函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

1、分類號 o174.1 編 號 2012010743 畢業(yè)論文 題 目 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 姓 名 郝金貴 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號 281010743 研究類型 基礎(chǔ)研究 指導(dǎo)教師 賈鳳玲 提交日期 2012年5月22日 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名： 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名：函數(shù)項級數(shù)一致收斂

2、的判別法的討論郝金貴(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 ,甘肅,天水,741000)摘要：本文著重介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾種判別法,首先通過問題引入探討函數(shù)項級數(shù)一致收斂的概念,然后進(jìn)一步研究了幾種判別方法,即對數(shù)判別法；積分判別法；有效充要判別法；加逼收斂判別法等,并對每種新方法給予嚴(yán)格證明.關(guān)鍵字：函數(shù)項級數(shù)；一致收斂性；積分判別法；有效充要判別法；加逼收斂判別法；比較判別法.the discussion on some method for uniform convergence of function series haojinguiabstract: the paper gives s

3、everal discriminant method on uniform convergence of function series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective

4、 sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof.keywords: function series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method目錄引言11.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義11.1函

5、數(shù)項級數(shù)一致收斂概念引入12.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法22.1比式判別法22.2根式判別法22.3對數(shù)判別法32.4積分判別法32.4.1正項級數(shù)判別法的回顧32.4.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的積分判別法42.5利用確界條件把函數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)項級數(shù)進(jìn)行判別52.6有效充要判別法82.7夾逼收斂判別法102.8比較判別法113.正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個新的判別法及證明12參考文獻(xiàn)16函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個判別法的討論引言 眾所周知,函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣,在研究內(nèi)容上同數(shù)項級數(shù)有許多及其相似的地方,對比數(shù)項級數(shù)的收斂性和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法,不難發(fā)現(xiàn)他們在判別方法上極

6、其相似,特別是在判別法的名稱上,比如它們都有cauchy判別法,abel判別法,dirichlete判別法等,這里就是根據(jù)數(shù)項級數(shù)判別法探討幾個函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義1.1函數(shù)項級數(shù)一致收斂概念引入 我們先來看一下下面這樣一個例子： 例1 設(shè)u1(x) = x, un(x) = x nx n-1( n=2,3,),x0,1由上知,sn(x)=k(x) = x n, s(x) = ,當(dāng)x(0,1) 時,| sn(x)s(x) | = x n . | sn(x) s(x) | = x n n in x.當(dāng)時,變,也變,且當(dāng)時,因此找不到公用的n*,使得有|sn(x

7、)- s(x)|.不論n多么大,總有離1很近的x,使得sn(x)離s(x)很遠(yuǎn).再來看這樣一個例子：例2 設(shè)u1=,x,所以|sn(x) s(x)|=.取n=+1,恒有| sn(x)s(x)|.由上面的兩個例子可以看出,并非所有的函數(shù)項級數(shù)對于給定的,都能找到一個公用的n*,使得恒成立.由此,我們引出一致收斂的概念. 定義 設(shè)函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集e上收斂于s（x）.如果使得,恒有,則稱在e上一致收斂于s(x).2 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法2.1比式判別法 定理2.1 設(shè)un(x)為定義在數(shù)集d上正的函數(shù)列,記,存在正整數(shù)n及實數(shù)q、m,使得：q n(x)qn,成立,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂.

8、定理1有極限形式： 定理2.2 設(shè)為定義在數(shù)集d上正的函數(shù)列,記,若 0q1,且在d上一致有界,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂.2.2根式判別法 定理2.3 設(shè)un(x)為定義在數(shù)集d上的函數(shù)列,若存在正整數(shù)n,使得,對成立,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂. 注：當(dāng)定理3條件成立時,級數(shù)在d上還絕對收斂. 定理2.4 設(shè)為定義在數(shù)集d上的函數(shù)列,若對成立,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂.2.3對數(shù)判別法 定理2.5 設(shè)為定義在數(shù)集d上正的函數(shù)列,若=p(x)存在,那么： 若對,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂； 若對, 則函數(shù)項級數(shù)在d上不一致收斂. 證明 由定理條件知,對,有,即,則當(dāng)成立時,有,而p級數(shù)當(dāng)p

9、大于1時收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂；而當(dāng)對成立時,有當(dāng)p1時收斂,p1發(fā)散.根據(jù)定理1知級數(shù)在p1時收斂,在p1時發(fā)散.2.4.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的積分判別法 定理2.7 （函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則） 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集d上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在某一正整數(shù)n,使得當(dāng)nn時對一切x和一切正整數(shù)p,都有. 定理2.8 （含參變量反常積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則）含參變量反常積分在a,b上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù),總存在某一實數(shù)mc,使得當(dāng)m時,對一切xa,b都有. 定理2.9 設(shè)f(x,y)為區(qū)域r=(x,y)|axb,上的非負(fù)函數(shù),如果f(

