教學(xué)論文：淺論高中數(shù)學(xué)新教材對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維與思想方法的培養(yǎng)

1、隨風(fēng)潛入夜 潤物細(xì)無聲 -淺論高中數(shù)學(xué)新教材對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維與思想方法的培養(yǎng) 摘要 本文通過對高中數(shù)學(xué)新教材中所蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法的挖掘，從聯(lián)想與類比、化歸與轉(zhuǎn)化、綜合與分析、歸納與遞推、分類與討論、一般與特殊以及數(shù)形結(jié)合的思想與方法等幾個方面，闡述了高中數(shù)學(xué)新教材中的數(shù)學(xué)思想與方法對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的形成和發(fā)展的培養(yǎng)功能，對高中數(shù)學(xué)新教材在中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)和思維品質(zhì)的提高所起的作用進(jìn)行了總結(jié)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 思維 思想 方法正文數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)是使受教育者能夠運用數(shù)學(xué)的觀念、方法去發(fā)現(xiàn)和解決實際問題。因此，培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力與思維方法已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。怎樣使學(xué)生學(xué)會選擇

2、正確的思維方法與方向，調(diào)控思維的過程，提高思維活動的效率，掌握克服思維障礙的方法，達(dá)到提高學(xué)習(xí)能力的目的成為每一位教師追求的目標(biāo)。高中數(shù)學(xué)新教材在編寫上注重了數(shù)學(xué)思想與方法對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與發(fā)展，確保了這一目標(biāo)實現(xiàn)的達(dá)成度，在以下幾個方面尤為突出：一、聯(lián)想與類比的數(shù)學(xué)思想與方法聯(lián)想與類比的數(shù)學(xué)思想與方法是以已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，以所掌握的一些基本問題的解決方法為條件，以類比推理為手段而使問題得以解決的思維方法。聯(lián)想偏重于思維的發(fā)散，主要有：類似聯(lián)想、接近聯(lián)想、相反聯(lián)想、方法聯(lián)想等；類比偏重于對兩類對象性質(zhì)的比較，主要有：一般與特殊的類比、生疏與熟悉的類比、復(fù)雜與簡單的類比、低維

3、與高維的類比等。聯(lián)想與類比的思想與方法在新教材中體現(xiàn)得較多，如在數(shù)學(xué)必修算法的概念一節(jié)中，根據(jù)二元一次方程組的求解過程，歸納總結(jié)出求解二元一次方程組的解題步驟，利用聯(lián)想與類比的方法求解方程組（a1b2-a2b10），從而得到求解二元一次方程組的一個算法，降低了學(xué)生的思維難度。二、化歸與轉(zhuǎn)化的思想與方法化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與方法就是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到已經(jīng)解決或易解決的問題上，通過對新問題的求解而使原問題得以解決的思維方法?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思維的主要方向是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題、將高次問題轉(zhuǎn)化為低次問題、將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題、將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題

4、等。常用的方法有：換元法、參變量法、坐標(biāo)法、向量法、將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、構(gòu)造輔助命題或數(shù)學(xué)模型等方法，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡、化未知為已知的目的。例如，在數(shù)學(xué)必修137頁例2的問題解決中，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為利用隨機(jī)模擬的方法，通過實物模擬或計算機(jī)模擬求得事件a的概率；在數(shù)學(xué)必修變量間的相關(guān)關(guān)系一節(jié)中，通過研究人體的脂肪百分含量與人的年齡之間的數(shù)據(jù)關(guān)系的散點圖，得出了人的年齡與人體內(nèi)脂肪含量之間存在著一定的關(guān)系的結(jié)論，利用這種對應(yīng)關(guān)系來說明隨機(jī)變量是一種特殊的函數(shù)：是將隨機(jī)試驗的結(jié)果（事件）映射為實數(shù)，即：隨機(jī)試驗中的基本事件的全體組成一個事件空間，事件空間中的每個基本事件都有數(shù)軸上的點

