分塊矩陣的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、 本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 分塊矩陣的應(yīng)用 院 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 評(píng)閱教師 班 級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 2011 年 5 月 16 日分塊矩陣的應(yīng)用目 錄摘要abstract1引言12分塊矩陣及其性質(zhì)12.1分塊矩陣12.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論12.3分塊矩陣常見(jiàn)的分塊方法33分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用43.1分塊矩陣在矩陣的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用43.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用53.3分塊矩陣在相似問(wèn)題中的應(yīng)用64分塊矩陣在計(jì)算方面的應(yīng)用74.1分塊矩陣在行列式計(jì)算方面的應(yīng)用74.2分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用94.3分塊矩陣在求解矩陣

2、方程方面的應(yīng)用114.4分塊矩陣在求解非齊次線性方程組中的應(yīng)用12結(jié)束語(yǔ)13參考文獻(xiàn)14致謝15摘 要：分塊矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要工具，在理論研究和實(shí)踐計(jì)算方面都有廣泛的應(yīng)用特別是在處理階數(shù)較高的矩陣時(shí)，分塊之后，可以使矩陣的結(jié)構(gòu)更加清晰明朗，從而使一些矩陣的相關(guān)表達(dá)和計(jì)算簡(jiǎn)單化，進(jìn)一步用來(lái)解決很多與矩陣相關(guān)的問(wèn)題在分析和總結(jié)分塊矩陣的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出了分塊矩陣在計(jì)算和證明方面的應(yīng)用，主要包括矩陣的秩、矩陣的相關(guān)性理論、相似問(wèn)題、以及行列式的計(jì)算、逆矩陣的求解、以及矩陣方程等方面關(guān)鍵詞：分塊矩陣；矩陣分塊；證明；計(jì)算abstract：the partitioned matrix i

3、s an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further

4、simplification, with matrix related problems. in analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinant

5、s of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.keyword：the partitioned matrix; matrix block, proof; calculation 1 引言 在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等方面的各種有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有著重要的實(shí)用價(jià)值，它常見(jiàn)于許多學(xué)科中，如線性代數(shù)、線性規(guī)劃、組合數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)分析等在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題都是借用矩陣抽象出來(lái)進(jìn)行表述并加以解決的，比如一些電腦的應(yīng)用如vlsi芯片設(shè)計(jì)上都有分塊矩陣的思想矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)矩陣的運(yùn)算較容易理解和掌握，

6、但對(duì)于矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用，則有很多問(wèn)題值得我們?nèi)パ芯?，尤其是?dāng)矩陣的階數(shù)比較大時(shí)矩陣的運(yùn)算和證明將是一個(gè)很繁瑣的過(guò)程，因此這時(shí)我們需要一個(gè)新的矩陣處理工具，在這種情況下，分塊矩陣的思想就產(chǎn)生了在高等代數(shù)中，對(duì)高階矩陣的處理是矩陣相關(guān)內(nèi)容中重要的一部分，分塊矩陣揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊的矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu)，本文即是通過(guò)查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)后總結(jié)并探討分塊矩陣在各方面的應(yīng)用，通過(guò)具體的實(shí)例的應(yīng)用來(lái)突出分塊矩陣在處理相關(guān)問(wèn)題上的簡(jiǎn)便性和靈活性2 分塊矩陣及其性質(zhì)2.1分塊矩陣定義1 用縱線與橫線將矩陣劃分成若干較小的矩陣：，其中每個(gè)小矩陣叫做矩陣的一個(gè)子矩陣；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣運(yùn)算