10、x,y)在區(qū)間1,)上關(guān)于y為單調(diào)減函數(shù),那么函數(shù)項級數(shù)與含參變量反常積分在區(qū)間a,b上具有相同的一致收斂性.證明 由假設(shè)為區(qū)域r =上的非負(fù)函數(shù),并且關(guān)于y為上的減函數(shù),對區(qū)間a,b上任意固定的x以及任意n2的自然數(shù),我們有 若含參變量反常積分在a,b上一致收斂,則由定理3可得,對任意給定的正數(shù),總存在某一實數(shù)m1,使得當(dāng)nm+1時,對一切xa,b和一切正整數(shù)p,都有.由式,對一切xa,b有 .由定理2可知：函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間a,b上一致收斂.若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間a,b上一致連續(xù),由定理3可得：對任意給定的正數(shù),總尊在某一正數(shù)n,使得當(dāng)nn時,對一切x和一切正整數(shù)p,都有.而對任意的,令（這樣的

11、正整數(shù)和p總是存在的）,由式,對一切有.由定理4可知：含參變量反常積分在a,b上一致收斂. 例6 設(shè),證明含參變量積分在0,1上一致收斂. 證明 令,易見,對每個n,為0,1上的增函數(shù),故有 ,n=1,2.又當(dāng)t1時,有不等式,所以 以收斂級數(shù)為優(yōu)級數(shù),推得在0,1上一致收斂.另外,對任意的有,并且對任意固定即是區(qū)間1,+)上的減函數(shù),因此由定理2知,含參變量積分在0,1上一致收斂. 由此可見,以定理2為依據(jù),我們既可以利用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別某些含參變量積分的性質(zhì),也可以利用積分的便利條件判斷某些函數(shù)級數(shù)的一致收斂性.2.5利用確界條件把函數(shù)項級數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)項級數(shù)進(jìn)行判別 定理2.

12、10 函數(shù)數(shù)列在數(shù)集d上一致收斂于對任意給定的,使得當(dāng)nn時,對一切和任意的,都有. 定理2.11 函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集d上一致收斂對任意的,使得當(dāng)nn時,對一切和任意的,都有. 由定理1和定理2容易看出,函數(shù)項級數(shù)一致收斂同他的部分和序列的一致收斂是等價的.雖然都是充要條件,但在實際應(yīng)用上,要用這一原理判斷一致收斂仍是困難的,因為函數(shù)的片段也是較難求和.從以上的定理可推出更為簡單的m判別法如下： 定理2.12 設(shè)有函數(shù)項級數(shù),且的每一項滿足,則函數(shù)項級數(shù)在d上一致收斂. 由上可知,m判別法也只是充分判別法,一般的函數(shù)項級數(shù)很難滿足此充分條件,即使在滿足的條件下,在尋求其相應(yīng)的控制級數(shù)（或優(yōu)級數(shù)）

13、時也具有相當(dāng)?shù)碾y度. 定理2.13 設(shè)級數(shù)為函數(shù)項級數(shù),若,使nn時有,其中,且在i上有界,則在i上絕對收斂. 證明 不妨設(shè)n=1時就有,則可推的 n=2,3 m = 而收斂根據(jù)m判別法在i上一致收斂. 推論 設(shè)級數(shù) 為函數(shù)項級數(shù),且（n=1,2.）于i上有界,則在i上絕對一致收斂. 證明 由且,當(dāng)nn有,即當(dāng)nn有其中而收斂.根據(jù)m判別法,于i絕對一致收斂. 定理2.14 設(shè)級數(shù)為函數(shù)項級數(shù),使nn時有,且,則在i上絕對一致收斂. 證明 據(jù)條件,nn時有由rn有收斂.據(jù)m判別法,于i絕對一致收斂. 定理2.15 設(shè),都定義在i上,若,n=1,2,.且于i一致收斂,且有,則于i絕對一致收斂.

14、證明 由在i上一致收斂,且0,n=1,2.n=1,2.據(jù)cauchy一致收斂準(zhǔn)則：則,當(dāng)n 有而由nn時,則當(dāng)時,便有此時在i上滿足cauchy條件,故于i一致收斂.2.6有效充要判別法 定理2.16 設(shè)函數(shù)數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,且關(guān)于x的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)和都收斂. 證明 先證必要性因為在（a,b）內(nèi)一致收斂,即對任意給定,存在,使得nn時,對一切,有.故.又由于關(guān)于x的單調(diào)增加或單調(diào)減少,不妨設(shè)關(guān)于x單調(diào)增加,且函數(shù)列在（a,b）內(nèi)有界,則每一個在（a,b）內(nèi)有界,必有上確界,令,則由上有= ,即=,因此,有,說明收斂.同理,可以得到級數(shù)收斂. 再證

