高三數(shù)學(xué)專題三角函數(shù)與平面向量

1、三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的圖象；掌握函數(shù)yasin(x)的圖象及性質(zhì)2. 高考試題中，三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常是以簡單題形式出現(xiàn)因此在本講復(fù)習(xí)中要注重三角知識的基礎(chǔ)性，特別是要熟練掌握三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)圖象的識別及其簡單的性質(zhì)(周期、單調(diào)、奇偶、最值、對稱、圖象平移及變換等)3. 三角函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，多數(shù)為基礎(chǔ)題，難度屬中檔偏易這幾年的高考中加強(qiáng)了對三角函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)的考查在這一講復(fù)習(xí)中要重視解三角函數(shù)題的一些特殊方法，如函數(shù)法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等

2、的訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 函數(shù)y2sin21是最小正周期為_的_(填“奇”或“偶”)函數(shù)2.函數(shù)f(x)cosx在0，)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為_3.函數(shù)f(x)2cos2xsin2x的最小值是_4.定義在r上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x時，f(x)sinx，則f的值為_【例1】設(shè)函數(shù)f()sincos，其中角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)p(x，y)，且0.(1) 若點(diǎn)p的坐標(biāo)是，求f()的值；(2) 若點(diǎn)p(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，試確定角的取值范圍，并求函數(shù)f()的最小值和最大值【例2】函數(shù)f(x)asin(x)(a，是常數(shù)，a

3、0，0)的部分圖象如圖所示(1) 求f(0)的值；(2) 若0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍【例3】已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(00)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為.(1) 求f的值；(2) 將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間【例4】已知函數(shù)f(x)2sin2cos2x1，xr.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若h(x)f(xt)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且t(0，)，求t的值；(3) 當(dāng)x時，不等式|f(x)m|0)，yf(x)的圖象與直線y2的兩個相鄰交點(diǎn)的距離等于，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)

4、間是_(2011四川)已知函數(shù)f(x)2sinxcosx2cos2x1(xr)(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；(2) 若f(x0)，x0，求cos2x0的值5.(2009福建)已知函數(shù)f(x)sin(x)，其中0，|.(1) 若coscossinsin0，求的值；(2) 在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)(2009重慶)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)f(x)sin2cos21.(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若函數(shù)yg(x)

5、與yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，求當(dāng)x時，yg(x)的最大值解：(1) f(x)sinxcoscosxsincosxsinxcosx(3分)sin，(5分)故f(x)的最小正周期為t 8.(7分)(2) (解法1)在yg(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x)，它關(guān)于x1的對稱點(diǎn)為(2x，g(x)由題設(shè)條件，點(diǎn)(2x，g(x)在yf(x)的圖象上，從而g(x)f(2x)sinsincos.(10分)當(dāng)0x時，x，因此yg(x)在區(qū)間上的最大值為g(x)maxcos.(13分)(解法2)因區(qū)間關(guān)于x1的對稱區(qū)間為，且yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱，故yg(x)在上的最大值為yf(x)在

6、上的最大值，由(1)知f(x)sin，當(dāng)x2時，x，因此yg(x)在上的最大值為g(x)maxsin.(13分)三角變換與解三角形考點(diǎn)1. 掌握三角函數(shù)的公式(同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和、差角及倍角公式)及應(yīng)用；能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和條件等式及恒等式的證明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形2. 在復(fù)習(xí)過程中，要熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)及常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法(化弦法、降冪法、角的變換法、“1”的變換等)；掌握化簡、求值和解三角形的常規(guī)題型；要注意掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系3. 近年來高考對三角函數(shù)與

7、向量聯(lián)系問題的考查有所增加，三角函數(shù)知識在幾何及實(shí)際問題中的應(yīng)用也是考查重點(diǎn)，應(yīng)給予充分的重視新教材降低了對三角函數(shù)恒等變形的要求，但對兩角和的正切考查一直是重點(diǎn)基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 若tan3，則的值等于_.2.已知cossin，則sin的值是_3.在abc中，tana，tanc，則角b的值為_4.在銳角abc中，bc1，b2a，則的值等于_例題【例1】已知cos，cos()且0.(1) 求tan2的值；(2) 求.【例2】在abc中，內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c，已知a2c22b，且sinacosc3cosasinc，求b.【例3】在abc中，角a、b、c的對邊分別是a，b，c，已知sin

