小學(xué)數(shù)學(xué)論文：基本圖形面積的變式教學(xué)思考

1、基本圖形面積的變式教學(xué)思考 【主題摘要】基本圖形面積計算公式的推導(dǎo)一直是圖形與幾何領(lǐng)域中一個基礎(chǔ)的關(guān)鍵點，非常考驗學(xué)生的理解能力，思維跳躍比較大，教與學(xué)有一定的難度，學(xué)生練習(xí)的出錯率也是相當(dāng)高。如何進(jìn)行基本圖形面積計算公式推導(dǎo)的教學(xué)呢？根據(jù)教材編寫的順序，幾十年下來都是按“平行四邊形面積計算公式推導(dǎo)三角形面積計算公式推導(dǎo)梯形面積計算公式推導(dǎo)” 的慣式流程開展教學(xué)的。一次偶然的學(xué)習(xí)培訓(xùn)中，唐彩兵老師提出可以把梯形面積計算公式的推導(dǎo)作為平行四邊形和三角形面積計算公式推導(dǎo)的基點，想想也有一定的道理。在教學(xué)中進(jìn)行了變式教學(xué)的嘗試?！娟P(guān)鍵詞】基本圖形面積 公式推導(dǎo) 變式教學(xué) 對比思考【正文】當(dāng)聽到這一觀

2、點的時候，細(xì)細(xì)琢磨也挺有意思的，非常在理。既關(guān)注孩子的思考能力，更關(guān)注孩子的思考方法，特別是推導(dǎo)的能力。所以在兩個班的教學(xué)過程中我采用了兩種推導(dǎo)順序的對比教學(xué)，感受頗多。 片段一：（梯形面積探索）（一）引入環(huán)節(jié)師：我們來看大屏幕（出示一個長方形），誰來說說看長方形的面積計算方法？生：長方形面積長寬 字母公式：sab師：今天，我們來探索梯形的面積計算方法（邊說邊課件出示直角梯形和等腰梯形）。師：梯形面積的計算方法從來沒接觸過，有什么困難嗎？生：老師，可以把梯形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)學(xué)過的圖形。師：我們已經(jīng)學(xué)過哪些圖形的面積計算？生：長方形（正方形）師：非常棒,善于思考?。ò鍟恨D(zhuǎn)化為長方形）（二）探索環(huán)節(jié)

3、1.師：那么怎么轉(zhuǎn)化呢？根據(jù)你手中的學(xué)具，小組之間進(jìn)行嘗試探索。生（小組合作）師（巡視指導(dǎo)）2.小組之間交流匯報。方法一：兩個相同的直角梯形可以拼成一個長方形。（學(xué)生能夠合作完成） 上底與下底的和相當(dāng)于拼成的長方形的長； 高相當(dāng)于拼成的長方形的寬 根據(jù)長方形面積計算公式，可以把這個長方形的面積寫成：長方形面積=長 寬=（上底下底） 高 這個梯形面積正好是這個長方形的一半。推導(dǎo)出公式：梯形面積=（上底下底） 高2方法二：把等腰梯形通過割補轉(zhuǎn)化成一個長方形。（學(xué)生能夠合作完成） 通過割補把長方形割補轉(zhuǎn)化成一個長方形，長方形的長相當(dāng)于上底與下底和的一半。即：長（上底下底）2； 長方形的寬相當(dāng)于梯形的

4、高； 這個梯形面積這個長方形面積 長 寬 （上底下底）2 高 （上底下底） 高2方法三： 把直角梯形通過割補成一個長方形。（預(yù)設(shè)：課件演示） 沿直角梯形高的一半通過割補成一個長方形； 長方形的長相當(dāng)于梯形的（上底下底） 長方形的寬相當(dāng)于高的一半。即：高2 這個梯形面積這個長方形面積 長 寬 （上底下底） 高2方法四：把一個普通梯形通過割補轉(zhuǎn)化成一個長方形（預(yù)設(shè)：課件演示）。通過割補把一個普通梯形轉(zhuǎn)化成一個長方形。長方形的長相當(dāng)于上底與下底和的一半。即：長（上底下底）2；長方形的寬相當(dāng)于梯形的高； 這個梯形面積這個長方形面積 長 寬 （上底下底）2 高 （上底下底） 高23.嘗試練習(xí)（略）片段二

