電大《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》復(fù)習(xí)題考試小抄【完整版】

1、高等數(shù)學(xué)（1）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)第一章 函數(shù)理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù)中符號f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。若對任意，有，則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱。若對任意，有，則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。掌握奇偶函數(shù)的判別方法。掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形?；境醯群瘮?shù)是指以下幾種類型： 常數(shù)函數(shù)： 冪函數(shù)： 指數(shù)函數(shù)： 對數(shù)函數(shù)： 三角函數(shù)： 反三角函數(shù)：了

2、解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。如函數(shù)可以分解，。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的和。會(huì)列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。例題選解一、填空題設(shè)，則。解：設(shè)，則，得故。函數(shù)的定義域是。解：對函數(shù)的第一項(xiàng)，要求且，即且；對函數(shù)的第二項(xiàng)，要求，即。取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?，則的定義域是。解：要使有意義，必須使，由此得定義域?yàn)?。函?shù)的定義域?yàn)?。解：要使有意義，必須滿足且，即成立，解不等式方程組，得出，故得出函數(shù)的定義域?yàn)椤ＴO(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對稱。解：的定義域?yàn)?，且有即是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于軸對稱。二、單項(xiàng)選擇題下列各

3、對函數(shù)中，（）是相同的。a.；b.；c.；d.解：a中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同, ， b, d三個(gè)選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定義域都不同，所以a b, d都不是正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)c中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)c正確。設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖形關(guān)于（）對稱。a.yx；b.x軸；c.y軸；d.坐標(biāo)原點(diǎn)解：設(shè)，則對任意有即是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項(xiàng)d正確。 3設(shè)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)是（）a.單調(diào)減函數(shù)； b.有界函數(shù)；c.偶函數(shù)； d.周期函數(shù)解：a, b, d三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。設(shè)，則對任意有即是偶函數(shù)，故選項(xiàng)c正確。函數(shù)（ ） a.是奇函數(shù)； b. 是偶函數(shù)；c.既奇函

4、數(shù)又是偶函數(shù)； d.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 所以b正確。若函數(shù)，則（ ） a.； b. ；c.； d. 。解：因?yàn)樗詣t，故選項(xiàng)b正確。第二章 極限與連續(xù)知道數(shù)列極限的“”定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有： 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量； 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量； 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。熟練掌握極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。求極限有幾

5、種典型的類型（1）（2）（3）熟練掌握兩個(gè)重要極限：（或）重要極限的一般形式：（或）利用兩個(gè)重要極限求極限，往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。間斷點(diǎn)的分類：已知點(diǎn)是的間斷點(diǎn)，若在點(diǎn)的左、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)；若在點(diǎn)的左、右極限有一個(gè)不存在，則稱為的第二類間斷點(diǎn)。理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論

6、。典型例題解析一、填空題 極限。解：注意：（無窮小量乘以有界變量等于無窮小量），其中=1是第一個(gè)重要極限。函數(shù)的間斷點(diǎn)是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因?yàn)?所以函數(shù)在處是間斷的，又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。設(shè)，則。解：，故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。二、單項(xiàng)選擇題函數(shù)在點(diǎn)處（）a.有定義且有極限； b.無定義但有極限；c.有定義但無極限； d.無定義且無極限解：在點(diǎn)處沒有定義，但（無窮小量有界變量=無窮小量）故選項(xiàng)b正確。下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。a.； b.；c. ；d.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而a, c, d三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不

7、為0，故選項(xiàng)b正確。 三、計(jì)算應(yīng)用題計(jì)算下列極限： （4） 解： = 題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為分母的最高次項(xiàng)為，由此得 （4）當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。 =2.設(shè)函數(shù) 問（1）為何值時(shí)，在處有極限存在？（2）為何值時(shí)，在處連續(xù)？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我

8、們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。在點(diǎn)處可導(dǎo)是指極限存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線上點(diǎn)處切線的斜率。曲線在點(diǎn)處的切線方程為函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法（1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法（4）對數(shù)求導(dǎo)方法（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的