8、ccosc1sin.(1) 求sinc的值；(2) 若a2b24(ab)8，求邊c的值【例4】已知sin(2)3sin，設(shè)tanx，tany，記yf(x)(1) 求f(x)的解析式；(2) 若角是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域1. (2011全國)已知，tan2，則cos_.2.(2011江蘇)已知tan2，則的值為_3.(2011重慶)已知sincos，且，則的值為_4.(2010廣東)已知a，b，c分別是abc的三個內(nèi)角a，b，c所對的邊，若a1，b， ac2b，則sinc_.5.(2011廣東)已知函數(shù)f(x)2sin，xr.(1) 求f的值；(2) 設(shè)，f，f(32)，求

9、cos()的值6.(2011全國)abc的內(nèi)角a、b、c的對邊分別為a、b、c；已知asinacsincasincbsinb.(1) 求b；(2) 若a75，b2，求a，c.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)2cos.(1) 設(shè)，且f()1，求的值；(2) 在abc中，ab1，f(c)1，且abc的面積為，求sinasinb的值解：(1) f(x)2cos22sincos(1cosx)sinx2cos.(3分)由2cos1, 得cos.(5分)于是x2k(kz)，因?yàn)閤，所以x或.(7分)(2) 因?yàn)閏(0，)，由(1)知c.(9分)因?yàn)閍bc的面積為，所以absin，于是ab2， 在abc

10、中，設(shè)內(nèi)角a、b的對邊分別是a、b，由余弦定理得1a2b22abcosa2b26，所以a2b27，由可得或于是ab2. (12分)由正弦定理得，所以sinasinb(ab)1. (14分)平面向量及其應(yīng)用考點(diǎn)1. 掌握平面向量的加減運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積等基本概念、運(yùn)算及其簡單應(yīng)用復(fù)習(xí)時應(yīng)強(qiáng)化向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的平行、垂直及求有關(guān)向量的夾角問題要引起足夠重視2. 在復(fù)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等會用向量解決某些簡單的幾何問題基礎(chǔ)訓(xùn)練1. 在abcd中，a，b，3，m為bc的中點(diǎn)，則_.(用a、b表示)2.設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a

11、b與(b2a)共線，則_.3.若向量a，b滿足|a|1，|b|2且a與b的夾角為，則|ab|_.4.已知向量p，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是_【例1】已知向量a，b(2，cos2x)(1) 若x，試判斷a與b能否平行？(2) 若x，求函數(shù)f(x)ab的最小值【例2】設(shè)向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1) 若a與b2c垂直，求tan()的值；(2) 求|bc|的最大值；(3) 若tantan16，求證：ab.【例3】在abc中，已知2|3bc2，求角a，b，c的大小【例4】已知abc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m(a，

12、b)，n(sinb，sina)，p(b2，a2) .(1) 若mn，求證：abc為等腰三角形；(2) 若mp，邊長c2，角c，求abc的面積 .1. (2008安徽)在平行四邊形abcd中，ac為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則_2.(2011上海)在正三角形abc中，d是bc上的點(diǎn)，ab3，bd1，則_.3.(2011江蘇)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，則實(shí)數(shù)k的值為_.4.(2011浙江)若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是_5.(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)a(1，2)

13、、b(2,3)、c(2，1)(1) 求以線段ab、ac為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)0，求t的值6.(2011陜西)敘述并證明余弦定理(2010江蘇泰州一模)(本小題滿分14分)在abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c.(1) 設(shè)向量x(sinb，sinc)，向量y(cosb，cosc)，向量z(cosb，cosc)，若z(xy)，求tanbtanc的值；(2) 已知a2c28b，且sinacosc3cosasinc0，求b.解：(1) 由題意：xy(sinbcosb，sinccosc)，(1分) z(xy)， cosb(sinccosc)cosc(sinbcosb