5、：（平行四邊形面積探索）（一） 引入環(huán)節(jié)1. 復(fù)習(xí)梯形面積計算公式2. 梯形面積練習(xí)（數(shù)據(jù)簡單，適合口算）（二） 探索環(huán)節(jié)1. 師：今天，我們探索平行四邊形的面積計算（課件出示一個平行四邊形）。2. 對比梯形和平行四邊形的特點（課件）梯形：只有一組對邊平行的四邊形。平行四邊形：兩組對邊分別平行且相等的四邊形。師：通過延長梯形的上底，使它與下底一樣長，就變成了？生：平行四邊形?。R答）3. 方法探索，學(xué)生思考教師課件動態(tài)演示，學(xué)生觀察思考：通過延長梯形的上底，使它與下底一樣長，就變成了一個平行四邊形。 上底下底，剛好是平行四邊形的底 梯形的高平行四邊形的高 梯形面積 平行四邊形面積（上底下底）高

6、2（底底）高2（上底下底）2底高2（相互抵消）底高（三）練習(xí)環(huán)節(jié)（略）片段三：（三角形面積探索）（一） 引入環(huán)節(jié)1. 復(fù)習(xí)梯形、平行四邊形面積計算公式和推導(dǎo)過程。2. 基本練習(xí)，（數(shù)據(jù)簡單，適合口算）（二） 探索環(huán)節(jié)1.師：我們探索了梯形和平行四邊形面積，今天我們來探索三角形的面積。當(dāng)梯形的上底逐漸縮小，最后成為一個點，這時梯形變成了什么圖形？生：三角形。3. 課件演示，學(xué)生觀察思考4. 小組討論，該怎么推導(dǎo)三角形的面積?5. 匯報交流把三角形看成是上底為0的梯形，我們可以發(fā)現(xiàn)：上底0 梯形下底=三角形的底梯形面積 三角形面積 （上底下底）高2（0底）高2 （下底底）底高2以上3個片段是我在基

7、本圖形面積推導(dǎo)過程中進(jìn)行的一次順序顛覆式的教學(xué)嘗試，以梯形面積為突破口，通過把梯形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的長方形，進(jìn)行梯形面積公式的推導(dǎo)。根據(jù)梯形與平行四邊形及三角形的特殊關(guān)系（平行四邊形可以看成上下底相等的梯形，三角形可以看成上底為0的梯形），以梯形面積公式為基點，推導(dǎo)出平行四邊形和三角形面積計算公式。兩個班的對比教學(xué)，收獲挺多的。一、嘗試教學(xué)后的思考：由于整個面積公式的推導(dǎo)進(jìn)行了一次顛覆性的嘗試教學(xué)，打破了教材中的教學(xué)順序，兩個班進(jìn)行了兩種截然不同的教學(xué)形式，許多東西發(fā)生了改變。一變是教學(xué)基點發(fā)生根本性的變化（慣式教學(xué)）主要以平行四邊形面積為教學(xué)基點，以三角形面積推導(dǎo)為例，推導(dǎo)的主體是“兩個相同的

8、三角形可以拼成一個平行四邊形”。我們可以看一下教材中的導(dǎo)圖：引語：怎樣把三角形轉(zhuǎn)化成我們已學(xué)過的圖形呢？教材中給我們提供兩種方法都是借助平行四邊形的平臺來進(jìn)行三角形面積的推導(dǎo)。方法一：兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。明確兩個圖形見等底等高的關(guān)系，提出“三角形面積是與其等底等高的平行四邊形面積的一半”的結(jié)論，根據(jù)平行四邊形面積公式推導(dǎo)出“三角形面積底高2”。方法二：沿三角形高的一半把三角形進(jìn)行割補轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形。提出“這個三角形與這個平行四邊形面積相等”的結(jié)論，直接借助“平行四邊形面積底高”進(jìn)行推導(dǎo)，因為這個平行四邊形的底就是三角形的底，高就是三角形（高2）推導(dǎo)出“三角形面積底高2

