì)算出的值，再由（2）式條件調(diào)整的大小，達(dá)到最優(yōu)解決問(wèn)題的目的。6.3.2 霍爾布魯克螺線(xiàn)直角坐標(biāo)系下曲線(xiàn)方程的推導(dǎo) 設(shè)霍爾布魯克螺線(xiàn)在直角坐標(biāo)系下的方程為則由上一問(wèn)模型中給出的公式得在螺線(xiàn)上的每一點(diǎn)的曲率半徑都滿(mǎn)足表達(dá)式，距緩和曲線(xiàn)開(kāi)始時(shí)的長(zhǎng)度滿(mǎn)足表達(dá)式。在螺線(xiàn)上每一點(diǎn)都滿(mǎn)足，得出在螺線(xiàn)的曲線(xiàn)方程應(yīng)滿(mǎn)足： (20)曲為了簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)緩和曲線(xiàn)上點(diǎn)的曲率半徑充分大時(shí)可將近似的等于直線(xiàn)上從點(diǎn)到點(diǎn)的直線(xiàn)距離，設(shè)直線(xiàn)的方程為。則上微分方程可化為： (21)求出此微分方程即可得出的表達(dá)式，積分得到的表達(dá)式。要求解處此微分方程解析解非常困

17、難，本模型通過(guò)計(jì)算數(shù)值解在曲線(xiàn)上描點(diǎn)后擬合得出其曲線(xiàn)方程。七 模型求解7.1 原始數(shù)據(jù)的處理在地圖上取地圖在屏幕上像素點(diǎn)的坐標(biāo)為原始擬合數(shù)據(jù)，由于題目中給出坡道是一條直線(xiàn)，因此在二維平面上取點(diǎn)時(shí)坡道部分只取起點(diǎn)和終點(diǎn)，彎道部分為分析的重點(diǎn)，在彎道部分取點(diǎn)密集在地圖中取點(diǎn)并用matlab畫(huà)出折線(xiàn)圖圖像如下：圖二 像素點(diǎn)的初始數(shù)據(jù)需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將數(shù)據(jù)的像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)成距離，由于在地圖中縮放都是按比例進(jìn)行的，即x軸縮放多少倍，y軸也縮放多少倍，由地圖比例尺可知轉(zhuǎn)化成距離圖像如下圖三 處理后道路實(shí)際情況示意圖由模型假設(shè)得圖中直線(xiàn)部分與曲線(xiàn)部分相切，即只考慮曲線(xiàn)部分圖形即可，將圖像中的第一個(gè)點(diǎn)去掉后可

18、得彎道部分的取點(diǎn)情況（如圖中曲線(xiàn)1），像素點(diǎn)坐標(biāo)是離散的值，各個(gè)點(diǎn)之間不光滑，而擬合曲線(xiàn)時(shí)越光滑越好，對(duì)所得曲線(xiàn)進(jìn)行分段hermite插值，通過(guò)取每0.2m為一段插值后的曲線(xiàn)（圖中曲線(xiàn)2）比插值前光滑程度上有明顯改善圖四 彎道插值前后的對(duì)比曲線(xiàn)為提高計(jì)算的準(zhǔn)確度，計(jì)算曲率半徑時(shí)可將數(shù)據(jù)沿東西方向平移，即將橫坐標(biāo)減去2300。將圖像中x和y變化后用一下過(guò)程擬合。求解過(guò)程中需要計(jì)算切入點(diǎn)的曲率半徑，因此需用最小二乘法對(duì)所得插值后各點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，比較各個(gè)階次多項(xiàng)式的擬合情況，決定用10次多項(xiàng)式對(duì)彎道曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，擬合情況和各次多項(xiàng)式擬合的程度如下：圖五 擬合曲線(xiàn)與原曲線(xiàn)擬合度對(duì)比由以上圖形可得出

