高等數(shù)學：第六章概率論4節(jié)（隨機變量的數(shù)字特征）

1、第第4節(jié)節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 概率論概率論 隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量的方差隨機變量的方差 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分 布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么，X的 全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確 定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨 機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特 征就夠了. 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字 特征是重要的 . 隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的數(shù)學期望 Mathematical ExpectationMathematical Expectation 9085

2、 280 27560 7 12211 9085807560 77777 79.3 以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 ，反映了這，反映了這7位同學高數(shù)成位同學高數(shù)成 績的平均狀態(tài)。績的平均狀態(tài)。 一、引例一、引例 某7名學生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75， 60，則他們的平均成績?yōu)?二、數(shù)學期望的定義二、數(shù)學期望的定義 u 離散型隨機變量 Def 設(shè)離散型隨機變量的概率分布為 () 1,2, ii P Xxpi 11 1 ()(). iiii ii ii i x px pX E XE Xx p 如級數(shù)收斂，則稱級數(shù)的值為隨機變量 的 數(shù)學期望，記為，即有 u 連續(xù)型隨

3、機變量 Def 設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為 ( ) X fx，若廣義積分 ( )( ) ()()( ). XX X x fx dxxfx dx XE XE Xxfx dx 收斂，則廣義積分的值稱為隨機變 量 的數(shù)學期望，記為，即 u 隨機變量數(shù)學期望所反應(yīng)的意義 ()E XX隨機變量數(shù)學期望反映了的隨機變量 所以可能 取值的平均，它是隨機變量所有可能取值的最好代表。 例例3.1已知隨機變量X的分布律為 1/41/21/4 654X i p 求數(shù)學期望 ().E X 解：解：由數(shù)學期望的定義 111 ()4565 424 E X 例例3.2已知隨機變量X的分布律為10X i p pq 求數(shù)學期

4、望 ().E X 解：解：由數(shù)學期望的定義()E Xp 例例3.3已知隨機變量( )XP。求數(shù)學期望().E X 0,1,2,0 ! k X P Xkek k 的概率函數(shù)解為: 1 01 () !(1)! () kk kk X e E Xkee e kk E X 的數(shù)學期望為 即 例例3.4已知隨機變量( , )XU a b。求數(shù)學期望().E X 1 ( ) 0 X axb f x ba 解:的概率密度為 其它 ()( ) 2 b a X xab E Xxf x dxdx ba 的數(shù)學期望為 , .a b即數(shù)學期望是區(qū)間的中點 例例3.5已知隨機變量 ( )Xe。求數(shù)學期望 ().E X 0

5、 ( ) 00 x X ex f x x 的概率解:密度為 0 0 0 ()( )( )( ) 1 x X E Xxf x dxxf x dxxf x dx x edx 的數(shù)學期望為 例例3.6已知隨機變量 2 ( ,)XN 。求數(shù)學期望 ().E X 2 2 () 2 1 ( ) 2 x X f xexR 的概率密度為解: 2 2 2 2 () 2 2 2 1 ()( ) 2 ()1 () 2 1 2 () x t t X E Xxf x dxxedx x ttedt edt E X 的數(shù)學期望為 令 即有 u 隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì) 1. 設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C； 2. 若k是常數(shù)，則

6、E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 11 () nn ii ii EXE X 推廣 4. 設(shè)X，Y 相互獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y)； 11 ()() nn iii ii EXE XX 推廣之間相互獨立 請注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 獨立 例例3.12 設(shè)隨機變量XB(n, p)，求二項分布的數(shù)學期望。 XB(n, p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù)。 解：解： 1 1,2, 0 i i Xin i 如第 次試驗成功 令 如第 次試驗失敗 1 () n iii i XXXE Xp 于是,有且相互獨立，并有

7、 1 ()() n i i E XEX 所以 1 () n i i E X np ()E Xnp即有 數(shù)學期望在醫(yī)學上的一個應(yīng)用數(shù)學期望在醫(yī)學上的一個應(yīng)用 An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每 10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果 結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對 10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病 率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化 驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？ 分析：分析

8、：設(shè)隨機抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X 需要計算X的數(shù)學期望，然后與10比較 化驗次數(shù)X的可能取值為1，11 先求出化驗次數(shù)X的分布律 X=1=“10人都是陰性” X=11=“至少1人陽性” 結(jié)論：結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。 注意求注意求 X期期 望值的步驟！望值的步驟！ 1010 1(1 0.1)0.9P X 10 111 0.9P X 1010 () 0.91 (1 0.9 ) 117.51310E X 隨機變量的方差隨機變量的方差 Variance u 隨機變量方差的定義 設(shè) 是一隨機變量，如果 存在，則稱為 的方差，記作 或 (

9、)D X()Var X X 2 ()E XE X X 2 ()()D XE XE X 即即 ()()XD X 與 X有相同的量綱 u標準差 u方差的統(tǒng)計意義 隨機變量的方差反映了隨機變量所有可能取值的聚散程度。 設(shè)離散型隨機變量X的概率函數(shù)為 () kk P Xxp 1, 2, ,k 222 ()() () kkkk kk D XxE Xpx pE X 則 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為 f (x) 222 ()()( )( ) ()D XxE Xf x dxx f x dxE X 則 例例3.14已知隨機變量X的分布律為 10 X i p pq 求方差 ()D X 解：解： 22 ()()

10、()D XE XE Xpq u方差的計算公式 22 ()() ()D XE XE X 例例3.15已知隨機變量( )XP。求方差().D X 0,1,2,0 ! k X P Xkek k 的概率函數(shù)解為: 222 00 ()() ! kk kk ee E Xkkkk kk 由于有 00 (1) ! kk kk ee k kk kk | 22 2 (1) ! k k e k ke e k ()E X而已知 22 ()()- () X D XE XE X 所以， 的方差為 例例3.16已知隨機變量( , )XU a b。求方差().D X 1 ( ) 0 X axb f x ba 解:的概率密度為

11、 其它 2322 2 () 3()3 b b a a xxaabb E Xdx baba 從而 ()( ) 2 b a X xab E Xxf x dxdx ba 的數(shù)學期望為 2 22 ( () () 1 )() 2 E XE X ba D X 所所以以 例例3.17已知隨機變量 2 ( ,)XN 。求方差 ().D X 2 2 () 2 1 ( ) 2 x X f xexR 的概率密度為解: ()E X易知數(shù)學期望為 2 2 () 2 2 () 1 () 2 x X D Xxedx 所以，隨機變量 的方差為 2 2 2 2 2 x t t t edt 22 2 2 22 2 tt teedt 例例3.18已知隨機變量( )XE。求方差().D X 0 ( ) 00 x X ex f x x 的概率解:密度為 + 22 0 + 2 0 0 + 0 0 0 22 () 2 2 22 x xx xx x E Xxedx x exedx xeedx e 從而 2 2 2 22 21 ( 1 () ()E XE XD X 所以 u方差的性