5、與之對應(yīng)，隨機(jī)試驗的結(jié)果組成的集合相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。這樣，隨機(jī)變量x即可理解為是定義在事件空間上的取值為實數(shù)的函數(shù)。通過將函數(shù)模型的引入，將不同的對象有機(jī)地聯(lián)系起來，使隨機(jī)變量的概念更利于學(xué)生理解與掌握。參數(shù)的數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)方法中的重要方法，恰當(dāng)?shù)匾雲(yún)⒆兞浚軌驕贤▎栴}的條件與結(jié)論，減少要研究的變量的個數(shù)；或?qū)⑺芯康姆匠?、不等式等?shù)量關(guān)系化歸為熟悉、簡單的數(shù)學(xué)模型，降低問題解決過程中的思維難度。在圖形問題中，借助參變量來描述主變量x或y的變化，建立圖形中的各個變量之間的聯(lián)系，可起到對曲線的變化過程進(jìn)行定量分析的作用。參變量的選取以能否降低問題解決過程

6、中思維的難度，簡化解題過程為標(biāo)準(zhǔn)，通常選擇角作為參變量，它的優(yōu)點是：1、將無理式轉(zhuǎn)化為有理式，以避免兩邊平方等有理化的運算；2、利用三角函數(shù)的有界性及單調(diào)性進(jìn)行求最值的運算；3、利用三角函數(shù)的平方和關(guān)系把數(shù)量關(guān)系向圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程化歸，以利于數(shù)形結(jié)合思想的運用。圖形中的參變量通常選擇斜率、長度、數(shù)量等具有幾何意義的量作為參變量，使參變量能夠反映已知量和未知量的關(guān)系。參變量的取值范圍可根據(jù)使問題成立的條件(組)來確定，在列出條件(組)時要注意將使問題成立的條件一一列舉出來，并將條件組等價地轉(zhuǎn)化為僅含所研究的參變量的一個簡單的不等式來確定參變量的取值范圍。在分析問題時，可以利用數(shù)形結(jié)合的思想與方

7、法，將所研究的含有參變量的方程或函數(shù)關(guān)系式表示成對應(yīng)的曲線，通過討論曲線的位置關(guān)系來確定參變量的取值范圍；或?qū)⑺芯康哪骋粋€變量看成是參變量的函數(shù)或?qū)⒆兞靠闯墒橇硗庖粋€變量的函數(shù)，通過研究定義域、值域或函數(shù)的有界性來確定參變量的取值范圍。與引參相對的是消去參數(shù)，常用方法有：代入消去法和加減消去法；類似于解方程組的過程，即把方程中的主變量看成系數(shù)，參變量看成主元進(jìn)行運算；利用三角公式消去參變量，主要利用三角恒等式中的平方和關(guān)系、萬能公式等進(jìn)行消參；利用比例的性質(zhì)消去參變量，主要利用等比定理、合比定理、分比定理、正弦定理等比例關(guān)系進(jìn)行消參；利用韋達(dá)定理消去參變量，主要在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)

8、系時經(jīng)常應(yīng)用；利用斜率和中點公式消去參變量，主要應(yīng)用在討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，結(jié)合直線的斜率公式、中點坐標(biāo)公式等的基本形式，采用設(shè)而不求的方法進(jìn)行消參。數(shù)學(xué)新教材中對參數(shù)思想的思維訓(xùn)練在模塊的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)部分，在模塊的等比數(shù)列求和部分，模塊的解析幾何利用消去法求曲線的軌跡（方程）等部分體現(xiàn)得較多。三、綜合與分析的數(shù)學(xué)思想與方法綜合法的思維過程是根據(jù)已知條件，引用公理、定義、定理或已知條件，通過演繹推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論。這種“由因?qū)Ч钡乃季S方式稱為綜合思維。在綜合思維的培養(yǎng)過程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生思維的目標(biāo)性，學(xué)會利用題目中的諸多條件有意識地將思維向目標(biāo)逼近，如果已知條件含有多個變

9、量，應(yīng)確定一個主變量而把其他變量用這個變量表示；如果已知條件中的幾個變量之間的直接關(guān)系比較復(fù)雜，可以采用引進(jìn)參變量或者消去某個變量的方法來降低思維難度，從而使所要求證的結(jié)論更加明顯。分析法的思維過程是從所要求證的結(jié)論入手，逐步找出使結(jié)論成立的充分條件，直到得出一個顯然成立的命題，這種“執(zhí)果索因”的思維方式稱為分析思維。在分析思維的培養(yǎng)過程中，要注意推理過程的可逆性。對于復(fù)雜的問題，往往需要將綜合法與分析法結(jié)合起來使用。在新教材中，分析與綜合的數(shù)學(xué)思想在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程中相得益彰：對于例題的講解，多是先用分析思維分析題目成立的條件，再用綜合思維進(jìn)行求解或證明。如在數(shù)學(xué)必修的程序框圖與算法基