19、彎道曲線(xiàn)部分的擬合多項(xiàng)式為：y = p1*x10 + p2*x9 + p3*x8 + p4*x7 + p5*x6 + p6*x5 + p7*x4 + p8*x3 + p9*x2 + p10*x + p11 coefficients: p1 = 3.1713e-023; p2 = -1.4584e-019; p3 = 2.835e-016; p4 = -3.0413e-013; p5 = 1.9759e-010; p6 = -8.0578e-008; p7 = 2.0784e-005; p8 = -0.0033561; p9 = 0.33085; p10 = -18.581; p11 = 695

20、.16;上述多項(xiàng)式即為插值擬合后得到的擬合曲線(xiàn)方程。去掉一些不合理的點(diǎn)之后得到多項(xiàng)式函數(shù)曲線(xiàn)圖像如圖圖六 最終確定的多項(xiàng)式函數(shù)曲線(xiàn)在如圖曲線(xiàn)中x的取值可從50m到680m可研究此段水平方向上0.6公里的彎道情況來(lái)說(shuō)明公路設(shè)計(jì)的合理性和緩和曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)。7.2 公路彎道設(shè)計(jì)合理性求解7.1.1 計(jì)算彎道的曲率半徑由求得的擬合多項(xiàng)式函數(shù)及曲率半徑的公示計(jì)算可得曲率半徑為：for i = 1:1:1259in=x(i) out(i)=p1*in10 + p2*in9 +p3*in8 + p4*in7 +p5*in6 + p6*in5 +p7*in4 + p8*in3 +p9*in2 + p10*in+

21、p11;endd1=diff(out,1);d2 = diff(out,2);d1=abs(d1);d2=abs(d2);for i = 1:1:1259ans(i) = sqrt(1+d1(i)2)3)/d2(i);end 因此在入彎時(shí)曲率半徑為142.9576m。此曲率半徑在x=50時(shí)取得，最小曲率半徑為86.9802m此曲率半徑在x=555m是取得。min(ans)ans = 86.98027.1.1 計(jì)算彎道個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度 根據(jù)曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，在計(jì)算公式中，積分可變成求個(gè)段得和matlab實(shí)現(xiàn)代碼如下：s = sqrt(1+d12);for i = 1:1:1259s(i) = sqr

22、t(1+d1(i)2);endfor i = 1:1:1259q(i)=sum(s(1:i);end 得出的q即為各點(diǎn)到起點(diǎn)的曲線(xiàn)長(zhǎng)度。7.1.2 選取合適的參數(shù) 在公路上行駛假設(shè)地面對(duì)汽車(chē)的橫向附著力系數(shù)是一個(gè)常量，并且不會(huì)改變。查閱相關(guān)資料可取，路面超高，為了簡(jiǎn)化計(jì)算此處的滾動(dòng)摩擦因數(shù)取附著力系數(shù)的即。下面來(lái)求最容易失去控制發(fā)生側(cè)滑的點(diǎn)在曲線(xiàn)中的位置。按照模型推理出來(lái)的公式求各點(diǎn)的速度的matlab代碼如下：for i = 1:1:1259f(i)=sqrt(2*(1/30)*0.25*9.8*q(i)+ans(i)*9.8*0.25*(31/30);endmin(f)ans = 17.2

23、839得出要安全過(guò)彎在彎道入口處得最大速度為17.2839m/s轉(zhuǎn)換為km/h得入彎時(shí)的速度應(yīng)為62.2221km/h。即在入彎處應(yīng)限制最大速度60km/h7.3 緩和曲線(xiàn)設(shè)計(jì)模型的求解7.3.1緩和曲線(xiàn)中參數(shù)的確定考慮汽車(chē)中乘客的舒適程度，查閱相關(guān)資料得到離心加速度變化率一般都在0.35到0.5之間，即，平均速度取0.0214v得： (22)結(jié)合行駛時(shí)間不超過(guò)3s得，為方便計(jì)算取l=50m。當(dāng)l=50m時(shí)a=84.5451。7.3.2計(jì)算緩和曲線(xiàn)在直角坐標(biāo)系下的方程由模型建立中給出的公式結(jié)合已算出的數(shù)據(jù)可將微分方程中參數(shù)加以確定： (23)其中=84.5451，=1.2133，=0.0270

