高考理科數(shù)學(xué)專(zhuān)題十：與球體有關(guān)的問(wèn)題

1、 2016年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題十：與球體有關(guān)的問(wèn)題一、高考趨勢(shì)分析： 立體幾何章節(jié)在傳統(tǒng)的高考中分值占22分左右，以?xún)尚∫淮蟮男问匠霈F(xiàn)較多。與球相關(guān)的問(wèn)題也有考題出現(xiàn)，現(xiàn)針對(duì)近年高考考題形式總結(jié)如下 ，也是每年高考熱點(diǎn)，每年高考中主要考查選擇、填空題目、解答題。 二、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)撥： 1長(zhǎng)方體、正方體的外接球其體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為該球的直徑 2正方體的內(nèi)切球其棱長(zhǎng)為球的直徑 3正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線(xiàn) 4正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31. 方法主要是“補(bǔ)體”和“找球心” 考試核心：性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形建立三者之間的關(guān)系。三、高考試題精練1.（2015高考

2、新課標(biāo)2，理9）已知a,b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob=90,c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c【考點(diǎn)】外接球表面積和椎體的體積2(2015遼寧高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，則球o的半徑為()a.b2c. d3解析：選c如圖，由球心作平面abc的垂線(xiàn)，則垂足為bc的中點(diǎn)m.又ambc，omaa16，所以球o的半徑roa .3(2016長(zhǎng)春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為s1，其內(nèi)切球的表面積為s2，則_.解析：設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a

3、，則正四面體表面積為s14a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為s24r2，則.答案：4四棱錐pabcd的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，e，f分別是棱ab，cd的中點(diǎn)，直線(xiàn)ef被球面所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()a9 b3c2 d12解析：選d該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得，則正方體外接球的直徑即為pc.由直線(xiàn)ef被球面所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，可知正方形abcd對(duì)角線(xiàn)ac的長(zhǎng)為2，可得a2，在pac中pc 2，球的半徑r ，s表4r24()212.四、典型例題精析類(lèi)型一：有公共底邊的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（

4、兩題互換條件形成不同的題）1.15如圖球o的半徑為2，圓是一小圓，a、b是圓上兩點(diǎn)，若a，b兩點(diǎn)間的球面距離為，則= . （2015年理科）2.15如圖球o的半徑為2，圓是一小圓，a、b是圓上兩點(diǎn)，若=，則a,b兩點(diǎn)間的球面距離為 （2014年文科）類(lèi)型二：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過(guò)余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑，從而解決問(wèn)題。3.15. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若, ，則此球的表面積等于 。（2014年理科）析：欲求球的表面積，歸根結(jié)底求球半徑，與相關(guān)的是重要性質(zhì)。aa1=2, 。現(xiàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到o2的半徑之上。因?yàn)閍bc是o2的

5、內(nèi)接三角形，又知ab=ac=2，bac=120，三角形可解。由余弦定理有，由正弦定理有 。4.14正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 8（2013年理科）5.12已知球的直徑sc=4，a，b是該球球面上的兩點(diǎn)，ab=，則棱錐sabc的體積為 c （2014年理科）a b cd16.（11）已知是球表面上的點(diǎn)，則球表面積等于 a （2015年文科）（a）4 （b）3 （c）2 （d）類(lèi)型三：通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角之間的平面的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造勾股定理處理問(wèn)題。7.15.設(shè)是球的半徑，是的中點(diǎn)，過(guò)且與成45角的平面截球的表面得到圓。若圓的面積等于，則球的表面積等于 .（2

6、015年文科）析：?jiǎn)栴}的解決根本求球半徑。 與相關(guān)的重要性質(zhì)中，可求（ ） 問(wèn)題轉(zhuǎn)化到求上充分運(yùn)用題目中未用的條件，omc=45，于是求得，8.(11)已知平面截一球面得圓m，過(guò)圓心m且與成二面角的平面截該球面得圓n.若該球面的半徑為4，圓m的面積為4，則圓n的面積為 d （2014年理科） (a)7 (b)9 (c)11 (d)139.（5）如果把地球看成一個(gè)球體，則地球上的北緯緯線(xiàn)長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為c（2015文科）（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25類(lèi)型四：球內(nèi)接多面體的相關(guān)元素之間的聯(lián)系。10.13圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑

7、與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球（如圖所示)，則球的半徑是 4 cm（2010年理科）11.16長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則，兩點(diǎn)間的球面距離為 .（2015年文科）12.14體積為的一個(gè)正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 （2009年文科）13.16已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為_(kāi)1/3_（2015年文科）14.15.如圖，半徑為r的球o中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是 . 類(lèi)型五：平面幾何性質(zhì)在球中的

8、綜合應(yīng)用。15.（16）已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個(gè)小圓，為圓與圓的公共弦，若，則兩圓圓心的距離 （2015年理科）析：由om=on知，m與no為等圓，根據(jù)球中的重要性質(zhì)又mhab得h為ab中點(diǎn)，bh=ah=2 omh=onh=90mon=mhn由余弦定理有mn2=om2+on22omoncosmon mn2=mh2+nh22mhnhcos(mon)解得cosmon=，即mon=三角形omn為等邊三角形， mn=3.類(lèi)型六：性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。16.(15)已知為球的半徑，過(guò)的中點(diǎn)且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于_16_.（2009年文科）17.（15）已知矩形的

9、頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 24 。（2011年理科）18.（9）高為的四棱錐s-abcd的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)s、a、b、c、d均在半徑為1的同一球面上，則底面abcd的中心與頂點(diǎn)s之間的距離為 c（2011年理科）（a） （b） (c)1 (d) 五、模擬試題精練1.（2015高考新課標(biāo)2，理9）已知a,b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob=90,c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c2(2015遼寧高考)已知直三棱柱abc a1b1c1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上，若ab3，ac4，abac，aa112，則球o的半徑為()a.b2c. d3答案：選c3(2016長(zhǎng)春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為s1，其內(nèi)切球的表面積為s2，則_.答案：4四棱錐pabcd的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，e，f分別是棱ab，cd的中點(diǎn)，直線(xiàn)ef被球面所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()a9 b3c2 d12答案：選d.5.如圖所示，已知e，f分別是棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1的棱a1a，cc1的中點(diǎn)，則四棱錐c1b1edf的體積為_(kāi).答案(1)a36.已知三棱錐sabc的所有頂點(diǎn)都在球o的球面上，abc是邊長(zhǎng)為1的正三角形