10、本邏輯結(jié)構(gòu)一節(jié)中，首先說明該程序框圖包含了三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)，再根據(jù)各種基本邏輯結(jié)構(gòu)的特點分別對三種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析說明，這種先總說，再分?jǐn)⒌姆椒w現(xiàn)了綜合與分析的思維方法；在數(shù)學(xué)必修的點到直線的距離一節(jié)分析點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程時，采用了分析思維的方法。四、歸納與遞推的數(shù)學(xué)思想與思維方法歸納推理是根據(jù)各個特殊的、個別的情況作為判斷的基礎(chǔ)，歸納總結(jié)出普遍使用的規(guī)律或結(jié)論的推理方法。歸納法分完全歸納法和不完全歸納法兩種，數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法，它是用“有限的步驟”來解決“無限”的問題的有效方法，通常用于解決等式、不等式、幾何問題的證明及整除性問題。遞推法是根據(jù)對各個

11、特殊的個別情況的判斷，得出一般性結(jié)論，再將結(jié)論進(jìn)行推廣的方法，有順推法和倒推法兩種形式。一般情況下，利用遞推法得到的結(jié)論要利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。在解決有關(guān)數(shù)列、算法方面的問題時，常用到歸納與遞推的思維方法。例如在數(shù)學(xué)必修算法部分：設(shè)計一個計算1+2+3+100的值的算法，并畫出程序框圖。在問題解決過程中，通過對算法過程的分析，歸納總結(jié)出計算過程中的第(i-1)步的結(jié)果加上i等于第i步的結(jié)果這一規(guī)律，引入一個累加變量s表示每一步的計算結(jié)果，再把s+i的結(jié)果賦給s，利用計數(shù)變量i從1到100的取值，通過循環(huán)控制完成遞推關(guān)系的運算而使問題解決。五、分類與討論的數(shù)學(xué)思想與方法對于含有參數(shù)的方程、不等

12、式以及圖形的種類、形狀、位置等不確定的題目，在問題解決的過程中須針對這些不確定的因素選擇恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。分類討論的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)學(xué)概念或定理、公式中的使用條件、性質(zhì)等確定分類標(biāo)準(zhǔn)，如絕對值的定義、圓錐曲線的統(tǒng)一定義、等比數(shù)列的前n項和公式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)等。每次分類都要按照一個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，使得分類能夠不重不漏。如果一個問題含有多種情況，在分類討論問題時可以逐級采用“二分法”，即：首先選定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，按是否符合這個標(biāo)準(zhǔn)把所需要討論的對象分成兩類；其次在前一次分類的基礎(chǔ)上，選取另一標(biāo)準(zhǔn)，把前一次分出的類再分成兩類，不斷重復(fù)前一過程，直到不能夠再分為止。分類討論的數(shù)學(xué)思想與方法是中

13、學(xué)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要組成部分，在新教材各個模塊的教學(xué)中都有體現(xiàn)。如在數(shù)學(xué)必修第48頁第9題：已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8在5，20上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍的求解過程中，須通過對k的取值進(jìn)行分類討論，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性而使問題得以解決；數(shù)學(xué)必修第66頁b組第4題、數(shù)學(xué)必修第83頁b組第2題，都需要對底數(shù)a的取值進(jìn)行分類討論。六、數(shù)形結(jié)合的思想與思維方法數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，是形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合的思想與方法可以給抽象的代數(shù)、三角以直觀、形象的原型；也可以賦給直觀圖形問題以抽象、嚴(yán)密的運算或數(shù)理推證。因此，掌握“以形助數(shù)、以數(shù)