24、，由假設(shè)得到直線(xiàn)的斜率與入彎點(diǎn)的斜率相等，因此=1.2133，此微分方程求解析解很困難，因此求出一系列數(shù)值解后描點(diǎn)得出曲線(xiàn)的形狀，再用最小二乘法擬合出緩和曲線(xiàn)的曲線(xiàn)方程。求解微分方程數(shù)值解需對(duì)模型中變量做近似，因?yàn)閮牲c(diǎn)間直線(xiàn)距離最短，當(dāng)直線(xiàn)距離為50米時(shí)緩和曲線(xiàn)取值大于50米，但由于緩和曲線(xiàn)的曲率半徑很小所以可以近似的認(rèn)為緩和曲線(xiàn)設(shè)置在直線(xiàn)長(zhǎng)度為50區(qū)間內(nèi)，求解得出直線(xiàn)上距離入彎點(diǎn)50米得點(diǎn)的坐標(biāo)為（18.5000，243.0834）求解過(guò)程如下：x=0:0.5:50;and = (50-x)*sqrt(1+1.21332)and(38)ans = 49.5271x(38)ans = 18.5

25、000即計(jì)算出微分方程中x坐標(biāo)為18.5到50的各點(diǎn)的函數(shù)值即可。求解步驟如下：1.將微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組： (24)2.上述方程中求出關(guān)于x的一系列值。3.對(duì)求積分，得出即為緩和曲線(xiàn)上的點(diǎn)。描點(diǎn)得到加入緩和曲線(xiàn)后公路的彎道情況如下：圖七 緩和曲線(xiàn)與彎道連接示意圖曲線(xiàn)用4次多項(xiàng)式擬合后多項(xiàng)式函數(shù)為：y = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5 coefficients: p1 = 1.2659e-017 p2 = -1.747e-015 p3 = 8.7342e-014 p4 = -1.2133 p5 = 341.97九 模型優(yōu)化1.公路設(shè)計(jì)合理性的優(yōu)化考慮

26、到方便計(jì)算，上述模型只從汽車(chē)過(guò)彎道時(shí)是否發(fā)生側(cè)滑情況加以分析，但沒(méi)有考慮另一種罕見(jiàn)的事故情況即側(cè)傾，當(dāng)汽車(chē)速度過(guò)快入彎時(shí)，車(chē)頭方向來(lái)不及調(diào)整，可能造成汽車(chē)側(cè)傾，側(cè)傾與側(cè)滑相似也有一個(gè)不發(fā)生側(cè)傾的最大速度， 得出不發(fā)生側(cè)傾的最大速度后可依照原模型進(jìn)行分析。具體過(guò)程與側(cè)滑時(shí)相同。2.緩和曲線(xiàn)的優(yōu)化 在設(shè)計(jì)緩和曲線(xiàn)時(shí)，可加入對(duì)超高漸變的設(shè)計(jì)，設(shè)彎道超高為，則應(yīng)使超高隨緩和曲線(xiàn)長(zhǎng)度的怎大均勻變化即超高與距初始點(diǎn)長(zhǎng)度比值為一個(gè)常數(shù)即： (25) 在超高上升過(guò)程中，緩和曲線(xiàn)應(yīng)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)軸與行車(chē)道外測(cè)邊緣之間的相對(duì)坡度。附加坡度或超高漸變率太大太小都不好?？捎上旅婀酱_定： (26)其中為旋轉(zhuǎn)軸至行車(chē)道外側(cè)邊緣的寬度，為超高坡度與路拱