7、規(guī)則2在用規(guī)則(1)時(shí)，與的分塊方法須完全相同；用規(guī)則(3)時(shí)的列的分法與的行的分法須相同2.2分塊矩陣的性質(zhì)及其推論在行列式的計(jì)算中我們經(jīng)常用到下列三條性質(zhì)3（1） 若行列式中某行(列)有公因子，則可提到行列式號(hào)外面；（2） 把行列式的某兩行(列)互換位置，其值變號(hào)，（3） 把行列式的某行(列)乘上某一個(gè)非零數(shù)，加到另一行(列)去，其值不變 利用矩陣的分塊，我們可以把行列式的三條性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行推廣.性質(zhì)1 設(shè)是由如下的分塊矩陣組成，其中都是矩陣，又是任一階方陣對(duì)于矩陣，則性質(zhì)2 設(shè)和寫(xiě)成如下形式，其中都是矩陣，則.性質(zhì)3 設(shè)是由如下的分塊矩陣組成，其中都是矩陣，又是任一階方陣對(duì)于矩陣，

8、則推論1 設(shè)都是階方陣，則有證明根據(jù)性質(zhì)3并應(yīng)用于列的情況，有，根據(jù)性質(zhì)1有， 則推論2 設(shè)都是階方陣，則有證明 作階行列式，由拉普拉斯展開(kāi)定理得：又根據(jù)性質(zhì)3并應(yīng)用于列的情況,有：，則推論3 設(shè)都是階方陣，其中，并且，則有證明 根據(jù)性質(zhì)3，由知存在，并由，用乘矩陣的第一行后加到第二行去得：，從而2.3分塊矩陣常見(jiàn)的分塊方法2矩陣的分塊技巧較強(qiáng)，因此要根據(jù)不同的問(wèn)題進(jìn)行不同的分塊，常見(jiàn)的分塊方法有四種：(1)列向量分法 ，為的列向量.(2)行向量分法,為的行向量(3)分成兩塊其中分別為的若干列,或其中分別為若干行.(4)分成四塊對(duì)分塊矩陣還可以進(jìn)行廣義的初等變換,廣義的初等變換分為三種:(1)

9、 交換分塊矩陣的兩行(列)；(2) 用一可逆陣乘以分塊矩陣的某一行（列）；(3) 用某一矩陣乘某一行（列）加到另一行（列）.根據(jù)廣義初等變換的類型對(duì)應(yīng)三種廣義初等陣4：（1）；（2）均為可逆矩陣；（3）.3分塊矩陣在證明方面的應(yīng)用3.1分塊矩陣在矩陣的相關(guān)的秩的相關(guān)證明中的應(yīng)用定理12 分別為矩陣的秩，則例 設(shè)分別為階矩陣，則.證明 構(gòu)造分塊矩陣，對(duì)進(jìn)行廣義初等變換，則,根據(jù)矩陣初等變換的性質(zhì)有，而，所以利用分塊矩陣證明矩陣秩的問(wèn)題，一般采用兩種方法，一種是利用已知矩陣作為元素來(lái)拼成高階數(shù)的矩陣來(lái)證明，另一種方法就是將已知矩陣拆成階數(shù)較低的矩陣來(lái)證明這兩種方法在證明問(wèn)題時(shí)都是很有效的，很大一部

10、分相關(guān)矩陣秩的問(wèn)題，都可以用分塊矩陣來(lái)證明53.2分塊矩陣在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用分塊矩陣在線性性及矩陣的分解中有著廣泛的應(yīng)用，但要達(dá)到運(yùn)用自如卻非易事，其基礎(chǔ)知識(shí)抽象，解題方法技巧性強(qiáng)，稍有不慎就會(huì)陷入困境作為線性代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容和工具的矩陣，我們往往容易忽略它重要的一點(diǎn)-矩陣分塊的作用下面就通過(guò)一些例子介紹一下它在線性相關(guān)性及矩陣的分解證明中的應(yīng)用.定理22 矩陣列線性無(wú)關(guān)的充要重要條件是只有零解推論4 設(shè)，則（1）的列線性相關(guān)（即）的充要條件是存在使；（2）的行線性相關(guān)（即）的充要條件是存在使證明(1)充分性 設(shè)的列線性相關(guān),由定理2，存在使，作，則，故必要性 設(shè)有，為的列向量