15、充分性. 令,則顯然有.由已知條件知收斂,它可作為控制級數(shù).因此在（a,b）內(nèi)一致收斂,而級數(shù)收斂,當(dāng)然在（a,b）內(nèi)一致收斂,所以可推得=+在（a,b）內(nèi)一致收斂.由以上定理可推得兩個推論： 推論1 若函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,非負(fù)且同時單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)收斂. 推論2 若函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致有界,且導(dǎo)數(shù)不變號,則在（a,b）內(nèi)一致收斂數(shù)項級數(shù)和都收斂. 由定理1和推論1、2可知,把判斷函數(shù)項級數(shù)的一致收斂與否轉(zhuǎn)化為判斷數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散.對滿足條件的級數(shù),此方法既能判斷函數(shù)項級數(shù)在某個區(qū)間的一致收斂,還能很快判斷其在另外區(qū)間的不一致收斂,下面舉兩

16、個例子說明. 例7 判別函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)間（0,1）上不一致收斂,而在區(qū)間0,q(0q1)上一致收斂. 證明 由于,顯然,函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)收斂,當(dāng)時.要使（不妨設(shè)）只要,即函數(shù)項級數(shù)在0,q上一致收斂. 此外,對充分大的正整數(shù)n,在區(qū)間（0,1）內(nèi)總有某個,使得.所以函數(shù)項級數(shù)在（0,1）內(nèi)不一致收斂. 證明 由題可知滿足以上推論1,又因為,所以在（0,1）內(nèi)不一致收斂.而在0qn有在i上一致收斂. 證明 不妨設(shè)n=1開始,便有由、在i上一致收斂,根據(jù)cauchy準(zhǔn)則：,當(dāng)n有,即而n=1,2.就必有級數(shù) 此即在i上滿足cauchy一致收斂條件. 推論 一致函數(shù)項級數(shù)、都收斂,若,

17、當(dāng)nn時有,則函數(shù)項級數(shù)于i一致收斂.顯然,即為常數(shù)項級數(shù),則可判收斂. 定理2.18 設(shè)函數(shù)列在a,b單調(diào),且及都絕對收斂,則級數(shù)在a,b一致收斂. 證明時只要注意有minmax并用定理1的推論既得.2.8比較判別法 定理2.19 兩個函數(shù)項級數(shù)和,若,當(dāng)（其中c為正常數(shù)）且函數(shù)級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂. 證明 一致級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,即對（其中c為正常數(shù)）,有.又由條件知,取n=max,當(dāng)有.由級數(shù)收斂柯西準(zhǔn)則知,函數(shù)級數(shù)在區(qū)間i一致收斂,從而級數(shù)在區(qū)間i一致收斂.此定理有如下推論： 推論1 （比較極限法） 若有兩個函數(shù)

18、項級數(shù)和（）,且有=k 且,若級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,則函數(shù)級數(shù)在區(qū)間i也絕對一致收斂. 證明 由=k 且 即有,使且c=k+0.即.又級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,由比較判別法的定理1知級數(shù)在區(qū)間i也絕對一致收斂. 例9 證明函數(shù)級數(shù)與在區(qū)間i一致收斂,則級數(shù)在區(qū)間i一致收斂,又有,故0-且級數(shù)在區(qū)間i絕對一致收斂,由比較判別法定理2知級數(shù)在區(qū)間i一致收斂,從而級數(shù)=在區(qū)間i上也一致收斂.3 正項函數(shù)項級數(shù)一致收斂的幾個新的判別法及證明 定理3.1 設(shè)函數(shù)項級數(shù),都是定義在數(shù)集d上正項函數(shù)項級數(shù),.設(shè)（1）當(dāng)0,時,與在數(shù)集d上同時一致收斂或同時不一致收斂.（2）當(dāng)=0,時,若在d上一致收斂,則在d上也一致收斂.（3）當(dāng)0,時,若在d上不一致收斂,則在d上也不一致收斂. 證明 由,則取當(dāng)nn時,對一切有 定理3.2 設(shè)是定義在數(shù)集d上的正項函數(shù)項級數(shù),在d上有界（n=1,2,.）,若,設(shè),則（1）r1時,在d上不一致收斂. 證明 （1）,取當(dāng)n時,對一切有+1(r+)(r+)0,對一切有m,由收斂,得收斂,由優(yōu)先級判別法知在d上一致收斂. （2）r1時,使即 因此不收斂,所以在d上不收斂. 注：=1時,在d上是否一致收斂無法判斷. 定理3.3 設(shè)是定義在數(shù)集d上的正項函數(shù)項級數(shù),若設(shè)r=,則 （1）r1時,在d