9、導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對數(shù)求導(dǎo)法，例如函數(shù)，求。在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 這樣計(jì)算不但簡單而且不易出錯(cuò)。又例如函數(shù) ，求。顯然直接求導(dǎo)比較麻煩，可采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得兩端求導(dǎo)得整理后便可得若函數(shù)由參數(shù)方程的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。熟練掌握微分運(yùn)算法則微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法

10、則類似 一階微分形式的不變性微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解一、填空題設(shè)函數(shù)在鄰近有定義，且，則。解： 故應(yīng)填1。曲線在點(diǎn)（1，1）處切線的斜率是。解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在處切線的斜率是，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是故應(yīng)填。設(shè)，則。解：，故故應(yīng)填二、單項(xiàng)選擇題設(shè)函數(shù)，則（）。a.；b.2； c.4；d不存在解：因?yàn)椋?，所以?/p>

11、即c正確。設(shè)，則（）。a.；b. ；c. ；d. 解：先要求出，再求。因?yàn)椋纱说?，所以即選項(xiàng)d正確。 3設(shè)函數(shù)，則（）a.0； b.1；c.2； d. 解：因?yàn)?，其中的三?xiàng)當(dāng)時(shí)為0，所以故選項(xiàng)c正確。 4曲線在點(diǎn)（）處的切線斜率等于0。a.；b.；c.；d.解：，令得。而，故選項(xiàng)c正確。5 ，則（）。a.；b.；c.；d.解：故選項(xiàng)c正確。三、計(jì)算應(yīng)用題設(shè)，求解：由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則由此得設(shè)，其中為可微函數(shù)，求。解 = =求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式

12、，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。3.設(shè)函數(shù)由方程確定，求。解：方法一：等式兩端對求導(dǎo)得整理得方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端右端由此得整理得4.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法5設(shè)，求。解 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題一、填空題1.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.解：，當(dāng)時(shí).故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是.2.極限.解：由洛必達(dá)法則3.函數(shù)的極小值點(diǎn)為 。解：，令，解得駐點(diǎn)，又時(shí)，；時(shí)，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)。二、單選題1.函數(shù) 在區(qū)間上是（ ）a） 單調(diào)增加 b）單調(diào)減少 c）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 d）先單調(diào)減少再單調(diào)增加解：選擇d，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間上函

13、數(shù)先單調(diào)減少再單調(diào)增加。2. 若函數(shù)滿足條件（ ），則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立。 a）在內(nèi)連續(xù)； b）在內(nèi)可導(dǎo)； c）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)； d）在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。 解：選擇d。 由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇d正確。3. 滿足方程的點(diǎn)是函數(shù)的（ ）。a）極值點(diǎn) b）拐點(diǎn)c）駐點(diǎn) d）間斷點(diǎn)解：選擇c。依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。4.設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則函數(shù)在處（ ）。a）取得極大值 b）取得極小值c）一定有拐點(diǎn) d）可能有極值，也可能有拐點(diǎn)解：選擇d函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇d。

14、三、解答題 1.計(jì)算題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義區(qū)間為，由于 令，解得，這樣可以將定義區(qū)間分成和兩個(gè)區(qū)間來討論。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)是，。由此得出，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)增加。 2.應(yīng)用題欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最?。拷猓涸O(shè)底邊邊長為，高為，所用材料為且 令得，且因?yàn)椋詾樽钚≈?此時(shí)。于是以6米為底邊長，3米為高做長方體容器用料最省。3證明題：當(dāng)時(shí)，證明不等式 證 設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏线B續(xù)可導(dǎo)，所以在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 其中，即 又由于，有故有 兩邊同時(shí)取以為底的指數(shù)，有即 所以當(dāng)時(shí)，有不等式 成立.第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（2）典型例

