債券的價格波動性與久期[稻谷書屋]

1、債券的價格波動性、久期與凸性 1研究特制 （一）馬奇爾債券定價規(guī)律 （1）債券的市場價格與債券的收益率呈 反方向變動，債券的價格上漲，則收 益率下降，如果債券市場價格下降， 則收益率上升。 2研究特制 例1 一張面額為100元的債券，息票率8%， 期限為10年。如果市場價格等于面值，就 意味著它的收益率等于息票率。如果價格 上升了10%，它的收益率應(yīng)如何變化?如果 價格下降了10%，它的收益率應(yīng)如何變化？ PriceYTM 1008% 1107% 9010% 3研究特制 ￥0.00 ￥20.00 ￥40.00 ￥60.00 ￥80.00 ￥100.00 ￥120.00 ￥140.00 ￥160

2、.00 ￥180.00 ￥200.00 0%5%10%15%20%25%30%35% P 4研究特制 （一）馬奇爾債券定價規(guī)律 （2）如果債券的收益率與票面利率不等 時，債券價格必然與債券面值不等， 到期期限越長，兩者差距越大。 5研究特制 例2： 5年期，息票率為6%，面值為 100元，預(yù)期收益率為9% 到期到期 期限期限 5年年4年年3年年2年年1年年0年年 債券 價格 88.3390.2892.4194.7297.25100 面值與價 格差價 11.679.727.595.282.750 6研究特制 ￥88.00 ￥90.00 ￥92.00 ￥94.00 ￥96.00 ￥98.00 ￥1

3、00.00 ￥102.00 543210 息票率6% 息票率9% 7研究特制 ￥88.00 ￥93.00 ￥98.00 ￥103.00 ￥108.00 ￥113.00 543210 息票率6% 息票率9% 息票率12% 8研究特制 （一）馬奇爾債券定價規(guī)律 （3）如果一種債券的收益率在整個有效 期內(nèi)不變，則其折價或溢價減少的速 度將隨著到期日的臨近而逐漸加快。 9研究特制 例2*： 5年期，息票率為6%，面值 為100元，預(yù)期收益率為9% 到期到期 期限期限 5年年4年年3年年2年年1年年0年年 債券 價格 88.3390.2892.4194.7297.25100 面值與價 格差價 11.67

4、9.727.595.282.750 差價率11.67%9.72%7.59%5.28%2.75%0 差價率 變化值 -1.95%2.13%2.32%2.53%2.75% 10研究特制 （一）馬奇爾債券定價規(guī)律 （4）債券收益率的下降會引起債券價格 上升，且上升幅度要超過債券收益率 以同樣比率上升而引起的債券價格下 跌的幅度。 11研究特制 例3：某五年期的債券A，面值為100美元， 息票率為7%。假定發(fā)行價格等于面值，那 么它的收益率等于息票率7%。如果此時收 益率上升了一個百分點(diǎn)，該債券的價格將 如何變化？如果此時收益率下降了一個百 分點(diǎn)，該債券的價格又將如何變化？ 收益率收益率價格價格變化幅

5、度變化幅度 8%96.01-3.99 7%100- 6%104.21+4.21 12研究特制 ￥0.00 ￥20.00 ￥40.00 ￥60.00 ￥80.00 ￥100.00 ￥120.00 ￥140.00 ￥160.00 ￥180.00 ￥200.00 0% 2% 4% 6% 8% 10%12%14%16%18%20%22%24%26%28%30%32% P P 13研究特制 （一）馬奇爾債券定價規(guī)律 （5）如果債券的息票利率越高，則由其 收益率變化引起的債券價格變化的百 分比就越小。 14研究特制 例4：某五年期的債券B，面值為100美元，息 票率為9%，比例9中的A的息票率高2個百分

6、點(diǎn)。以下三種情況的債券A和B的價格為： （1）假定債券A和B的收益率等于息票率7% （2）假定債券A和B的收益率等于8%。 收益率收益率 債券債券A A 價格價格 變化幅度變化幅度債券債券B B 價格價格 變化幅度變化幅度 7%100.00 -3.993% 108.20 -3.889% 8%96.01103.99 15研究特制 二、久期 久期，又稱持續(xù)期，是衡量債券價值 對利率變動敏感性的近似指標(biāo)。 更準(zhǔn)確的說，久期是對于利率變動100 個基點(diǎn)，價值變化的近似百分比。 實(shí)際上這是對于修正久期的定義。 16研究特制 二、久期 （一）久期的計算 修正久期的估算公式 小數(shù)形式的收益率變化初始價格 格