11、，且，使，即，因，由定理2可知，的列線性無(wú)關(guān)類似可證(2)例2 矩陣列線性無(wú)關(guān)，求證：列線性無(wú)關(guān)的充要條件是列線性無(wú)關(guān)證明 充分性 要使，即，記，則因列無(wú)關(guān)，須，即，又列無(wú)關(guān)，須，從而列無(wú)關(guān)必要性 要使，兩邊左乘，則，即，又列無(wú)關(guān)，即，則列無(wú)關(guān)矩陣的列（行）向量相關(guān)與無(wú)關(guān)性的問(wèn)題很多都會(huì)涉及到利用分塊矩陣，因?yàn)榫仃嚨男校校┒伎梢钥醋魇蔷仃嚨淖訅K，在處理矩陣的分解問(wèn)題時(shí)也是一樣，在線性代數(shù)中還有很多問(wèn)題也可以分塊矩陣來(lái)解決例3 設(shè)，則（1），使得；（2），使得證明 ，使，(1)將與作如下的分塊：，則（2）因，令，即得3.3分塊矩陣在相似問(wèn)題中的應(yīng)用眾所周知，若為階矩陣，如果存在一個(gè)階非奇異矩陣

12、存在，使得成立，則稱矩陣與相似但如果的階較高，在證明的過(guò)程中找到一個(gè)階非奇異矩陣變得非常困難，而分塊矩陣通過(guò)證明矩陣中小矩陣的相似達(dá)到證明大矩陣相似的目的，為相似矩陣的證明提供了一種新的思路7例4 如果方陣，方陣，則.證明 因方陣,方陣，則而，4分塊矩陣在計(jì)算方面的應(yīng)用4.1分塊矩陣在行列式計(jì)算方面的應(yīng)用在線性代數(shù)中，分塊矩陣是一個(gè)重要的概念，它可以使矩陣的表示簡(jiǎn)單明了，使矩陣的運(yùn)算得以簡(jiǎn)化，還可以利用分塊矩陣來(lái)解決行列式的計(jì)算問(wèn)題事實(shí)上，利用分塊矩陣來(lái)計(jì)算行列式時(shí)常會(huì)使行列式的計(jì)算變得簡(jiǎn)單，并能收到意想不到的效果本節(jié)將給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的幾種方法定理32 設(shè)矩陣或其中均為方陣，則定理

13、42 設(shè)分別為與階方陣則：(1) 當(dāng)可逆時(shí)，有；(2) 當(dāng)可逆時(shí)，有推論5 設(shè)分別是矩陣，則（1）；（2）；（3）證明 只需要在定理4的（1）中令，即可證得；在(2)令，即可證得；在(3)中令，即可證得例5 求階方陣的行列式解 令，則，又則可逆，由定理4（1）可知，而，由此可得例6 計(jì)算下列行列式（1）；（2）解 （1）設(shè)，其中，因?yàn)?，所以是可逆矩陣，則，從而由定理4中的（2）得（2）設(shè)，其中由于，從推論5知行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要內(nèi)容，利用分塊矩陣，求解行列式時(shí)應(yīng)具體問(wèn)題具體對(duì)待，從而簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算過(guò)程，達(dá)到快速解決問(wèn)題的目的4.2分塊矩陣在求逆矩陣方面的應(yīng)用求分塊矩陣的逆矩陣可

14、以用伴隨矩陣或初等變換的方法來(lái)解決，而此類方法對(duì)階數(shù)較高的矩陣運(yùn)算量比較大，對(duì)某些矩陣可以適當(dāng)分塊后再進(jìn)行運(yùn)算，可以起到事半功倍的作用定理58 設(shè)是一個(gè)四分塊矩陣，其中為階方陣，當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí)，則是可逆矩陣，且，特別地（1）當(dāng)，與都可逆時(shí)，有；（2）當(dāng)，與都可逆時(shí)，有；（3）當(dāng)，與都可逆時(shí)，有定理68 設(shè)是一個(gè)四分塊矩陣，其中為階矩陣，為階矩陣，當(dāng)與都是可逆矩陣時(shí)，則是可逆矩陣，且，特別地（1）當(dāng)，與都是可逆時(shí)，有；（2）當(dāng)，與都是可逆時(shí)，有；（3）當(dāng)，與都是可逆時(shí)，有例7 求矩陣的逆矩陣解 令，則原矩陣，由定理5中(3)知先求出矩陣的逆矩陣，從而得到，則注：在用分塊矩陣求逆矩陣時(shí)，常常針