14、解形”的思維方法和技巧是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的需要。在新教材中，數(shù)形結(jié)合的思想主要體現(xiàn)在函數(shù)與圖像、方程與曲線、實數(shù)與直線、復(fù)數(shù)與平面、向量與有向線段、數(shù)據(jù)的圖像等方面。由形向數(shù)的轉(zhuǎn)化是從直觀到抽象的思維過程，對于涉及到線段、角、面積、體積等幾何量與一定的數(shù)量相對應(yīng)，而這些幾何量又可以與某些幾何定理或公式聯(lián)系起來；或者題目中涉及到圖形與數(shù)量的對應(yīng)，如向量的幾何表示與坐標(biāo)的對應(yīng)，向量運算的幾何意義以及可借助某些參數(shù)完成的由形向數(shù)轉(zhuǎn)化的題型可采用“以形助數(shù)”的思維模式。這類問題在數(shù)學(xué)必修空間幾何、數(shù)學(xué)必修的幾何概型、數(shù)學(xué)必修的平面向量、數(shù)學(xué)選修21圓錐曲線等部分涉及較多。 由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化的思維過程

15、是將某種數(shù)量關(guān)系映射為幾何圖形的由抽象思維向形象思維的轉(zhuǎn)化過程，可利用函數(shù)與其圖像的對應(yīng)關(guān)系或向量與點的對應(yīng)關(guān)系或借助幾何意義構(gòu)造幾何圖形（如距離、斜率）完成由數(shù)向形的轉(zhuǎn)化。在數(shù)學(xué)必修的解析幾何；數(shù)學(xué)必修的三角函數(shù)、平面向量；選修21空間向量等部分涉及較多。 七、一般與特殊的數(shù)學(xué)思想與思維方法一般與特殊的數(shù)學(xué)思想與方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，解決數(shù)學(xué)問題的一種最重要的思想方法。一般性思維是指從全體到個別、從一般到特殊、從抽象到具體的思維方法，它是在掌握某種事物的本質(zhì)規(guī)律的基礎(chǔ)之上，通過演繹推理，把這種事物的性質(zhì)、規(guī)律應(yīng)用到具有這種事物特征的特殊的個體上的思維方法。在問題解決的過程中，一般性思維能夠把一

16、般性的規(guī)律向特殊性問題方面轉(zhuǎn)化。對于一個比較復(fù)雜的問題，如果不知道它的性質(zhì)或規(guī)律時，一般先從問題的簡單或特殊的情形入手，逐步探索其一般性規(guī)律、性質(zhì)或解決方法，這種思維方法就是特殊性思維。采用特殊化的思維方式，可在將多元問題單元化、空間問題平面化、高次問題低次化的過程中得到方法、規(guī)律方面的啟示，并歸納總結(jié)出一般性問題的解法，達(dá)到問題解決的目的。 在新教材中，每一個知識點的引入，多是先從特殊性問題入手，通過對具體的問題的研究總結(jié)出一類問題的一般性的結(jié)論、性質(zhì)和規(guī)律，再應(yīng)用這些性質(zhì)、規(guī)律解決特殊性的問題。八、變換與復(fù)合的數(shù)學(xué)思想與方法在數(shù)學(xué)中，任何一個比較復(fù)雜的函數(shù)都可以看成是由一個或幾個簡單函數(shù)通

17、過一種或幾種變換，或通過兩個或幾個簡單函數(shù)的復(fù)合得到的。因此，研究變換和復(fù)合的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析復(fù)雜函數(shù)的變換與復(fù)合的規(guī)律與方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法和思維能力的需要。高中階段常用的變換有函數(shù)圖像間的變換和函數(shù)解析式的變換兩種。函數(shù)圖像變換主要有：對稱變換、平移變換、伸縮變換和折置變換；函數(shù)解析式的變換常見的類型有兩種：1、在給定的條件下求函數(shù)解析式。主要的題型模式是：已知變換后的函數(shù)fg(x)的解析式，求變換前的函數(shù)解析式。解決此類問題方法有：定義法、換元法、待定系數(shù)法、特殊值法、歸納法等；2、在給定的條件下，函數(shù)解析式的變換。這類問題須根據(jù)前面的方法，結(jié)合題目要求進(jìn)行求解。如：已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，求證：f(0)=0;f(2x)=2f(x)。在求解時令x=y=0，求出f(0)=0,再利用前面的已知條件，求出：f(2x)=f(x+x)=2f(x)。變換與復(fù)合的題型主要集中在研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、定義域、值域等方面，在數(shù)學(xué)必修函數(shù)部分涉及的較多。對數(shù)