7、收益率上升時的債券價格收益率下降時的債券價 2 yV VV D 0 * 2 17研究特制 二、久期 （一）久期的計算 例5 有一只息票率9%、20年期、售價 為134.6722元、對應(yīng)收益率6%的無選 擇權(quán)債券的價格與收益率的關(guān)系如下 表所示 18研究特制 二、久期 收益率（收益率（%） 價格價格 （元）（元） 收益率（收益率（%） 價格價格 （元）（元） 4.00168.38876.01134.5287 5.00150.20566.10133.2472 5.50142.13676.50127.7605 5.90136.11937.00121.3551 5.99134.81598.00109.

8、8964 6.00134.6722 19研究特制 二、久期 （一）久期的計算 例5 如果收益率上下浮動20個基點(diǎn)， 我們可以計算得到 V-= 137.5888 ，V+= 131.8439 ， V0= 134.6722 ，y=0.002 66.10 002. 06722.1342 8439.1315888.137 2 0 * yV VV D 20研究特制 二、久期 （一）久期的計算 例5 該債券的修正久期是10.66，即利 率變動100個基點(diǎn)，這只債券的價格大 約變動10.66%。 21研究特制 二、久期 （二）用修正久期計算價格變化的近似 百分比 若給定收益率變動和修正久期，我們 可以用下列公

9、式近似求出價格變化的 百分比 100y 修正久期近似價格變化的百分比 22研究特制 二、久期 （二）用修正久期計算價格變化的近似 百分比 利用例5的數(shù)據(jù)，我們已知該債券修正 久期為10.66，如果收益率上升10個基 點(diǎn)和下降10個基點(diǎn)，債券價格變動的 百分比為多少？ 23研究特制 二、久期 （二）用修正久期計算價格變化的近似 百分比 收益率收益率 （%） 近似百分比近似百分比 （%） 實(shí)際價格實(shí)際價格 （元）（元） 實(shí)際百分比實(shí)際百分比 （%） 5.901.066 136.11931.07 6.000.000 134.67220.00 6.10-1.066 133.2472-1.06 24研究

10、特制 二、久期 （三）麥考利久期和修正久期 修正久期公式還可以表示為 k每年付息次數(shù) n到期前期數(shù) 收益率債券的到期收益率 PVCFt第t期現(xiàn)金流量以到期收益率折現(xiàn) 的現(xiàn)值 價格收益率k PVCFnPVCFPVCF k n 21 21 /1 1 25研究特制 二、久期 （三）麥考利久期和修正久期 上面修正久期公式中方括號內(nèi)的表達(dá) 式是由麥考利 (F.R.Macaulay) 在1938 年提出的，被稱為麥考利久期。因此 修正久期的表達(dá)式也寫為 k/1 收益率 麥考利久期 修正久期 26研究特制 例5 有一只息票率9%、20年期、售價 為134.6722元、對應(yīng)收益率6%的無選 擇權(quán)債券，該債券的

11、久期和修正久期 為多少？ 解：久期 修正久期 價格 k PVCFnPVCFPVCF D n 21 21 98.10 66.1098.10 3/%61 1 * D 27研究特制 例6，3年期債券，面值1000元，票面利 息10，現(xiàn)行市場價格1025.33元，因 而其到期收益率為9。則其久期為： =2.74年 23 111 1000 10%1 1000 10%2 11003 1 0.09 1 0.091 0.09 1025.33 D 28研究特制 例7：假設(shè)有一種6年期的零息債券， 面額100元，收益率為8%，此債券的 久期為？ 解： 621 621 價格價格價格 PVCFPVCFPVCF D 6

12、6 02.63 02.63 29研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 1、久期是一種時間度量 麥考利在1938年最早提出久期的概念 時，他把它作為未償付債券的一種時 間度量，即究其實(shí)債券持有人取得每 一筆利息經(jīng)歷的時間和取得本金經(jīng)歷 的時間的加權(quán)平均數(shù)。 30研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 1、久期是一種時間度量 麥考利久期的計算公式可寫為 n PVCFPVCFPVCF D n 價格價格價格 21 21 n t t t PVCF 1 價格 31研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 1、久期是一種時間度量 作為一種度量標(biāo)準(zhǔn)，用年數(shù)來表示久 期沒有錯，但是對于久期的正確理解 就是：久期