15、對(duì)幾種特殊的情形，對(duì)一般矩陣而言，此種方法并沒(méi)有多大的實(shí)用價(jià)值！相比較而言，初等變換更具優(yōu)勢(shì)這啟示我們要具體問(wèn)題具體分析，培養(yǎng)求簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)精神和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度4.3分塊矩陣在求解矩陣方程方面的應(yīng)用設(shè)矩陣方程形如，其中分別為階可逆矩陣，求我們?nèi)菀字澜鉃椋海瑢?duì)此我們需要先求得，再求得有時(shí)這樣計(jì)算比較復(fù)雜，對(duì)此我們需要一個(gè)簡(jiǎn)便的方法9由于，同時(shí)取行列式可得，即，對(duì)此我們可以用分塊矩陣的方法構(gòu)建一個(gè)行列式，可得，其對(duì)應(yīng)的矩陣為，經(jīng)過(guò)廣義的初等變換可得，即但此方法仍比較繁瑣，對(duì)此我們需要對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)化，由初等變換我們知道矩陣中的第二行和第二列以及都對(duì)初等變換沒(méi)有作用，可以說(shuō)是多余的，去掉第二行和第二列

16、，的位置用代替，這樣我們得到了一個(gè)新的矩陣，在經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到，即：由此我們就可以通過(guò)構(gòu)造分塊矩陣然后通過(guò)初等變換求得例8 求解滿足條件的解 構(gòu)造分塊矩陣得：，故4.4分塊矩陣在求解非齊次線性方程組中的應(yīng)用定理7 10 如果是一個(gè)階非奇異矩陣，將進(jìn)行分塊，其中分別是矩陣，若是非奇異方陣，那么一定存在一個(gè)上三角分塊矩陣，使得，其中，且是非奇異陣對(duì)于該結(jié)論用來(lái)解決個(gè)方程的非齊次線性議程組是比較方便的設(shè)非齊次線性方程組為，該方程組可寫(xiě)成矩陣方程其中為系數(shù)矩陣，若，則該方程組有唯一定解現(xiàn)將矩陣分塊，并注意使，同時(shí)將及進(jìn)行分塊，令，行數(shù)等于行數(shù)，行數(shù)等于行數(shù)，則矩陣的方程可改成，兩邊同時(shí)左乘上三角

17、分塊矩，有，其中，且是非奇異陣從而得到矩陣方程組，解方程組可知例9 求解方程組解 將方程寫(xiě)成矩陣方程并進(jìn)行分塊，從而得到：，這里， 首先求出的逆矩陣，則，在方程兩端同時(shí)乘以，從而得到，解矩陣方程可得，則所求方程組的解為結(jié)束語(yǔ)本文主要是對(duì)分塊矩陣在計(jì)算和證明中的應(yīng)用，通過(guò)概念的介紹以及實(shí)例的說(shuō)明，讓人對(duì)分塊矩陣這一工具的實(shí)用價(jià)值有所認(rèn)識(shí)和了解，它既是一種解題的方法又是一種技巧但它的應(yīng)用并不僅僅是所舉的幾個(gè)方面，它還有更寬廣的應(yīng)用還有待于我們?nèi)ド钊氲难芯颗c探索參考文獻(xiàn)1張禾瑞,郝炳新.高等代數(shù)(第四版)m.北京:人民教育出版社,1995:199-208.2北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)m.北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.3林謹(jǐn)瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用j.廣東廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2006,(02):109-112.4王秀芳.分塊矩陣的應(yīng)用討論j.連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2008,(09):