15、題解析一、填空題曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線過點(diǎn)，則曲線方程為。解：，即曲線方程為。將點(diǎn)代入得，所求曲線方程為已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，則。解： 已知是的一個(gè)原函數(shù)，那么。解：用湊微分法 二、單項(xiàng)選擇題設(shè)，則（）。a. ； b. ；c. ； d. 解：因故選項(xiàng)a正確 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則等式（）成立。a.；b.；c.；d.解：正確的等式關(guān)系是故選項(xiàng)d正確 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則（）。a. ； b. ；c. ； d. 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 故選項(xiàng)c正確三、計(jì)算題計(jì)算下列積分：解：利用第一換元法 利用第二換元法，設(shè)， 計(jì)算下列積分：解：利用分部積分法 利用分部積分法 高等數(shù)學(xué)（1）第六章學(xué)

16、習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題 （1）下列式子中，正確的是（ ）。a. b. c. d. (2). 下列式子中，正確的是（ ） a. b. c. d. (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 a .b. c. d. (4) 若是上的連續(xù)偶函數(shù)，則 。a. b 0c d (5) 若與是上的兩條光滑曲線，則由這兩條曲線及直線所圍圖形的面積( ).a. b. c. d. 答案：（1） a；（2）d； （3）d； （4）c； （5）a。 解：（1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 a正確。 而 b不正確。在（0，1）區(qū)間內(nèi) c 不正確。 根據(jù)定積分定義可知，定積分值與函數(shù)及定積分的上、下限有關(guān)，而與積分變量

17、的選取無關(guān)。 故d不正確。 (2) 由變上限的定積分的概念知 a、c不正確。 由定積分定義知 b不正確。 d正確。 (3) a不正確。 b。不正確。 c。不正確。 dd正確（4）由課本344頁 （642）和345頁（643）知c。正確。（5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) a正確。 （二） 填空題(1) (2) 待添加的隱藏文字內(nèi)容3 (3) 在區(qū)間上，曲線和軸所圍圖形的面積為_。 (4) (5) (a0 p0 )答案：解：（1） （2） （2） 所圍圖形的面積s=（3） 由定積分的幾何意義知: 定積分的值等于（4） y= 所圍圖形的面積（5） p1時(shí) 無窮積分發(fā)散。（三）計(jì)

18、算下列定積分(1）(2）（3） （4） （5）答案：(1）(2）（3） （4） (5) （四）定積分應(yīng)用 求由曲線,及直線所圍平面圖形的面積 x解：畫草圖 求交點(diǎn) 由 y=x, xy=1得x=1 .y=1y 2 y=2 y=x 0 xy=1 第七章綜合練習(xí)題（一）單項(xiàng)選擇題 1、若（ ）成立，則級數(shù)發(fā)散，其中 表示此級數(shù)的部分和。a、； b、單調(diào)上升；c、 d、不存在2、當(dāng)條件（ ）成立時(shí)，級數(shù)一定發(fā)散。a、發(fā)散且收斂； b、發(fā)散；c、發(fā)散； d、和都發(fā)散。3、若正項(xiàng)級數(shù)收斂，則（ ）收斂。a、 b、c 、 d、4、若兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)、滿足，則結(jié)論（ ），是正確的。a、發(fā)散則發(fā)散； b、收斂則收斂

19、；c、發(fā)散則收斂； d、收斂則發(fā)散。5、 若f(x)= , 則 = ( )。a、 b 、 c d、答案：1、d 2、a 3、b 4、a 5、c（二）填空題1、 當(dāng)_時(shí)，幾何級數(shù)收斂。2、 級數(shù)是_級數(shù)。3、 若級數(shù)收斂，則級數(shù)_。4、 指數(shù)函數(shù)f(x)= 展成 x的冪級數(shù)為_。5、 若冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（9 ，9 ），則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_。答案：1、1 則由比值判別法可知發(fā)散。 由于是交錯(cuò)級數(shù)，且=及，由萊布尼茲判別法知級數(shù)收斂。2、 求下列冪級數(shù)的收斂半徑 解： 因此收斂半徑r=1， 令 得冪級數(shù)可知的收斂半徑為4 ，所以原冪級數(shù)的收斂半徑第八章綜合練習(xí)題及參考答案（一）單項(xiàng)選擇題 1、 下列階數(shù)最高的微分方程是 （