9、”。學(xué)生只要弄明白三角形與平行四邊形之間在“底”和“高”上的關(guān)系，借助“平行四邊形面積底高”就ok了。（變式教學(xué)）主要以梯形面積為教學(xué)基點，同樣以三角形面積推導(dǎo)為例，推導(dǎo)的主體是“三角形可以看成上底為0的梯形”。課件動態(tài)演示，移動上底的一個點，當(dāng)兩點重合時梯形變成了一個三角形，可以把“三角形看成上底為0的梯形”。尋找兩個圖形之間底和高之間的關(guān)系，梯形下底就是三角形的底，梯形高就是三角形的高。借助“梯形面積=（上底下底）高2”進(jìn)行三角形面積推導(dǎo)。三角形面積=（上底下底）高2 =（0底）高2 =底高2兩種教學(xué)基點相對比，就三角形面積公式的推導(dǎo)而言，以梯形面積為基點的推導(dǎo)方式更勝一籌。二變是推導(dǎo)的思

10、維形式上發(fā)生變化兩種基點的推導(dǎo)方式猶如兩條分支，在不同的推導(dǎo)方法中，在思維形式上發(fā)生了根本性變化。同樣以三角形面積推導(dǎo)為例：（慣式教學(xué)）慣式的推導(dǎo)方法的側(cè)重點是以學(xué)生動手實踐的探究性學(xué)習(xí)為主線，以演繹推理為主。引導(dǎo)學(xué)生通過借助學(xué)具開展小組合作，尋找三角形與平行四邊形之間的顯性聯(lián)系為突破口，推導(dǎo)出三角形面積公式。方式一：動手拼一拼，轉(zhuǎn)化過程具體直觀。小組成員之間，用兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。（一般情況下多才用兩個相同的銳角三角形為主，為了多樣化也可以采用兩個相同的直角三角形或兩個相同的鈍角三角形）。通過拼一拼的操作活動，尋找出兩者之間的顯性關(guān)系，即：這個三角形與拼成的這個平行四邊形

11、是等底等高的，并且這個三角形面積剛好是這個平行四邊形面積的一半。在具體操作和小組討論基礎(chǔ)上，進(jìn)行三角形面積公式的推導(dǎo)。其思維形式是建立在一步步的演繹過程中，相對而言簡單有效，學(xué)生的思維深度是較淺的。方式二：割與補，有深度仍直觀。割與補其實就是動手剪一剪，拼一拼，相比方式一，難度上提升了不少，但仍是建立在直觀操作的過程中。學(xué)生通過剪拼，把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，尋找高的一半這一重要條件進(jìn)行推導(dǎo)。（變式教學(xué)）變式的推導(dǎo)方法的側(cè)重點是以學(xué)生思考的推理性學(xué)習(xí)為主線，以純數(shù)學(xué)的角度開展推導(dǎo)活動。如果說慣式的推導(dǎo)以關(guān)注學(xué)生的感性為主，那么變式更多的是關(guān)注學(xué)生理性的思考。只有一個課件動態(tài)的演示（移動上底的一

12、個點，當(dāng)兩點重合時梯形變成了一個三角形。） 簡單的推理“把三角形看成上底為0的梯形”。借助“梯形面積=（上底下底）高2”進(jìn)行三角形面積推導(dǎo)。三角形面積=（上底下底）高2 =（0底）高2 =底高2從實效上講簡單明了，從數(shù)學(xué)本質(zhì)而言有相當(dāng)?shù)倪壿嬓?，難度要比慣式的推導(dǎo)方式深許多。需要明確的是這種類似的方式在平時教學(xué)中使用頻率不是很高，學(xué)生有一定的陌生感，且難度相對要高上許多，更考驗學(xué)生的思維和能力，中下學(xué)生適應(yīng)性稍差一些。但是作為五六年級的學(xué)生也需要多接觸類似的學(xué)習(xí)方式，從心理特點發(fā)展軌跡來看，孩子的思維方式逐漸從演繹推理向邏輯推理轉(zhuǎn)化，同時為了學(xué)生今后的學(xué)習(xí)考慮，這樣的過渡式教學(xué)可以多一些，因為其