13、是有確定到期年限的零息 票債券的價格波動性，其中的到期年 限是用久期計算出來的年數(shù)。 32研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 2、久期是一階導(dǎo)數(shù) 有時市場參與者把久期稱為價格收益 率函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)或簡稱為一階導(dǎo)數(shù)。 這是正確的解釋，同時也說明了久期 的推導(dǎo)方法 但是這沒有太多實(shí)際意義 33研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 2、久期是一階導(dǎo)數(shù) 附息債券的函數(shù)為 n t t t y CF P 1 1 34研究特制 二、久期 （四）對久期的解釋 2、久期是一階導(dǎo)數(shù) 對上式求價格P對收益率y的導(dǎo)數(shù)，經(jīng) 整理得 n t t t y tCF y dydP 1 11 1 35研究特制 二、久期 （

14、四）對久期的解釋 2、久期是一階導(dǎo)數(shù) 將上式兩邊同除以P可得 方括號內(nèi)的公式就是麥考利久期的公 式 n t t t P y tCF y PdydP 1 1 11 1 1 36研究特制 決定久期的大小三個因素 各期現(xiàn)金流 到期收益率 到期時間 37研究特制 麥考利久期定理麥考利久期定理 麥考利久期定理反映了債券的市場風(fēng)險麥考利久期定理反映了債券的市場風(fēng)險 定理定理一一：只有零息債券的麥考利久期等于它們 的到期時間。 定理二定理二：直接債券的麥考利久期小于或等于它 們的到期時間。只有僅剩最后一期就要期滿的 直接債券的麥考利久期等于它們的到期時間， 并等于1 。 定理三定理三：統(tǒng)一公債的麥考利久期等

15、于 ， 其中y是計算現(xiàn)值采用的貼現(xiàn)率。 1 1 y 38研究特制 麥考利久期定理麥考利久期定理 定理四：定理四：在到期時間相同的條件下，息票 率越高，久期越短。 定理五：定理五：在息票率不變的條件下，到期時 間越長，久期一般也越長。 定理六：定理六：在其他條件不變的情況下，債券 的到期收益率越低，久期越長。 39研究特制 二、久期 （五）久期的缺陷 利用例5的數(shù)據(jù)，我們已知該債券修正 久期為10.66，如果收益率上升200個 基點(diǎn)和下降200個基點(diǎn)，債券價格變動 的百分比為多少？ 40研究特制 二、久期 （五）久期的缺陷 收益率收益率 （%） 近似百分比近似百分比 （%） 實(shí)際價格實(shí)際價格 （

16、元）（元） 實(shí)際百分比實(shí)際百分比 （%） 4.0021.320 168.388725.04 6.000.000 134.67220.00 8.00-21.320 109.8964-18.40 41研究特制 久期的缺陷 現(xiàn)實(shí)生活中，債券價格變動率和收益率變 動之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是非線 性關(guān)系 。如果只用久期來估計收益率變動 與價格變動率之間的關(guān)系，那么從上頁公 式 可以看出，收益率上升或下跌一個固定 的幅度時，價格下跌或上升的幅度是一樣 的。顯然這與事實(shí)不符. (見下圖) 42研究特制 ￥0.00 ￥20.00 ￥40.00 ￥60.00 ￥80.00 ￥100.00 ￥120.00 ￥140.00 ￥160.00 ￥180.00 ￥200.00 0% 2% 4% 6% 8% 10%12%14%16%18%20%22%24%26%28%30%32% P P 43研究特制 三、凸性 債券價格與其收益率呈反向變化關(guān)系， 但這種關(guān)系并非是線性的，收益率的 下降引起的債券價格上升的幅度超過 收益率同比例上升引起的債券價格下 降的幅度。 44研究特制 三、凸性 定義：凸性 (Convexity) 是指債券價格變 動率與收益率變動關(guān)系曲線的曲度。 如果說麥考利久期等于債券價格對收 益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對值除以債券價格， 我們可以把債券的凸性 (C) 類似地定 義為債券價格對收益率二階導(dǎo)