13、更注重數(shù)學(xué)的本質(zhì)，具有更多的邏輯性，更有數(shù)學(xué)味。不變的是基本圖形面積的基本練習(xí)難點主要集中在面積計算公式的推導(dǎo)過程中，基本圖形面積計算恰恰不是教學(xué)的難點。通過對比基本圖形面積的基本練習(xí)在兩種順序的推導(dǎo)方式下，沒有發(fā)生根本性的變化，就是引導(dǎo)學(xué)生運用面積公式計算基本圖形的面積，解決一些常見的數(shù)學(xué)問題。解題思維程序上也沒有本質(zhì)上的變化，即“明確公式尋找對應(yīng)數(shù)據(jù)計算面積”。二、變式教學(xué)中亟需解決的問題：變式練習(xí)怎么辦？由于教材是按慣式推導(dǎo)方式進(jìn)行編排的，這么多年下來早已形成了自己完整的學(xué)習(xí)體系，有之相配套的練習(xí)體系。用變式推導(dǎo)方式教學(xué)按慣式推導(dǎo)方式進(jìn)行編排的教材，難免產(chǎn)生一些矛盾和碰撞。在變式教學(xué)中，

14、亟需解決的問題就是慣式推導(dǎo)方式過程中出現(xiàn)的變式練習(xí)。如：兩個（ ）的三角形一定能拼成一個平行四邊形。如圖，陰影部分的面積是18平方厘米，平行四邊形的面積是（ ）平方厘米。一個平行四邊形和一個三角形的底和面積都相等，平行四邊形的高是3.6厘米，三角形的高是（ ）厘米。這些題目，我們在慣式推導(dǎo)過程中感覺不難解決，屬于推導(dǎo)過程中重點關(guān)注的題目（學(xué)生經(jīng)歷過，處理游刃）?？墒窃谧兪酵茖?dǎo)過程中，學(xué)生根本沒有接觸過，屬于兩眼抓瞎，只能靠自己的理解能力強悍與否。解決策略：策略一：變式推導(dǎo)過程中，植入慣式推導(dǎo)方式。一些在變式推導(dǎo)方式后不能解決的問題，我們可以在基本圖形面積復(fù)習(xí)的時候，植入慣式的推導(dǎo)方式。像遇見“

15、兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形”這類問題時，只能用植入慣式推導(dǎo)方式的方法來彌補，只不過這樣的處理方式給人一種“亡羊補牢”的感覺。如：從平行四邊形面積到三角形面積的推導(dǎo)過程“兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，三角形面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半?！被蛞跃毩?xí)的形式植入。問題“兩個相同的梯形可以拼成一個（ ）。演示過程；補充推導(dǎo)過程，理順兩者關(guān)系。如：從梯形面積到三角形面積的推導(dǎo)時，我們是通過“把三角形看成是上底為0的梯形”進(jìn)行三角形面積計算的推導(dǎo)（如圖）。在變式推導(dǎo)過程中，也可以植入慣式的推導(dǎo)方式。梯形通過割補變成一個三角形，這個梯形面積=這個三角形面積，三角形的底正好是梯形

16、的（上底下底），梯形的高就是三角形的高。三角形面積=梯形面積 =（上底下底）高2 =底高2策略二：反其道而行之，讓變式教學(xué)進(jìn)行到底。在慣式推導(dǎo)教學(xué)中，從平行四邊形到梯形，變式教學(xué)中恰恰反其道而行之，變式教學(xué)中推導(dǎo)方法比較單一，為了題目的需要，也可以豐富一些，讓變式教學(xué)教學(xué)到底。如平行四邊形面積的推導(dǎo)，我們把“梯形面積是等底等高平行四邊形面積的一半”轉(zhuǎn)化成“平行四邊形面積是等底等高梯形面積的2倍”來進(jìn)行推導(dǎo)。兩個相同的梯形可以拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形面積剛好是這個梯形面積的2倍。高沒有發(fā)生變化，（上底下底）剛好是這個平行四邊形的底 平行四邊形面積=梯形面積2 =（上底下底）高22 =底高通過變式教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思